讨论:Koopman算子理论 - 版本历史

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Koopman算子定义

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残差DMD

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Koopman算子定义

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核DMD

2025年12月6日 (六) 05:45 Matthew

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核DMD

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Koopman算子定义

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核DMD

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Koopman算子定义

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第1行：		第1行：
−	~~=Koopman算子定义=~~

−	* 生成元 <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率，即<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) </math> 。
−
−	~~ymz：最后的这个公式其实是最直观的定义，可不可以往前放，单独列一行~~
−
−	~~pll：和上面的变为一行了~~
−
−	* 结合伊藤公式（Ito's lemma）
−
−	~~ymz：这具体是什么公式，另外中英文是这样对应的吗，lemma直译过来是引理。~~
−
−	~~pll：“伊藤公式是随机微积分里的 “链式法则”—— 专门用来算 “随布朗运动（一种随机过程）变化的函数” 的微分。”~~
−
−	~~<math> \begin{align*}\mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) &= \lim_{t \to 0} \frac{\mathbb{E}[g(x(t)) \mid x(0)=x] - g(x)}{t} \quad (\text{生成元定义}) \\~~
−	~~&= \lim_{t \to 0} \frac{\mathbb{E}\left[ g(x) + \int_0^t dg(x(s)) \mid x(0)=x \right] - g(x)}{t} \quad (\text{积分基本定理：}g(x(t)) - g(x) = \int_0^t dg(x(s))) \\~~
−	&= \lim_{t \to 0} \frac{\mathbb{E}\left[ \int_0^t \left( \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial x_i}(x(s))dx_i(s) + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j}(x(s))dx_i(s)dx_j(s) \right) \mid x(0)=x \right]}{t} \quad (\text{多元伊藤公式}) \\
−	&= \lim_{t \to 0} \frac{\mathbb{E}\left[ \int_0^t \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial x_i}(x(s))\left( f_i(x(s))dt + \sum_{k=1}^m \sigma_{ik}(x(s))dW_k(s) \right) + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j}(x(s))\left( \sum_{k=1}^m \sigma_{ik}(x(s))\sigma_{jk}(x(s))dt \right) ds \mid x(0)=x \right]}{t} \quad (\text{SDE分量代入+Wiener性质：}dW_k dW_l=\delta_{kl}dt, dt\cdot dt=dt\cdot dW_k=0) \\
−	&= \lim_{t \to 0} \frac{\mathbb{E}\left[ \int_0^t \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial x_i}f_i(x(s))dt + \int_0^t \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^m \frac{\partial g}{\partial x_i}\sigma_{ik}(x(s))dW_k(s) + \int_0^t \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \sum_{k=1}^m \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j}\sigma_{ik}\sigma_{jk}(x(s))dt \mid x(0)=x \right]}{t} \quad (\text{积分项拆分+求和与积分交换}) \\
−	&= \lim_{t \to 0} \frac{\int_0^t \mathbb{E}\left[ \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial x_i}f_i(x(s)) + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \sum_{k=1}^m \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j}\sigma_{ik}\sigma_{jk}(x(s)) \mid x(0)=x \right] dt + \mathbb{E}\left[ \int_0^t \sum_{i,k} \frac{\partial g}{\partial x_i}\sigma_{ik}(x(s))dW_k(s) \mid x(0)=x \right]}{t} \quad (\text{Fubini定理：期望与积分交换}) \\
−	&= \lim_{t \to 0} \frac{\int_0^t \mathbb{E}\left[ \nabla g(x(s)) \cdot f(x(s)) + \frac{1}{2}\text{Tr}\left( \sigma(x(s))\sigma(x(s))^T \nabla^2 g(x(s)) \right) \mid x(0)=x \right] dt}{t} \quad (\text{向量点积定义+迹的定义；伊藤积分期望为0}) \\
−	&= \lim_{t \to 0} \frac{\int_0^t \left( \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2}\text{Tr}\left( \sigma(x)\sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) \right) dt + o(t)}{t} \quad (\text{$t\to0$时$x(s)\to x$，被积函数连续+积分中值定理}) \\
−	~~&= \lim_{t \to 0} \frac{\left( \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2}\text{Tr}\left( \sigma(x)\sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) \right) t + o(t)}{t} \quad (\text{积分结果展开}) \\~~
−	~~&= \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2}\text{Tr}\left( \sigma(x)\sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) \quad (\text{约分$t$，$\lim_{t\to0}\frac{o(t)}{t}=0$})~~
−	~~\end{align*}~~
−	~~</math>~~
−
−	~~=残差DMD=~~
−
−	* 1. Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).
−	~~2. Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).~~
−
−	~~ymz：这里的文献是干什么的~~
−
−	~~pll：我引用文献习惯用编辑模式，这个模式现在用不了，就先把文献放着，防止忘记，现在已经删了，文献也加上了~~
−
−	~~=核DMD=~~

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第12行：		第12行：

	pll：“伊藤公式是随机微积分里的 “链式法则”—— 专门用来算 “随布朗运动（一种随机过程）变化的函数” 的微分。”		pll：“伊藤公式是随机微积分里的 “链式法则”—— 专门用来算 “随布朗运动（一种随机过程）变化的函数” 的微分。”
		+
		+	<math> \begin{align*}\mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) &= \lim_{t \to 0} \frac{\mathbb{E}[g(x(t)) \mid x(0)=x] - g(x)}{t} \quad (\text{生成元定义}) \\
		+	&= \lim_{t \to 0} \frac{\mathbb{E}\left[ g(x) + \int_0^t dg(x(s)) \mid x(0)=x \right] - g(x)}{t} \quad (\text{积分基本定理：}g(x(t)) - g(x) = \int_0^t dg(x(s))) \\
		+	&= \lim_{t \to 0} \frac{\mathbb{E}\left[ \int_0^t \left( \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial x_i}(x(s))dx_i(s) + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j}(x(s))dx_i(s)dx_j(s) \right) \mid x(0)=x \right]}{t} \quad (\text{多元伊藤公式}) \\
		+	&= \lim_{t \to 0} \frac{\mathbb{E}\left[ \int_0^t \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial x_i}(x(s))\left( f_i(x(s))dt + \sum_{k=1}^m \sigma_{ik}(x(s))dW_k(s) \right) + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j}(x(s))\left( \sum_{k=1}^m \sigma_{ik}(x(s))\sigma_{jk}(x(s))dt \right) ds \mid x(0)=x \right]}{t} \quad (\text{SDE分量代入+Wiener性质：}dW_k dW_l=\delta_{kl}dt, dt\cdot dt=dt\cdot dW_k=0) \\
		+	&= \lim_{t \to 0} \frac{\mathbb{E}\left[ \int_0^t \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial x_i}f_i(x(s))dt + \int_0^t \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^m \frac{\partial g}{\partial x_i}\sigma_{ik}(x(s))dW_k(s) + \int_0^t \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \sum_{k=1}^m \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j}\sigma_{ik}\sigma_{jk}(x(s))dt \mid x(0)=x \right]}{t} \quad (\text{积分项拆分+求和与积分交换}) \\
		+	&= \lim_{t \to 0} \frac{\int_0^t \mathbb{E}\left[ \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial x_i}f_i(x(s)) + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \sum_{k=1}^m \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j}\sigma_{ik}\sigma_{jk}(x(s)) \mid x(0)=x \right] dt + \mathbb{E}\left[ \int_0^t \sum_{i,k} \frac{\partial g}{\partial x_i}\sigma_{ik}(x(s))dW_k(s) \mid x(0)=x \right]}{t} \quad (\text{Fubini定理：期望与积分交换}) \\
		+	&= \lim_{t \to 0} \frac{\int_0^t \mathbb{E}\left[ \nabla g(x(s)) \cdot f(x(s)) + \frac{1}{2}\text{Tr}\left( \sigma(x(s))\sigma(x(s))^T \nabla^2 g(x(s)) \right) \mid x(0)=x \right] dt}{t} \quad (\text{向量点积定义+迹的定义；伊藤积分期望为0}) \\
		+	&= \lim_{t \to 0} \frac{\int_0^t \left( \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2}\text{Tr}\left( \sigma(x)\sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) \right) dt + o(t)}{t} \quad (\text{$t\to0$时$x(s)\to x$，被积函数连续+积分中值定理}) \\
		+	&= \lim_{t \to 0} \frac{\left( \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2}\text{Tr}\left( \sigma(x)\sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) \right) t + o(t)}{t} \quad (\text{积分结果展开}) \\
		+	&= \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2}\text{Tr}\left( \sigma(x)\sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) \quad (\text{约分$t$，$\lim_{t\to0}\frac{o(t)}{t}=0$})
		+	\end{align*}
		+	</math>

	=残差DMD=		=残差DMD=

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第19行：		第19行：

	ymz：这里的文献是干什么的		ymz：这里的文献是干什么的
		+
		+	pll：我引用文献习惯用编辑模式，这个模式现在用不了，就先把文献放着，防止忘记，现在已经删了，文献也加上了

	=核DMD=		=核DMD=

←上一版本		2025年12月8日 (一) 00:28的版本
第4行：		第4行：

	ymz：最后的这个公式其实是最直观的定义，可不可以往前放，单独列一行		ymz：最后的这个公式其实是最直观的定义，可不可以往前放，单独列一行
		+
		+	pll：和上面的变为一行了

	* 结合伊藤公式（Ito's lemma）		* 结合伊藤公式（Ito's lemma）

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第19行：		第19行：

	=核DMD=		=核DMD=
−
−	~~ymz：这一小节第一段话目前还不好理解，可以再顺一顺句子之间逻辑，以及有些关键概念需要解释地更清楚一些，比如隐式和显式的区别。~~
−
−	~~pll：已改，但是显式隐式没有单独说明，师兄看看这样行吗？~~
−
−	* 再生核希尔伯特空间
−
−	~~ymz：这个术语大概是什么意思？~~
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−	pll：再生核希尔伯特空间（RKHS）是「自带核函数」的特殊希尔伯特空间 —— 它比普通希尔伯特空间多了一个 “再生性”，能通过核函数直接计算高维内积，不用显式构造高维元素。
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−	~~pll：核DMD需要加上例子吗？现在的篇幅需要删减吗？~~
−
−	~~ymz：不需要加例子了，篇幅上差不多。~~
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−	~~pll：OK，师兄可以删了~~
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−	* <math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \exp\left(-\frac{\mathbf{x} - \mathbf{y}}{\alpha}\right)</math> ，其中， <math>\mathbf{x} - \mathbf{y}</math> 表示数据点 <math>\mathbf{x}</math> 和 <math>\mathbf{y}</math> 之间的[[欧氏距离]]，
−
−	~~ymz：欧式距离的话左右各加两道竖线，表示这是一个对称的距离。~~
−
−	~~pll：OK，已加，师兄可以删了~~

@@ 第1行： / 第1行： @@
 =Koopman算子定义=
-* 随机koopman算子
+* 生成元 <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率，即<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) </math> 。
-ymz:尽量引用最早给出定义的原始文献，可以确认一下是不是这一篇————I. Mezi\'c and A. Banaszuk, Comparison of systems with complex behavior, Phys. D, 197 (2004), pp. 101--133. (Cited on pp. 231, 244, 273, 280, 289, 293, 295)
+ymz：最后的这个公式其实是最直观的定义，可不可以往前放，单独列一行
-pll：OK，看了一下这篇文章，是原始的定义（'''ps：...还发现有种DMD叫做随机DMD，Random DMD....还加上吗？'''）
+* 结合伊藤公式（Ito's lemma）
-ymz：我们目前词条里有囊括这个内容吗？看看是只用词不一样还是说是全新的算法
+ymz：这具体是什么公式，另外中英文是这样对应的吗，lemma直译过来是引理。
-pll：是另外一种DMD ，主要应对大规模计算。
+pll：“伊藤公式是随机微积分里的 “链式法则”—— 专门用来算 “随布朗运动（一种随机过程）变化的函数” 的微分。”
-* 结合伊藤公式（Ito's lemma）
+=残差DMD=
-ymz：这具体是什么公式，另外中英文是这样对应的吗，lemma直译过来是引理。
+* 1. Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).
-pll：“伊藤公式是随机微积分里的 “链式法则”—— 专门用来算 “随布朗运动（一种随机过程）变化的函数” 的微分。”
+ymz：这里的文献是干什么的
 =核DMD=

@@ 第20行： / 第20行： @@
 ymz：这一小节第一段话目前还不好理解，可以再顺一顺句子之间逻辑，以及有些关键概念需要解释地更清楚一些，比如隐式和显式的区别。
 * 再生核希尔伯特空间
@@ 第25行： / 第27行： @@
 ymz：这个术语大概是什么意思？
-pll：'''核DMD需要加上例子吗？现在的篇幅需要删减吗？'''
+pll：核DMD需要加上例子吗？现在的篇幅需要删减吗？
 ymz：不需要加例子了，篇幅上差不多。
 *  <math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \exp\left(-\frac{\mathbf{x} - \mathbf{y}}{\alpha}\right)</math>   ，其中， <math>\mathbf{x} - \mathbf{y}</math> 表示数据点 <math>\mathbf{x}</math> 和 <math>\mathbf{y}</math> 之间的[[欧氏距离]]，
 ymz：欧式距离的话左右各加两道竖线，表示这是一个对称的距离。

←上一版本		2025年12月1日 (一) 10:21的版本
第22行：		第22行：

	=核DMD=		=核DMD=
		+
		+	ymz：这一小节第一段话目前还不好理解，可以再顺一顺句子之间逻辑，以及有些关键概念需要解释地更清楚一些，比如隐式和显式的区别。

	* 再生核希尔伯特空间		* 再生核希尔伯特空间