王志鹏：建立内容为“===传递函数的视角=== 将 (RC-2) 两边做拉普拉斯变换，得到 $\tilde{V}_{\text{in}}(s) = R \tilde{I}(s) + \frac{1}{Cs} \tilde{I}(s) = R…”的新页面$

2025-12-26T11:40:45Z

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===传递函数的视角===

将 (RC-2) 两边做[[拉普拉斯变换]]，得到

<math>
\tilde{V}_{\text{in}}(s) = R \tilde{I}(s) + \frac{1}{Cs} \tilde{I}(s) = R \tilde{I}(s) + \tilde{V}_{C}(s)
</math>

整理得到 <math>\tilde{V}_{C} = (RCs + 1)\tilde{V}_{\text{out}}(s)</math>，系统的[[传递函数]]为

<math>
G(s) = \frac{\tilde{V}_{\text{out}}(s)}{\tilde{V}_{C}(s)} = \frac{1}{RCs + 1},
</math>

这是一个典型的一阶惯性环节，电容开始无电量，[[电压]]恒定的情况相当于系统的[[阶跃响应]]，而一阶[[惯性系统]]的阶跃响应总是稳定、无震荡的。其响应值达到[[稳态]]值的约 <math>63.2\%</math> 所需时间为时间常数 <math>\tau</math>。由[[控制论]]的工具出发，还可以分析 RC [[电路]]在不同输入[[电压]]（如脉冲、交流电）下的不同响应（输出[[电压]]）。

===[[频率]]特性===

现在考虑输入为单相交流电的情形。假设输入[[电压]]随时间变化为 <math>V_{\text{in}}(t) = \sin(\omega t)</math>，其对应的[[拉普拉斯变换]]为 <math>\displaystyle \tilde{V}_{\text{in}}(s) = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}}</math>，由系统的[[传递函数]]，可得输出[[电压]]的[[拉普拉斯变换]]为

<math>
\tilde{V}_{\text{out}}(s) = \tilde{V}_{\text{in}}(s) G(s) = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} \cdot \frac{1}{\tau s+ 1}
</math>

做拉普拉斯反变换，得到

<math>
V_{\text{out}}(t) = \frac{\tau \omega}{1 + \tau^{2}\omega^{2}}e^{-t/\tau} + \frac{1}{\sqrt{ (\omega \tau)^{2} + 1 }} \sin(\omega t - \arctan(\omega \tau))
</math>

称 <math>a(\omega) = \displaystyle \frac{1}{(\omega \tau)^{2}+1}</math> 为系统的[[幅频特性]]，<math>\phi(\omega) = -\arctan(\omega \tau)</math> 为其[[相频特性]]。可以看到当交流电[[频率]]增加时，输出[[电压]]的幅度降低：这是一个简单的[[低通滤波器]]。

讨论:一维动力学 - 版本历史

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