相信未来：建立内容为“当 $L_{p,q}$ 范数中的 $p = q = 2$ 时，这种范数被称为Frobenius范数（弗罗贝尼乌斯范数）或希尔伯特-施密特范数…”的新页面

2024-12-22T06:26:34Z

建立内容为“当<math>L_{p,q}</math>范数中的<math>p = q = 2</math>时，这种范数被称为Frobenius范数（弗罗贝尼乌斯范数）或希尔伯特-施密特范数…”的新页面

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当<math>L_{p,q}</math>范数中的<math>p = q = 2</math>时，这种范数被称为Frobenius范数（弗罗贝尼乌斯范数）或希尔伯特-施密特范数，其中后者更常用于（可能是无限维的）希尔伯特空间中的算子情况。我们可以通过多种等价方式来定义这个范数：

<math>|A|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i}^{m}\sum {j}^{n}|a{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min{m,n}}\sigma _{i}^{2}(A)}},</math>

其中迹是指对角线元素之和，而<math>\sigma _{i}(A)</math>是<math>A</math>的奇异值。第二个等式可以通过直接计算<math>\mathrm {trace} (A^{*}A)</math>来证明。第三个等式则可以通过<math>A</math>的奇异值分解以及迹在循环移位下不变的性质来证明。

Frobenius范数是欧几里得范数在<math>K^{n\times n}</math>上的推广，它源自于矩阵空间上的Frobenius内积。

Frobenius范数具有次乘性，这使得它在数值线性代数中特别有用。这种次乘性可以通过柯西-施瓦茨不等式来证明。

与诱导范数相比，Frobenius范数通常更容易计算，并且具有在旋转（以及一般的酉变换）下保持不变的重要性质。也就是说，对任意酉矩阵<math>U</math>，都有<math>|A|{\text{F}}=|AU|{\text{F}}=|UA|_{\text{F}}</math>。这个性质可以通过迹的循环性质（<math>\operatorname {trace} (XYZ)=\operatorname {trace} (YZX)=\operatorname {trace} (ZXY)</math>）来证明：

<math>|AU|{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((AU)^{}AU\right)=\operatorname {trace} \left(U^{}A^{}AU\right)=\operatorname {trace} \left(UU^{}A^{}A\right)=\operatorname {trace} \left(A^{}A\right)=|A|{\text{F}}^{2},</math>

同样地：

<math>|UA|{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((UA)^{}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{}U^{}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{}A\right)=|A|{\text{F}}^{2},</math>

这里我们使用了<math>U</math>的酉性质（即<math>U^{}U=UU^{}=\mathbf{I}</math>）。

Frobenius范数还满足以下性质：

<math>|A^{}A|_{\text{F}}=|AA^{}|{\text{F}}\leq |A|{\text{F}}^{2}</math>

以及

<math>|A+B|{\text{F}}^{2}=|A|{\text{F}}^{2}+|B|_{\text{F}}^{2}+2\operatorname {Re} \left(\langle A,B\rangle _{\text{F}}\right),</math>

其中<math>\langle A,B\rangle _{\text{F}}</math>是Frobenius内积，Re表示复数的实部（对于实矩阵来说这一项可以忽略）。

Frobenius范数 - 版本历史

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