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2026-01-12T04:40:12Z

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=简介=

DMD和eDMD算法基于全状态测量的可用性，而这些测量通常维数很高。然而，通常情况下只能获得[[系统]]的部分观测值，即存在隐藏变量或潜在变量。在这种情况下，可以使用[[系统]]的时间延迟测量值来构建新的观测量，从而构建一个Koopman不变子空间。和之前提及的算法一样，这里输入是已知的时间序列数据，输出是Koopman算子对应的线性迭代矩阵，只不过这里我们用时间延迟的变量作为扩展的观测函数。

将时间延迟坐标用作Koopman坐标系依赖于满足[[Takens嵌入定理]]的条件<ref name=takens_1981>F. Takens, Detecting strange attractors in turbulence, in Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Math. 898, Springer, 1981, pp. 366--381.</ref>，这样才能使得延迟嵌入[[吸引子]]与原始全状态坐标中的[[吸引子]][[微分同胚]]。如此构建出来的观测空间中，描述系统演化的线性矩阵便是[[Hankel矩阵]]<ref name=brunton_2017>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, E. Kaiser, and J. N. Kutz, Chaos as an intermittently forced linear system, Nature Commun., 8 (2017), pp. 1--9. (Cited on pp. 257, 275, 284, 287, 288, 289, 294)</ref>。

[[文件:Hankel lorenz.png||无|Lorenz系统作为案例进行时间延迟DMD的分析。其中输入是观测到的<math>x(t)</math>这一个维度的时间序列，输出是回归拟合之后得到的线性微分方程组的系数矩阵。如果考虑存在控制变量的话，输出还有控制变量前的系数。<ref name=brunton_2017 />|缩略图|600x600像素]]<br>

时间延迟测量方案示意图如上图所示，以[[Lorenz系统]]为例，展示了将[[混沌]]分解为带有外力的[[线性系统]]。

'''输入：'''其中输入的只有能观测到的<math>x(t)</math>这一个维度的时间序列。可以从该[[标量]]测量的[[时间序列]]构造一个Hankel矩阵<math>\mathbf{H}</math>：

:<math>
\mathbf{H} = \begin{bmatrix} x(t_1) & x(t_2) & \cdots & x(t_p) \\ x(t_2) & x(t_3) & \cdots & x(t_{p+1}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x(t_q) & x(t_{q+1}) & \cdots & x(t_m) \end{bmatrix}.
</math>

<math>\mathbf{H}</math> 的每一列都可以通过将前一列在时间上向前推进一步来获得。因此，我们可以用 Koopman [[算子]] <math>\mathcal{K}</math> 重写上式：

:<math>
\mathbf{H} = \begin{bmatrix} x(t_1) & \mathcal{K}x(t_1) & \cdots & \mathcal{K}^{p-1}x(t_1) \\ \mathcal{K}x(t_1) & \mathcal{K}^2x(t_1) & \cdots & \mathcal{K}^{p}x(t_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathcal{K}^{q-1}x(t_1) & \mathcal{K}^{q}x(t_1) & \cdots & \mathcal{K}^{m-1}x(t_1) \end{bmatrix}.
</math>

对于足够的数据量，系统将收敛到一个[[吸引子]]，使得 <math>\mathbf{H}</math> 的列变得近似线性相关。在这种情况下，可以通过计算 <math>\mathbf{H}</math> 的[[SVD]]来获得一个 Koopman不变子空间：

:<math>
\mathbf{H} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*.
</math>

来自[[SVD]]的<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>的列分别按其对 <math>\mathbf{H}</math> 的列和行建模的重要性逐次排列。根据定义，[[动力学]]将[[吸引子]]映射到自身，使其对[[流映射]]不变。通常，<math>\mathbf{H}</math> 允许用 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>r</math> 列进行低秩近似，因此这些列近似了一个 Koopman 不变子空间。因此，Hankel矩阵的列可以很好地由 <math>\mathbf{U}</math> 的前 <math>r</math> 列来近似。<math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>r</math> 列则描述了[[降维]]后的时间延迟空间中[[系统状态]]的随时间的演化轨迹。所以，通过绘制 <math>\mathbf{V}</math> 的前三列，我们重新获得了[[Lorenz系统]]的[[吸引子]]，如图中右上角所示。

在延迟坐标 <math>\mathbf{v}</math> 上，我们可以得到一个最佳拟合线性[[回归]]模型。一个很直接的做法是，我们可以对由 <math>\mathbf{H}</math> 的前 <math>p-1</math> 列和后 <math>p-1</math> 列组成的两个矩阵进行DMD估计。在实践中，学者建议对由 <math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>p-1</math> 列和后 <math>p-1</math> 列组成的[[类似]]矩阵进行DMD估计，因为这样我们便可以在一个[[降维]]的特征空间中拟合系统的演化。

'''输出：'''下面是关于 <math>\mathbf{V}</math> 中变量的线性[[回归]]模型，

:<math>
\frac{d}{dt}\mathbf{v}(t) = \mathbf{A}\mathbf{v}(t).
</math>

其中 <math>\mathbf{v}(t) = \begin{bmatrix} v_1(t) & v_2(t) & \cdots & v_{r}(t) \end{bmatrix}^T</math>便是来自奇异向量<math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>r</math> 列。这里的<math>\mathbf{A}</math>便是我们拟合输出的结果。Champion, Brunton 和 Kutz等人表明<ref name=champion_2019>K. P. Champion, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Discovery of nonlinear multiscale systems: Sampling strategies and embeddings, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 18 (2019), pp. 312--333, https://doi.org/10.1137/18M1188227. (Cited on pp. 288, 289)</ref>，该[[线性系统]]捕捉了弱[[非线性系统]]的[[动力学]]。然而，对于[[混沌系统]]，即使有近似Koopman不变的测量系统，在识别封闭的线性模型方面仍存在挑战。无论多么高维的线性模型，都无法捕捉多个[[不动点]]或具有正[[Lyapunov指数]]的[[混沌]]所特有的不可预测行为<ref name=Brunton_2016>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171. (Cited on pp. 234, 247, 248, 254, 284, 285, 286, 288, 295, 308, 309, 312, 318)</ref>。与其为 <math>\mathbf{V}</math> 中的前 <math>r</math> 个变量构建一个封闭的线性模型，不如在前 <math>r-1</math> 个变量上构建一个线性模型，并将最后一个变量 <math>v_r</math> 强加为一个外力项<ref name=brunton_2017 />：

:<math>
\frac{d}{dt}\mathbf{v}(t) = \mathbf{A}\mathbf{v}(t) + \mathbf{B}v_r(t),
</math>

其中 <math>\mathbf{v}(t) = \begin{bmatrix} v_1(t) & v_2(t) & \cdots & v_{r-1}(t) \end{bmatrix}^T</math> 是前 <math>r-1</math> 个特征时间延迟坐标的向量。在所有探索的混沌示例中<ref name=brunton_2017 />，前<math>r-1</math> 项的线性模型是准确的，而没有线性模型能表示 <math>v_r</math>。相反，<math>v_r</math> 应该是线性动力学的外来输入。<math>v_r(t)</math> 的统计数据是非高斯的，具有长尾，也就意味着显著存在罕见的波动事件。这种外力变量的罕见变化对应于驱动 Lorenz 系统中的波瓣切换,如图中左下角红色标注的波峰所示。这种分析架构被称为 Koopman 的 Hankel 替代视图分析 (Hankel alternative view of the Koopman，[[HAVOK]])<ref name=brunton_2017 />。

Hankel矩阵在[[系统]]辨识中已使用了几十年，例如在[[ERA]]<ref>J. N. Juang and R. S. Pappa, An eigensystem realization algorithm for modal parameter identification and model reduction, J. Guidance Control Dynam., 8 (1985), pp. 620--627. (Cited on pp. 262, 289, 303)</ref>和奇异谱分析(singular spectrum analysis，SSA)<ref>R. W. Brockett, Optimal control of the Liouville equation, in Proceedings of the International Conference on Complex Geometry and Related Fields, AMS/IP Stud. Adv. Math. 39, AMS, 2007, pp. 23--35. (Cited on p. 300)</ref>中。这些早期算法是专门为线性[[系统]]开发的，尽管它们常被应用于弱[[非线性系统]]，但当时尚不清楚如何解释由这些方法产生的模型和分解。

现代Koopman[[算子]]理论为在[[非线性系统]]中解释这些经典的基于Hankel方法的结果提供了一个有价值的新视角。在 Hankel 矩阵上计算 DMD 的做法最早由Tu等人<ref name=Tu_2014 />提出，并由Brunton等人<ref name=brunton_neural>B. W. Brunton, L. A. Johnson, J. G. Ojemann, and J. N. Kutz, Extracting spatial-- temporal coherent patterns in large-scale neural recordings using dynamic mode decomposition, J. Neurosci. Methods, 258 (2016), pp. 1--15, https://doi.org/10.1016/j.jneumeth. 2015.10.010. (Cited on pp. 237, 238, 257, 260, 261, 278, 289)</ref>用于[[神经科学]]领域。Hankel矩阵与Koopman[[算子]]之间的联系，由 Brunton等人<ref name=brunton_2017 />在[[HAVOK]]框架中建立。随后的一些工作为该方法提供了更完善的理论基础<ref name=arbabi_2017>H. Arbabi and I. Mezic\', Ergodic theory, dynamic mode decomposition, and computation of spectral properties of the Koopman operator, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 16 (2017), pp. 2096--2126, https://doi.org/10.1137/17M1125236. (Cited on pp. 257, 275, 289, 292, 294)</ref><ref name=das_2019>S. Das and D. Giannakis, Delay-coordinate maps and the spectra of Koopman operators, J. Statist. Phys., 175 (2019), pp. 1107--1145. (Cited on pp. 257, 289, 293)</ref>。[[HAVOK]] 方法也常被称为延迟DMD<ref name=Tu_2014 />或Hankel-DMD<ref name=arbabi_2017 />。

延迟嵌入与Koopman算子之间的联系最早在 2004 年由 Mezić 和 Banaszuk<ref>I. Mezi\'c and A. Banaszuk, Comparison of systems with complex behavior, Phys. D, 197 (2004), pp. 101--133. (Cited on pp. 231, 244, 273, 280, 289, 293, 295)</ref>建立，在其中定义了[[随机]]Koopman[[算子]]并证明了统计[[Takens定理]]。还有工作研究了如何将[[动力学]]拆分为[[确定性]]线性[[动力学]]与[[混沌]][[随机]][[动力学]]<ref name=IM2005>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325. (Cited on pp. 231, 244, 246, 273, 289, 292)</ref>。在具有长期记忆效应的[[系统]]中，使用延迟坐标可能尤其重要，而Koopman方法已被证明是此类[[系统]]中一种成功的分析工具<ref>A. Svenkeson, B. Glaz, S. Stanton, and B. J. West, Spectral decomposition of nonlinear systems with memory, Phys. Rev. E, 93 (2016), art. 022211, https://doi.org/10.1103/ PhysRevE.93.022211. (Cited on p. 289)</ref>。

=参考文献=

Hankel矩阵 - 版本历史

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