蝴蝶效应 Butterfly effect - 版本历史

许许：/* 数学定义 */

2020-12-16T08:52:00Z

数学定义

许许：/* 数学定义 */

2020-12-16T08:42:58Z

数学定义

许许：/* 蝴蝶效应的成因分析 */

2020-12-16T08:28:27Z

蝴蝶效应的成因分析

许许：/* 洛伦茨系统演化的仿真图示 */

2020-12-16T08:18:39Z

洛伦茨系统演化的仿真图示

Lux Cicero：/* 混沌理论中的蝴蝶效应 */

2020-12-16T06:22:36Z

混沌理论中的蝴蝶效应

Lux Cicero：/* 混沌理论中的蝴蝶效应 */ 马蹄铁民谣的格式调整

2020-12-16T06:21:20Z

混沌理论中的蝴蝶效应：马蹄铁民谣的格式调整

Lux Cicero：/* 成因分析 */

2020-12-16T06:04:11Z

成因分析

许许：/* 编者推荐 */

2020-12-16T04:38:28Z

编者推荐

许许：/* 混沌理论中的蝴蝶效应 */

2020-12-16T04:27:19Z

混沌理论中的蝴蝶效应

许许：/* 历史 */

2020-12-16T04:25:21Z

历史

@@ 第65行： / 第65行： @@
 我们一般在欧式空间Euclidean space或希尔伯特空间Hilbert space中考虑动力系统，这两种空间均为度量空间。
-考虑度量空间<math>(M,d)</math>中动力系统<math>f^t:M \to M</math>，其把初始状态<math>x_0\in M</math>映射为$t>0$时刻的系统状态<math>x_t\in M</math>。动力系统的初始条件敏感依赖性被(Devaney, 2003)定义为，存在正数<math>\delta >0</math> 满足：对于任意 <math>x\in M</math>以及<math>x</math>的任意邻域<math>N(x)</math>都存在<math>t\geq 0</math>以及<math>y\in N(x)</math> 满足:
+考虑度量空间<math>(M,d)</math>中动力系统<math>f^t:M \to M</math>，其把初始状态<math>x_0\in M</math>映射为$t>0$时刻的系统状态<math>x_t\in M</math>。动力系统的初始条件敏感依赖性被<ref>Devaney, R. (2003). An introduction to chaotic dynamical systems. Westview press.</ref>定义为，存在正数<math>\delta >0</math> 满足：对于任意 <math>x\in M</math>以及<math>x</math>的任意邻域<math>N(x)</math>都存在<math>t\geq 0</math>以及<math>y\in N(x)</math> 满足:
 <math>d(f^t(x),f^t(y))>\delta</math>.
@@ 第78行： / 第78行： @@
 由此我们可以得知，初始条件敏感依赖性，并没有约束系统的长期行为是不是趋近于某一平衡态或者周期轨道；而仅仅要求了，任意从任意两个任意接近的初始状态出发，系统的两条演化轨迹在一定时间内快速分开。
-于是，对于具有初始条件敏感依赖性的系统（如天气系统），由于无法完全准确地测量和初始条件，以及仿真计算系统的演化，因此我们难以进行超过特定时间范围的预测，例如对于天气预测暂时无法超过一个月。不仅如此，李雅普诺夫指数还反映出，误差在一定范围内是指数增加的。这也意味着，只有我们的测量精度和计算精度指数增长，我们能预测的时长才只能线性增长。参阅(Strogatz, 2018)第329-330页的例子，以及(Lighthill, 1986)中的精彩讨论。
+于是，对于具有初始条件敏感依赖性的系统（如天气系统），由于无法完全准确地测量和初始条件，以及仿真计算系统的演化，因此我们难以进行超过特定时间范围的预测，例如对于天气预测暂时无法超过一个月。不仅如此，李雅普诺夫指数还反映出，误差在一定范围内是指数增加的。这也意味着，只有我们的测量精度和计算精度指数增长，我们能预测的时长才只能线性增长。参阅<ref>Strogatz, S. H. (2018). Nonlinear dynamics and chaos with student solutions manual: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering. CRC press.</ref>的例子，以及<ref>Lighthill, M. J. (1986). The recently recognized failure of predictability in Newtonian dynamics. Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences, 407(1832), 35-50.</ref>中的精彩讨论。
-当然，对于既不发散也不收敛、初始条件敏感、非周期变化、确定性混沌系统而言，这样的误差一般不是无限指数增加的，而是会有个限度。对于存在奇怪吸引子 strange attractor的混沌系统，例如洛伦茨发现的系统(Tucker, 1999)，其最大误差不会大于奇怪吸引子的直径。对于给定动力系统的李雅普诺夫指数计算，参阅(Strogatz, 2018)第373-376页。
+当然，对于既不发散也不收敛、初始条件敏感、非周期变化、确定性混沌系统而言，这样的误差一般不是无限指数增加的，而是会有个限度。对于存在奇怪吸引子 strange attractor的混沌系统，例如洛伦茨发现的系统<ref>Tucker, W. (1999). The Lorenz attractor exists. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics, 328(12), 1197-1202.</ref>，其最大误差不会大于奇怪吸引子的直径。对于给定动力系统的李雅普诺夫指数计算<ref> Strogatz, S. H. (2018). Nonlinear dynamics and chaos with student solutions manual: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering. CRC press.</ref>。
 == 洛伦茨系统演化的仿真图示 ==

@@ 第57行： / 第57行： @@
 ==== 数学定义====
-定义：设M是映射<math> f^{t}</math>的状态空间：如果对于任何<math> x∈M</math>和<math> δ> 0</math>，都存在<math> y∈M</math>和距离<math>d(. , .)</math>使得 <math> 0<d(x,y)<δ</math> 且对于某个正数 <math>a</math> 有 <math>d(f^{t}(x),f^{t}(y))>e^{at}d(x,y) </math>，则映射 <math> f^{t}</math> 表现出对初始条件的敏感依赖性。该定义不要求邻域中的所有点都与基点x分开，而是需要一个正的[[李雅普诺夫指数 Lyapunov exponent]]。
+动力系统理论是数学的分支，动力系统的初始条件敏感依赖性自然就是一个数学性质。数学上，为了保持一般性，我们在度量空间中考虑动力系统的初始条件敏感依赖性。
-逻辑图映射的特定参数化提供了表现出对初始条件敏感依赖的最简单的数学框架：
+考虑度量空间<math>(M,d)</math>中动力系统<math>f^t:M \to M</math>，其把初始状态<math>x_0\in M</math>映射为$t>0$时刻的系统状态<math>x_t\in M</math>。动力系统的初始条件敏感依赖性被(Devaney, 2003)定义为，存在正数<math>\delta >0</math> 满足：对于任意 <math>x\in M</math>以及<math>x</math>的任意邻域<math>N(x)</math>都存在<math>t\geq 0</math>以及<math>y\in N(x)</math> 满足:
-::<math>x_{n+1} = 4x_n(1-x_n),\quad 0≤x_{0}≤1.</math>
+这里的中心思想是，只要动力系统对于任意初始状态<math>x</math>，存在一个任意接近$x$的系统状态量<math>y</math>，它能逐渐演化远离<math>x</math>，那么这个动力系统就具备初始条件的敏感依赖性。这里要强调，没有必要要求<math>x</math>附近的所有<math>y</math>都最终<math>f^t(y)</math>不趋近<math>f^t(x)</math>；只要至少有一个这样的<math>y</math>就可以了。
-与大多数混沌图映射不同，该图映射具有封闭形式的解决方案：
+考虑度量空间<math>(M,d)</math>中动力系统<math>f^t:M \to M</math>，其把初始状态<math>x_0\in M</math>映射为<math>t>0</math>时刻的系统状态</math>x_t\in M</math>。动力系统的初始条件敏感依赖性被定义为，存在正数</math>\lambda >0</math>  满足：对于任意 <math>x\in M</math>以及<math>\delta >0</math>都存在满足<math>d(x,y)<\delta</math>的<math>y</math>以及时刻<math>t\geq 0</math>满足:
-::<math>x_{n} = sin^{2}(2^{n}θπ).</math>
+由此我们可以得知，初始条件敏感依赖性，并没有约束系统的长期行为是不是趋近于某一平衡态或者周期轨道；而仅仅要求了，任意从任意两个任意接近的初始状态出发，系统的两条演化轨迹在一定时间内快速分开。
-其中初始状态<math>θ=\frac{1}{π} sin^{-1}(x_{0}^{\frac{1}{2}}) </math>，对于有理数 <math>θ</math> ，在有限次数的迭代之后，<math>x_{n}</math> 映射为周期序列。但是几乎所有的  <math>θ</math> 都是无理数的，那么对于无理数的 <math>θ</math> ，<math>x_{n}</math> 永远不会自我重复——因为它是非周期性的。该解决方案方程式清楚地说明了混沌的两个关键特征–拉伸 stretching和折叠 folding ：因子 ，<math>2^{n}</math> 显示拉伸的指数增长，这导致对初始条件的敏感依赖（即蝴蝶效应），而正弦平方函数将 ，<math>x_{n}</math> 折叠在[0,1]范围内。
+于是，对于具有初始条件敏感依赖性的系统（如天气系统），由于无法完全准确地测量和初始条件，以及仿真计算系统的演化，因此我们难以进行超过特定时间范围的预测，例如对于天气预测暂时无法超过一个月。不仅如此，李雅普诺夫指数还反映出，误差在一定范围内是指数增加的。这也意味着，只有我们的测量精度和计算精度指数增长，我们能预测的时长才只能线性增长。参阅(Strogatz, 2018)第329-330页的例子，以及(Lighthill, 1986)中的精彩讨论。
 == 洛伦茨系统演化的仿真图示 ==

@@ 第54行： / 第54行： @@
 第三类就是混沌系统，例如洛伦茨所构建的系统。这类系统不仅具备初始条件敏感依赖性，而且既不发散，也不收敛，还表现出非周期aperiodic/nonperiodic现象。狭义的说，洛伦茨所考虑的蝴蝶效应，正是混沌系统的效应。但是严格的说，初始条件敏感依赖性，并不是混沌系统的专有性质。只是在20世纪60年代，人们对于混沌的认识不深，因此把蝴蝶效应定义为了初始条件敏感依赖性，而没有注意区分蝴蝶效应和混沌行为。
-今天，我们一般所说的蝴蝶效应，也主要指混沌系统的初始条件敏感依赖性(Shinbrot et al., 1992)。然而，我们不应混淆蝴蝶效应和混沌系统。虽然混沌系统都具备这样的性质，但是具备这样性质的系统，却不一定是混沌系统。
+今天，我们一般所说的蝴蝶效应，也主要指混沌系统的初始条件敏感依赖性(Shinbrot et al., 1992)。然而，我们不应混淆蝴蝶效应和混沌系统。虽然混沌系统都具备这样的性质，但是具备这样性质的系统，却不一定是混沌系统。<ref>Shinbrot, T., Ditto, W., Grebogi, C., Ott, E., Spano, M., & Yorke, J. A. (1992). Using the sensitive dependence of chaos (the ‘‘butterfly effect’’) to direct trajectories in an experimental chaotic system. Physical review letters, 68(19), 2863.</ref>
 ==== 数学定义====

@@ 第83行： / 第83行： @@
 | style="text-align:center;"|[[File:QQ图片20200428212658.png|400px]]
 |-
-|colspan=3| 这些两幅图表示了洛伦茨系统从两个相差无几的初始状态（仅在某一方向上差$10^{-5}$）而演化的过程。上图中，蓝色曲线由外侧的蓝色椎体开始，演化30倍单位时间之后，到达内侧的蓝色椎体；黄色曲线由外侧的黄色椎体开始，演化30倍单位时间之后，到达内侧的黄色椎体。这里把这两条曲线分开绘制的原因是，两条曲线的大部分高度相近，若绘制在一起，则会看起来重合在一起，而不方便我们对比这两条曲线的不同。通过对比这两条曲线，我们可以发现，两条演化轨迹在最后一段时间完全不同，特别是最终位置明显差了一截。
+|colspan=3| 这些两幅图表示了洛伦茨系统从两个相差无几的初始状态（仅在某一方向上差<math>10^{-5}</math>）而演化的过程。上图中，蓝色曲线由外侧的蓝色椎体开始，演化30倍单位时间之后，到达内侧的蓝色椎体；黄色曲线由外侧的黄色椎体开始，演化30倍单位时间之后，到达内侧的黄色椎体。这里把这两条曲线分开绘制的原因是，两条曲线的大部分高度相近，若绘制在一起，则会看起来重合在一起，而不方便我们对比这两条曲线的不同。通过对比这两条曲线，我们可以发现，两条演化轨迹在最后一段时间完全不同，特别是最终位置明显差了一截。
 下图对比了两条曲线的沿某一固定方向的坐标变化。其中上半子图是两条曲线的平均坐标变化，下半子图是两条曲线坐标差异的变化。可以看出，最初，两条轨迹几乎是重合的，而当演化时间超过23倍单位时间的时候，两条演化曲线开始不再一致，并且他们的差异开始无规律震荡，到最终30倍单位时间时，两条曲线大概相差15倍单位坐标。
-由此可见，初始条件的微小不同（仅在某一方向上差$10^{-5}$倍单位坐标），在经过30倍单位时间的演化后，放大了10万倍，成了巨大的差异（15倍单位坐标）
+由此可见，初始条件的微小不同（仅在某一方向上差<math>10^{-5}</math>倍单位坐标），在经过30倍单位时间的演化后，放大了10万倍，成了巨大的差异（15倍单位坐标）
 |-
 | style="text-align:center;" colspan="3"| [[洛伦茨吸引子]]的动画显示了不断的发展。

@@ 第21行： / 第21行： @@
 根据 Gleick (2011) 的考证，“初始条件的敏感依赖性“并不是个全新的概念，之前人们所传颂的谚语中就有提到：
-{{Quotation|“丢了一只马蹄铁，折了一匹战马；
+{{Quotation|丢了一只马蹄铁，折了一匹战马；
    折了一匹战马，损了一位国王；
@@ 第36行： / 第36行： @@
 For want of a rider, the battle was lost;
-For want of a battle, the kingdom was lost!”
+For want of a battle, the kingdom was lost!
 }}看起来丢了一只马蹄跌只是一件无关痛痒的小事，但是在事物发展过程中，这却有可能导致完全无法预知的大后果。

@@ 第36行： / 第36行： @@
 蝴蝶效应反映了事物发展经常同时存在“定数”与“变数”，事物在发展过程中其发展轨迹有规律可循，同时也可能被不可预知、不可精确测量的“变数”所影响。这样使得我们即使已经掌握了确定的规律，但是在根据规律而做预测和推断时，也有可能会失之毫厘，差之千里。微观上的一个小变化却有可能影响宏观上事物的大发展，这反映了一些事物的发展具有复杂性。
-====成因分析====
+====蝴蝶效应的成因分析====
 如前文所说，蝴蝶效应指的是动力系统的初始条件敏感依赖性，那么什么样的动力系统会有这样的性质？
-最简单的情况就是发散divergent的动力系统。例如削尖的铅笔，其笔尖立在桌子上。理论上它可以保持平衡，但是非常不稳定，稍微一点外力影响就会倒下。如果我们不考虑在铅笔倒下过程中，桌子对铅笔的阻挡作用，那么铅笔倒下之后，就会一直跌落下去，直到无穷远。这个时候我们说，铅笔动力系统的运动轨迹发散到了无穷。这样的铅笔动力系统就是发散的。从过程角度来说，发散的动力系统都具有初始条件敏感依赖性，只要初始条件有一点差异，那么系统的演化过程就会很不一样；从“结果”（长期行为）角度来说，发散的动力系统都不具备初始条件敏感依赖性，因为无论什么样的初始条件，系统的演化过程一定是朝向无穷大（或无穷远）的。
+最简单的情况就是发散的divergent动力系统。例如削尖的铅笔，其笔尖立在桌子上。理论上它可以保持平衡，但是非常不稳定，稍微一点外力影响就会倒下。如果我们不考虑在铅笔倒下过程中，桌子对铅笔的阻挡作用，那么铅笔倒下之后，就会一直跌落下去，直到无穷远。这个时候我们说，铅笔动力系统的运动轨迹发散到了无穷。这样的铅笔动力系统就是发散的。从过程角度来说，发散的动力系统都具有初始条件敏感依赖性，只要初始条件有一点差异，那么系统的演化过程就会很不一样；从“结果”（长期行为）角度来说，发散的动力系统都不具备初始条件敏感依赖性，因为无论什么样的初始条件，系统的演化过程一定是朝向无穷大（或无穷远）的。
 除了发散的动力系统之外，还有一些介于收敛convergent和发散之间的动力系统，会具备初始条件的敏感依赖性。
@@ 第50行： / 第50行： @@
 今天，我们一般所说的蝴蝶效应，也主要指混沌系统的初始条件敏感依赖性(Shinbrot et al., 1992)。然而，我们不应混淆蝴蝶效应和混沌系统。虽然混沌系统都具备这样的性质，但是具备这样性质的系统，却不一定是混沌系统。
 ==== 数学定义====

@@ 第137行： / 第137行： @@
 == 编者推荐 ==
 ===书籍推荐===
 ====《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》====

@@ 第19行： / 第19行： @@
 在[[混沌理论]] chaos theory 中，蝴蝶效应指的是动力系统 dynamical system 的一种属性，即其关于初始条件的敏感依赖性 the sensitive dependence on initial conditions 。对于具备这种属性的确定性动力系统 deterministic system， 某个状态量的微小改变都有可能导致这个系统之后演化过程的巨大差异。
-根据 Gleick (2011) 的考证，“初始条件的敏感依赖性“并不是个全新的概念，之前人们所传颂的谚语中就有提到：(下面两段用引言格式)
+根据 Gleick (2011) 的考证，“初始条件的敏感依赖性“并不是个全新的概念，之前人们所传颂的谚语中就有提到：
 丢了一只马蹄铁，折了一匹战马；

←上一版本		2020年12月16日 (三) 04:25的版本
第6行：		第6行：
	[[File:蝴蝶效应2.jpg\|400px\|thumb\|right\|值ρ= 28，σ= 10，β= 8/3 的Lorenz [[奇异吸引子]]的图。蝴蝶效应或对初始条件的敏感依赖性是[[动力学系统]]的特性，该[[动力学系统]]从[[吸引子]]上的各种任意接近的替代初始条件中的任意一个开始，迭代点将彼此任意散布。]]		[[File:蝴蝶效应2.jpg\|400px\|thumb\|right\|值ρ= 28，σ= 10，β= 8/3 的Lorenz [[奇异吸引子]]的图。蝴蝶效应或对初始条件的敏感依赖性是[[动力学系统]]的特性，该[[动力学系统]]从[[吸引子]]上的各种任意接近的替代初始条件中的任意一个开始，迭代点将彼此任意散布。]]

−	美国气象学家爱德华·洛伦茨 Edward N.Lorenz ~~1963年在一篇提交纽约科学院的论文《确定性非周期流~~ Deterministic Nonperiodic Flow 》 <ref>Lorenz, Edward N. (March 1963). "[https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Deterministic+non-periodic+flow&author=E.+N.+Lorenz&publication_year=1963 Deterministic Nonperiodic Flow]". Journal of the Atmospheric Sciences. 20(2): 130–141.</ref>中分析了这个效应：“一个气象学家曾评论说：“如果这个理论是正确，那么海鸥扇动一次翅膀就足以永远改变天气变化。”在后来的演讲和论文中他用了更加有诗意的表达——"'''蝴蝶效应'''"。	+	美国气象学家爱德华·洛伦茨 Edward N. Lorenz 1963年在一篇发表于《大气科学杂志》 ''Journal of Atmospheric Sciences''的论文《确定性非周期流》''Deterministic Nonperiodic Flow''<ref>Lorenz, Edward N. (March 1963). "[https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Deterministic+non-periodic+flow&author=E.+N.+Lorenz&publication_year=1963 Deterministic Nonperiodic Flow]". Journal of the Atmospheric Sciences. 20(2): 130–141.</ref>中首次观察并分析了这个效应，并在发表于《纽约科学院学报》 ''Transactions of the New York Academy of Sciences'' 的论文《流体动力流的可预测性》''The Predictability of Hydrodynamic Flow'' 中评论说：“一个气象学家曾评论说：'如果这个理论是正确，那么海鸥扇动一次翅膀就足以永远改变天气变化。'在后来的演讲和论文中他用了更加有诗意的表达——"'''蝴蝶效应'''"。