马尔科夫链 - 版本历史

相信未来：/* 具体例子 */

2025-07-06T11:48:39Z

具体例子

相信未来：/* 具体例子 */

2025-07-06T11:48:19Z

具体例子

相信未来：/* 具体例子 */

2025-07-06T11:47:46Z

具体例子

相信未来：/* 逆向过程和正向过程同分布——平稳可逆分布 */

2025-07-06T11:47:19Z

逆向过程和正向过程同分布——平稳可逆分布

相信未来：/* 逆向过程和正向过程同分布——平稳可逆分布 */

2025-07-06T11:47:04Z

逆向过程和正向过程同分布——平稳可逆分布

相信未来：/* 逆向过程和正向过程同分布——平稳可逆分布 */

2025-07-06T11:46:23Z

逆向过程和正向过程同分布——平稳可逆分布

Jake：/* 转移速率矩阵与转移概率矩阵关系 */

2025-07-06T08:51:08Z

转移速率矩阵与转移概率矩阵关系

Jake：/* 转移速率矩阵与转移概率矩阵关系 */

2025-07-06T08:50:31Z

转移速率矩阵与转移概率矩阵关系

Jake：/* 与离散时间马尔科夫链对应的基本概念 */

2025-07-06T08:46:08Z

与离散时间马尔科夫链对应的基本概念

Jake：/* 平稳分布与转移概率矩阵的谱 */

2025-07-06T08:29:24Z

平稳分布与转移概率矩阵的谱

@@ 第792行： / 第792行： @@
 </math>
-用同样的方法算出它的平稳分布为均匀分布<math>\mathbf{p}=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})</math>，并且它满足公式（1）中的细致平衡条件，所以<math>\mathbf{p}</math>是该转移速率矩阵的平稳可逆分布。
+用同样的方法算出它的平稳分布为均匀分布<math>\mathbf{p}=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})</math>，并且它满足公式（2）中的细致平衡条件，所以<math>\mathbf{p}</math>是该转移速率矩阵的平稳可逆分布。
 我们再回到最开始给出的超市排队的例子，它的转移速率矩阵为：

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第779行：		第779行：
	</math>		</math>

−	通过解平稳分布一节中给出的线性方程组，可以得到CTMC的唯一平稳分布<math>\mathbf{p}=(\frac{5}{18},\frac{4}{18},\frac{1}{2})</math>。平稳分布是不是可逆的呢？以状态0和1为例，有<math>\mathbf{p}_0q_{01}=\frac{5}{9}\neq\frac{2}{9}=\mathbf{p}_1q_{10}</math>~~，不满足公式（1）中的细致平衡条件，所以这个CTMC是不可逆的。~~	+	通过解平稳分布一节中给出的线性方程组，可以得到CTMC的唯一平稳分布<math>\mathbf{p}=(\frac{5}{18},\frac{4}{18},\frac{1}{2})</math>。平稳分布是不是可逆的呢？以状态0和1为例，有<math>\mathbf{p}_0q_{01}=\frac{5}{9}\neq\frac{2}{9}=\mathbf{p}_1q_{10}</math>，不满足公式（2）中的细致平衡条件，所以这个CTMC是不可逆的。

@@ 第806行： / 第806行： @@
 </math>
-读者可以自行求解平稳分布满足的方程组，会发现只有当<math>\lambda<\mu</math>时，平稳分布的方程组才有唯一非负解，可以解得<math>\mathbf{p}_n=(1-\rho)\rho^n,\rho=\lambda/\mu</math>，当<math>\rho\geq 1</math>时，队伍会无限增长，不存在稳态分布。这个平稳分布是否是可逆的呢？由于这个CTMC的状态是局部转移的，我们可以对公式（1）中的细致平衡条件进行局部验证：<math>\mathbf{p}_n\lambda=\mathbf{p}_{n+1}\mu</math>，代入<math>\mathbf{p}_n=(1-\rho)\rho^n</math>可知等式成立，所以它的平稳分布<math>\mathbf{p}</math>是可逆的。
+读者可以自行求解平稳分布满足的方程组，会发现只有当<math>\lambda<\mu</math>时，平稳分布的方程组才有唯一非负解，可以解得<math>\mathbf{p}_n=(1-\rho)\rho^n,\rho=\lambda/\mu</math>，当<math>\rho\geq 1</math>时，队伍会无限增长，不存在稳态分布。这个平稳分布是否是可逆的呢？由于这个CTMC的状态是局部转移的，我们可以对公式（2）中的细致平衡条件进行局部验证：<math>\mathbf{p}_n\lambda=\mathbf{p}_{n+1}\mu</math>，代入<math>\mathbf{p}_n=(1-\rho)\rho^n</math>可知等式成立，所以它的平稳分布<math>\mathbf{p}</math>是可逆的。
 ===连续时间马尔科夫链的粗粒化===

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 {{NumBlk|:|<math>p_iq_{ij}=p_jq_{ji},\ i,j\in S</math>|{{EquationRef|2}}}}
-事实上，若<math>\{X(t)\}</math>互通，有并且存在平稳分布，则细致平衡条件和这个方程有相同的非负解，满足这个方程的概率分布<math>\mathbf{p}</math>也是<math>\{X(t)\}</math>的平稳可逆分布，所以我们也常常称公式（1）为CTMC的细致平衡条件。
+事实上，若<math>\{X(t)\}</math>互通，有并且存在平稳分布，则细致平衡条件和这个方程有相同的非负解，满足这个方程的概率分布<math>\mathbf{p}</math>也是<math>\{X(t)\}</math>的平稳可逆分布，所以我们也常常称公式（2）为CTMC的细致平衡条件。
 ====具体例子====

@@ 第763行： / 第763行： @@
 同样的，由于实际问题中常用转移速率矩阵<math>Q</math>描述CTMC，而不是<math>P(t)</math>，所以我们也想从转移速率矩阵<math>Q</math>入手得到平稳可逆分布。对上面给出的细致平衡条件的<math>t</math>求导数，并利用<math>q_{ij}=p'_{ij}(0)</math>得到
-{{NumBlk|:|<math>p_iq_{ij}=p_jq_{ji},\ i,j\in S</math>|{{EquationRef|1}}}}
+{{NumBlk|:|<math>p_iq_{ij}=p_jq_{ji},\ i,j\in S</math>|{{EquationRef|2}}}}
 事实上，若<math>\{X(t)\}</math>互通，有并且存在平稳分布，则细致平衡条件和这个方程有相同的非负解，满足这个方程的概率分布<math>\mathbf{p}</math>也是<math>\{X(t)\}</math>的平稳可逆分布，所以我们也常常称公式（1）为CTMC的细致平衡条件。

@@ 第623行： / 第623行： @@
 <math>
 d p_{ij}(s)/dt=\sum_{k\in S}q_{ik}p_{kj}(s)
-</math>，写成矩阵形式得到：
+</math>
 <math>
 \frac{d P(s)}{dt}=QP(s)
-</math>，我们上面这两个式子称作CTMC的'''向后方程'''。
+</math>
 同样可以对Chapman-Kolmogorov方程前面的<math>s=0</math>求导数，形式上得到：
@@ 第636行： / 第640行： @@
 写成矩阵形式得到
 <math>
 \frac{dP(t)}{dt}=P(t)Q

@@ 第619行： / 第619行： @@
 <math>p_{ij}(t+s)=\sum_{k\in S}p_{ik}(t)p_{kj}(s),i,j\in S</math>
-我们将右边称为前，把左边称为后，在上式两边对后面的<math>t=0</math>求导数，形式上得到<math>p'_{ij}(s)=\sum_{k\in S}q_{ik}p_{kj}(s)</math>写成矩阵形式得到<math>P'(s)=QP(s)</math>，我们上面这两个式子称作CTMC的'''向后方程'''。
+我们将右边称为前，把左边称为后，在上式两边对后面的<math>t=0</math>求导数，形式上得到
-同样可以对Chapman-Kolmogorov方程前面的<math>s=0</math>求导数，形式上得到：<math>p'_{ij}(t)=\sum_{k\in S}p_{ik}(t)q_{kj}</math>写成矩阵形式得到<math>P'(t)=P(t)Q</math>，这两个式子称作CTMC的'''向前方程'''。向前方程和向后方程统称为'''Kolmogorov方程'''。
+<math>

@@ 第562行： / 第562行： @@
 <math>p_{ij}(t)=\mathbb{P}(X(t+s)=j|X(s)=i)</math>
-并且当对于任意一个CTMC<math>t=0</math>时，转移概率<math>p_{ij}(0)</math>是固定的，都是<math>\delta</math>函数：
+并且当对于任意一个CTMC，在<math>t=0</math>时，转移概率<math>p_{ij}(0)</math>是固定的，都是<math>\delta</math>函数：
 <math>p_{ij}(0)=\delta_{ij}=\begin{cases}

@@ 第307行： / 第307行： @@
 注：即方程<math>\pi=\pi P</math>总有非零解，这与马尔科夫链是否有极限没有关系。
 若<math>\pi_0</math>是方程<math>\pi=\pi P</math>的解，那么由递推关系，有
-<math>\pi_n=\pi_0P^n=\pi_0</math>。
+<math>\pi_n=\pi_0P^n=\pi_0</math>。即若<math>\mathbb{P}(X_0=i)=\pi_0(i)</math>，有：
-即若<math>\mathbb{P}(X_0=i)=\pi_0(i)</math>，有
+<math>\forall\ n,\ \mathbb{P}(X_n=i)=\pi_0(i)</math>，即如果初始时刻系统状态服从该分布，那么任意时刻下系统状态分布保持不变。
-称<math>\pi_0</math>为'''平稳分布'''，即如果初始时刻系统状态服从该分布，那么任意时刻下系统状态分布保持不变。
+'''定义(平稳分布)'''：我们称<math>\pi_0</math>为'''平稳分布'''，如果<math>\pi_0</math>是方程<math>\pi=\pi P</math>的解。