自由度 - 版本历史

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 *[https://pattern.swarma.org/paper?id=3adc054e-9cde-11eb-9d35-0242ac170009  Reactive Islands for Three Degrees-of-Freedom Hamiltonian Systems]
 ::本文章进一步探讨了三个自由度时不相关哈密顿系统的反应岛理论的几何、解析和计算框架。在这种情况下，动力学发生在相空间的五维能量面中，并且由三维正常双曲不变球的四维稳定流形和不稳定流形控制。稳定流形和不稳定流形具有球标的几何结构，对此本文章提供了研究这些球标及其交点决定轨迹动态演化的方法。这种几何图像是通过拉格朗日描述子的计算技术实现的。在一组轨迹中，拉格朗日描述符允许被识别最接近稳定或不稳定流形的轨迹。利用截面上流形的近似，能够计算能量面两个区域之间的通量。
 *[https://zhuanlan.zhihu.com/p/364116467  能均分定理推导及应用]

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 ===文章推荐===
 *[https://pattern.swarma.org/paper?id=3adc054e-9cde-11eb-9d35-0242ac170009  Reactive Islands for Three Degrees-of-Freedom Hamiltonian Systems]
-::本文章进一步探讨了三个自由度时不相关哈密顿系统的反应岛理论的几何、解析和计算框架。
+::本文章进一步探讨了三个自由度时不相关哈密顿系统的反应岛理论的几何、解析和计算框架。在这种情况下，动力学发生在相空间的五维能量面中，并且由三维正常双曲不变球的四维稳定流形和不稳定流形控制。稳定流形和不稳定流形具有球标的几何结构，对此本文章提供了研究这些球标及其交点决定轨迹动态演化的方法。这种几何图像是通过拉格朗日描述子的计算技术实现的。在一组轨迹中，拉格朗日描述符允许被识别最接近稳定或不稳定流形的轨迹。利用截面上流形的近似，能够计算能量面两个区域之间的通量。
 ===课程推荐===
 *[https://campus.swarma.org/course/678  非线性动力学与混沌7]
-::本课程讲解了具有一个自由度的机械系统以及关于非线性中心的理论。
+::本课程讲解了具有一个自由度的机械系统以及关于非线性中心的理论。具体讲解了具有一个自由度的机械系统、双井中的粒子、对称、同宿轨道、能量面、关于非线性中心的定理、钟摆以及圆柱相空间的概念及原理、应用等。
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		+	==编者推荐==
		+	===文章推荐===
		+	*[https://pattern.swarma.org/paper?id=3adc054e-9cde-11eb-9d35-0242ac170009 Reactive Islands for Three Degrees-of-Freedom Hamiltonian Systems]
		+	::本文章进一步探讨了三个自由度时不相关哈密顿系统的反应岛理论的几何、解析和计算框架。
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		+	===课程推荐===
		+	*[https://campus.swarma.org/course/678 非线性动力学与混沌7]
		+	::本课程讲解了具有一个自由度的机械系统以及关于非线性中心的理论。

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 在物理和化学中，'''自由度 Degree of freedom'''指的是形式化描述某一物理系统的状态时，一个独立的物理量。某一系统所有状态的集合称为该系统的'''<font color="#000000">相空间 Phase space</font>'''，该系统的自由度便是相空间的维数。
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 [[Category:物理概念]]

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-在物理和化学中，'''<font color="#ff8000">自由度 Degree of freedom</font>'''指的是形式化描述某一物理系统的状态时，一个独立的物理量。某一系统所有状态的集合称为该系统的'''<font color="#ff8000">相空间 Phase space</font>'''，该系统的自由度便是相空间的维数。
+在物理和化学中，'''自由度 Degree of freedom'''指的是形式化描述某一物理系统的状态时，一个独立的物理量。某一系统所有状态的集合称为该系统的'''<font color="#000000">相空间 Phase space</font>'''，该系统的自由度便是相空间的维数。
-'''<font color="#ff8000">粒子 particle </font>'''在'''<font color="#ff8000">三维 three-dimensional </font>'''空间中的位置需要三个位置坐标来标识。
+'''<font color="#000000">粒子 particle </font>'''在'''<font color="#000000">三维 three-dimensional </font>'''空间中的位置需要三个位置坐标来标识。
 同样地，我们也能够根据三个速度分量来描述粒子运动的方向和速度，每个速度分量都参照该空间的三个维度。
 如果系统的时间演变是确定的，其中某一时刻的状态唯一地确定其过去和未来的位置和速度随时间的变化，则该系统具有六个自由度。如果将粒子的运动限制在更低的维度，例如，粒子必须沿着一条线或在固定的表面上移动，那么系统的自由度则小于6。另一方面，如果一个系统带有可旋转或振动的扩展对象，那么它的自由度将大于6。
-在经典力学中，任何给定时间下'''<font color="#ff8000">质点 Point particle</font>'''的状态，通常是用'''<font color="#ff8000">拉格朗日形式 Lagrangian formalism </font>'''中的位置和速度坐标来描述，或者用'''<font color="#ff8000">哈密顿形式 Hamiltonian formalism </font>'''中的位置和动量坐标来描述。
+在经典力学中，任何给定时间下'''<font color="#000000">质点 Point particle</font>'''的状态，通常是用'''<font color="#000000">拉格朗日形式 Lagrangian formalism </font>'''中的位置和速度坐标来描述，或者用'''<font color="#000000">哈密顿形式 Hamiltonian formalism </font>'''中的位置和动量坐标来描述。
 在统计力学中，自由度指的是在描述某个系统的微观状态时，单个的标量数。<ref name=":0">{{cite book |last=Reif |first=F. |title=Fundamentals of Statistical and Thermal Physics |year=2009 |publisher=Waveland Press, Inc. |location=Long Grove, IL |isbn=1-57766-612-7 |page=51}}</ref>某个系统所有微观状态的规格参数都是该系统相空间中的一个点。
-在化学的三维'''<font color="#ff8000">理想链 Ideal chain</font>'''模型中，需要两个角度来描述每个'''<font color="#ff8000">单体 monomer </font>'''的方向。
+在化学的三维'''<font color="#000000">理想链 Ideal chain</font>'''模型中，需要两个角度来描述每个'''<font color="#000000">单体 monomer </font>'''的方向。
 指定二自由度通常很有用。因为它们有助于建立系统能量的二次函数。
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 其等式含有一个未知数{{math|''z''<sub>2</sub>}}，不过我们可以对其求解。因此实际上是允许{{math|''x''<sub>1</sub>}}, {{math|''x''<sub>2</sub>}}, {{math|''y''<sub>1</sub>}}, {{math|''y''<sub>2</sub>}}, {{math|''z''<sub>1</sub>}}, 或者 {{math|''z''<sub>2</sub>}}其中之一是未知的。
-与经典的'''<font color="#ff8000">能量均分定理 Equipartition theorem</font>'''相反，在室温下，分子的振动对'''<font color="#ff8000">热容量 Heat capacity</font>'''的贡献通常可忽略不计。这是因为这些自由度被冻结了，因为能量本征值之间的间隔超过了与环境温度（kBT）相对应的能量。在下表中，这些自由度均被忽略，因为它们对总能量的影响非常小。只有平移和旋转自由度对'''<font color="#ff8000">热容比 Heat capacity ratio</font>'''有些许贡献（等量）。这就是为什么在室温下，单原子气体 γ=5/3和双原子气体 γ=7/5的原因。
+与经典的'''<font color="#000000">能量均分定理 Equipartition theorem</font>'''相反，在室温下，分子的振动对'''<font color="#000000">热容量 Heat capacity</font>'''的贡献通常可忽略不计。这是因为这些自由度被冻结了，因为能量本征值之间的间隔超过了与环境温度（kBT）相对应的能量。在下表中，这些自由度均被忽略，因为它们对总能量的影响非常小。只有平移和旋转自由度对'''<font color="#000000">热容比 Heat capacity ratio</font>'''有些许贡献（等量）。这就是为什么在室温下，单原子气体 γ=5/3和双原子气体 γ=7/5的原因。
 不过，在非常高的温度下，差不多在振动温度(Θ<sub>vib</sub>)的量级上，振动运动就不能被忽略了。
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 *如果<math>E = X_1^4 + X_1 X_2 + X_2^4</math>，则两个自由度不是独立的。其中{{math|''X''<sub>1</sub>}}和{{math|''X''<sub>2</sub>}}的乘积是描述两个自由度之间相互作用的耦合项。
-这里的i值可以取1到N，第i个自由度Xi的值依据'''<font color="#ff8000">波尔兹曼分布 Boltzmann distribution </font>'''。其'''<font color="#ff8000">概率密度函数 Probability density function</font>'''如下：
+这里的i值可以取1到N，第i个自由度Xi的值依据'''<font color="#000000">波尔兹曼分布 Boltzmann distribution </font>'''。其'''<font color="#000000">概率密度函数 Probability density function</font>'''如下：
 :<math>p_i(X_i) = \frac{e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}{\int dX_i \, e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}</math>,
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 *如果<math>E = X_1^2 + 2X_2^2</math>，则两个自由度既是独立的并且是二次的。
-例如，在牛顿力学中，一个二自由度的动力学系统是由一组具有恒定系数的'''<font color="#ff8000">齐次线性微分方程 homogeneous linear differential equations </font>'''控制的。
+例如，在牛顿力学中，一个二自由度的动力学系统是由一组具有恒定系数的'''<font color="#000000">齐次线性微分方程 homogeneous linear differential equations </font>'''控制的。
 ===二次独立的自由度===
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 ===能量均分定理===
-在统计力学的经典极限中，在'''<font color="#ff8000">热力学平衡 Thermodynamic equilibrium</font>'''状态下，N个二次且独立自由度的系统内部能量为：
+在统计力学的经典极限中，在'''<font color="#000000">热力学平衡 Thermodynamic equilibrium</font>'''状态下，N个二次且独立自由度的系统内部能量为：
 :<math>U = \langle E \rangle = N\,\frac{k_B T}{2}</math>
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 ==总结==
-尽管在数学上很方便，但将系统状态描述为相空间中的一个点，从根本上讲是不准确的。在量子力学中，体系运动状态的自由度被波函数的概念所取代，并且对应于其他自由度的'''<font color="#ff8000">算子 Operator</font>'''具有离散的光谱。例如，电子或光子的本征'''<font color="#ff8000">角动量算符 Angular momentum operator </font>'''（对应于转动自由度）只有两个特征值。当运动具有'''<font color="#ff8000">普朗克常数 Planck constant</font>'''的量级时，这种离散变得非常明显，并且可以区分出各个自由度。
+尽管在数学上很方便，但将系统状态描述为相空间中的一个点，从根本上讲是不准确的。在量子力学中，体系运动状态的自由度被波函数的概念所取代，并且对应于其他自由度的'''<font color="#000000">算子 Operator</font>'''具有离散的光谱。例如，电子或光子的本征'''<font color="#000000">角动量算符 Angular momentum operator </font>'''（对应于转动自由度）只有两个特征值。当运动具有'''<font color="#000000">普朗克常数 Planck constant</font>'''的量级时，这种离散变得非常明显，并且可以区分出各个自由度。
 ==参考文献==

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 在物理和化学中，'''<font color="#ff8000">自由度 Degree of freedom</font>'''指的是形式化描述某一物理系统的状态时，一个独立的物理量。某一系统所有状态的集合称为该系统的'''<font color="#ff8000">相空间 Phase space</font>'''，该系统的自由度便是相空间的维数。
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 在统计力学中，自由度指的是在描述某个系统的微观状态时，单个的标量数。<ref name=":0">{{cite book |last=Reif |first=F. |title=Fundamentals of Statistical and Thermal Physics |year=2009 |publisher=Waveland Press, Inc. |location=Long Grove, IL |isbn=1-57766-612-7 |page=51}}</ref>某个系统所有微观状态的规格参数都是该系统相空间中的一个点。
-在化学的三维'''<font color="#ff8000">理想链 Ideal chain</font>'''模型中，，需要两个角度来描述每个'''<font color="#ff8000">单体 monomer </font>'''的方向。
+在化学的三维'''<font color="#ff8000">理想链 Ideal chain</font>'''模型中，需要两个角度来描述每个'''<font color="#ff8000">单体 monomer </font>'''的方向。
 指定二自由度通常很有用。因为它们有助于建立系统能量的二次函数。
-== 气体分子（Gas molecules） ==
+==气体分子==
 [[文件:Degrees of freedom (diatomic molecule).png|缩略图|右|可视化双原子分子六个自由度的不同方式。（其中CM：系统的质心，T：平移运动，R：旋转运动，V：振动运动。）]]
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 |-
+!
-! [[单原子]]
+![[单原子]]
-! [[线性分子]]
+![[线性分子]]
-! [[非线性分子]]
+![[非线性分子]]
 |-
-| 平移 ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}, and {{mvar|z}})
+|平移 ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}, and {{mvar|z}})
-| align="center" | 3
+| align="center" |3
-| align="center" | 3
+| align="center" |3
 | align="center" | 3
 |-
 | 旋转 ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}, and {{mvar|z}})
-| align="center" | 0
+| align="center" |0
-| align="center" | 2
+| align="center" |2
-| align="center" | 3
+| align="center" |3
 |-
-| '''总计''' (不考虑室温下的振动)
+|'''总计''' (不考虑室温下的振动)
-| align="center" | 3
+| align="center" |3
-| align="center" | 5
+| align="center" |5
-| align="center" | 6
+| align="center" |6
 |-
 | 振动
-| align="center" | 0
+| align="center" |0
-| align="center" | {{math|3''N'' − 5}}
+| align="center" |{{math|3''N'' − 5}}
-| align="center" | {{math|3''N'' − 6}}
+| align="center" |{{math|3''N'' − 6}}
 |-
-| '''总计''' (包括振动)
+|'''总计''' (包括振动)
-| align="center" | '''3'''
+| align="center" |'''3'''
-| align="center" | '''3''N'''''
+| align="center" |'''3''N'''''
 | align="center" | '''3''N'''''
 |}
-== 独立自由度（Independent degrees of freedom） ==
+==独立自由度==
 某个系统的自由度{{math|''X''<sub>1</sub>, ... , ''X''<sub>''N''</sub>}}集合，如果集合的能量可以用以下形式表示，则它们是独立的：
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 例如：如果{{math|''X''<sub>1</sub>}} 和 {{math|''X''<sub>2</sub>}}是两个自由度，并且E是关联的能量。
-* 如果<math>E = X_1^4 + X_2^4</math>，则两个自由度是独立的。
+*如果<math>E = X_1^4 + X_2^4</math>，则两个自由度是独立的。
-* 如果<math>E = X_1^4 + X_1 X_2 + X_2^4</math>，则两个自由度不是独立的。其中{{math|''X''<sub>1</sub>}}和{{math|''X''<sub>2</sub>}}的乘积是描述两个自由度之间相互作用的耦合项。
+*如果<math>E = X_1^4 + X_1 X_2 + X_2^4</math>，则两个自由度不是独立的。其中{{math|''X''<sub>1</sub>}}和{{math|''X''<sub>2</sub>}}的乘积是描述两个自由度之间相互作用的耦合项。
 这里的i值可以取1到N，第i个自由度Xi的值依据'''<font color="#ff8000">波尔兹曼分布 Boltzmann distribution </font>'''。其'''<font color="#ff8000">概率密度函数 Probability density function</font>'''如下：
-: <math>p_i(X_i) = \frac{e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}{\int dX_i \, e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}</math>,
+:<math>p_i(X_i) = \frac{e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}{\int dX_i \, e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}</math>,
 在本节以及整篇文章中，方括号<math>\langle \rangle</math>表示其所包含数量的平均值。
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 :<math>\langle E \rangle = \sum_{i=1}^N \langle E_i \rangle.</math>
-== 二次自由度（Quadratic degrees of freedom） ==
+==二次自由度==
 如果与该自由度相关的能量项可以写成如下等式，则自由度{{mvar|X<sub>i</sub>}}是二次的
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 例如：如果{{math|''X''<sub>1</sub>}} 和 {{math|''X''<sub>2</sub>}}是两个自由度，而E是关联的能量：
-* 如果<math>E = X_1^4 + X_1^3 X_2 + X_2^4</math>，则两个自由度既不是独立的也非二次的。
+*如果<math>E = X_1^4 + X_1^3 X_2 + X_2^4</math>，则两个自由度既不是独立的也非二次的。
 * 如果<math>E = X_1^4 + X_2^4</math>，则两个自由度是独立的但非二次的。
-* 如果<math>E = X_1^2 + X_1 X_2 + 2X_2^2</math>，则两个自由度不是独立的，而是二次的。
+*如果<math>E = X_1^2 + X_1 X_2 + 2X_2^2</math>，则两个自由度不是独立的，而是二次的。
-* 如果<math>E = X_1^2 + 2X_2^2</math>，则两个自由度既是独立的并且是二次的。
+*如果<math>E = X_1^2 + 2X_2^2</math>，则两个自由度既是独立的并且是二次的。
 例如，在牛顿力学中，一个二自由度的动力学系统是由一组具有恒定系数的'''<font color="#ff8000">齐次线性微分方程 homogeneous linear differential equations </font>'''控制的。
-=== 二次独立的自由度（Quadratic and independent degree of freedom） ===
+===二次独立的自由度===
 如果能量与系统的微观状态有关，则{{math|''X''<sub>1</sub>, ... , ''X''<sub>''N''</sub>}}是二次独立的自由度，它们可以写成：
@@ 第134行： / 第127行： @@
 :<math>E = \sum_{i=1}^N \alpha_i X_i^2</math>
-=== 能量均分定理（Equipartition theorem） ===
+===能量均分定理===
 在统计力学的经典极限中，在'''<font color="#ff8000">热力学平衡 Thermodynamic equilibrium</font>'''状态下，N个二次且独立自由度的系统内部能量为：
-: <math>U = \langle E \rangle = N\,\frac{k_B T}{2}</math>
+:<math>U = \langle E \rangle = N\,\frac{k_B T}{2}</math>
 此时，与自由度相关的平均能量为：
@@ 第147行： / 第140行： @@
 由于自由度是独立的，因此系统的内部能量等于每个自由度带有的平均能量之和，由此得到了结果。
-== 总结 ==
+==总结==
 尽管在数学上很方便，但将系统状态描述为相空间中的一个点，从根本上讲是不准确的。在量子力学中，体系运动状态的自由度被波函数的概念所取代，并且对应于其他自由度的'''<font color="#ff8000">算子 Operator</font>'''具有离散的光谱。例如，电子或光子的本征'''<font color="#ff8000">角动量算符 Angular momentum operator </font>'''（对应于转动自由度）只有两个特征值。当运动具有'''<font color="#ff8000">普朗克常数 Planck constant</font>'''的量级时，这种离散变得非常明显，并且可以区分出各个自由度。
-==References==
+==参考文献==
 {{reflist}}
-[[Category:Concepts in physics]]
+[[Category:物理概念]]
-<noinclude>
+[[Category:维度]]
-<small>This page was moved from [[wikipedia:en:Degrees of freedom (physics and chemistry)]]. Its edit history can be viewed at [[自由度/edithistory]]</small></noinclude>
+<noinclude></noinclude>
 [[Category:待整理页面]]

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 {{about|physics and chemistry|other fields|Degrees of freedom}}
-{{Refimprove|date=November 2009}
+{{Refimprove|date=November 2009}}
 In [[physics]] and [[chemistry]], a '''degree of freedom''' is an independent physical [[parameter]] in the formal description of the state of a [[physical system]]. The set of all states of a system is known as the system's [[phase space]], and the degrees of freedom of the system are the [[dimension]]s of the phase space.

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	{{Refimprove\|date=November 2009}		{{Refimprove\|date=November 2009}
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	In [[physics]] and [[chemistry]], a '''degree of freedom''' is an independent physical [[parameter]] in the formal description of the state of a [[physical system]]. The set of all states of a system is known as the system's [[phase space]], and the degrees of freedom of the system are the [[dimension]]s of the phase space.		In [[physics]] and [[chemistry]], a '''degree of freedom''' is an independent physical [[parameter]] in the formal description of the state of a [[physical system]]. The set of all states of a system is known as the system's [[phase space]], and the degrees of freedom of the system are the [[dimension]]s of the phase space.