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2024-12-14T07:52:42Z

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在数学中，特别是在线性代数领域，线性映射（也称为线性变换、向量空间同态，在某些语境下称为线性函数）是指在两个向量空间之间的映射<math>V \to W</math>，这种映射保持向量加法和标量乘法运算。这些称谓和定义同样适用于更一般的环上模的情况，这就是所谓的模同态。

如果一个线性映射是双射，我们就称之为线性同构。当<math>V = W</math>时，线性映射被称为线性自同态。有时"线性算子"这个术语用来指代这种情况，但在不同的约定下，"线性算子"可能有不同的含义：例如，它可以用来强调<math>V</math>和<math>W</math>是实向量空间（不一定要求<math>V = W</math>），也可以用来强调<math>V</math>是函数空间，这是泛函分析中的常见约定。而"线性函数"这个术语有时与线性映射同义，但在分析学中却不尽相同。

从<math>V</math>到<math>W</math>的线性映射总是将<math>V</math>的零点映射到<math>W</math>的零点。不仅如此，它还会将<math>V</math>中的线性子空间映射到<math>W</math>中的线性子空间（可能维数会降低）。举个例子，它可能将<math>V</math>中经过原点的平面映射为<math>W</math>中的一个经过原点的平面、一条经过原点的直线，或仅仅是<math>W</math>中的原点。我们通常可以用矩阵来表示线性映射，其中旋转变换和反射变换就是简单的例子。

在范畴论的语言中，线性映射是向量空间的态射，它们构成了一个与矩阵范畴等价的范畴。

线性变换 - 版本历史

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