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2024-12-22T06:02:43Z

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在线性代数中，亏损矩阵（或缺陷矩阵）是指不具有完整特征向量基的方阵，因此它是不可对角化的。具体来说，一个<math>n\times n</math>矩阵是亏损的，当且仅当它不具有<math>n</math>个线性无关的特征向量。要形成完整的基，我们需要用广义特征向量来补充特征向量，这在求解亏损常微分方程系统和其他问题时是必要的。

一个<math>n\times n</math>亏损矩阵的不同特征值数量必然少于<math>n</math>个，这是因为不同的特征值总是对应着线性无关的特征向量。具体而言，亏损矩阵具有一个或多个代数重数<math>m>1</math>的特征值<math>\lambda</math>（即它们是特征多项式的重根），但与<math>\lambda</math>相关联的线性无关特征向量数量少于<math>m</math>个。如果特征值<math>\lambda</math>的代数重数大于其几何重数（即与<math>\lambda</math>相关联的线性无关特征向量的数量），则称<math>\lambda</math>为亏损特征值。然而，每个代数重数为<math>m</math>的特征值总是有<math>m</math>个线性无关的广义特征向量。

实对称矩阵，以及更一般的厄米特矩阵，还有酉矩阵，都永远不会是亏损的；更广泛地说，正规矩阵（包括厄米特矩阵和酉矩阵作为特例）永远不会是亏损的。

非亏损 - 版本历史

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