K-core - 版本历史

DeepQ：/* 相关网络k-core分解过程 */

2025-06-15T02:11:06Z

相关网络k-core分解过程

DeepQ：/* 相关网络k-core分解过程 */

2025-06-15T02:09:55Z

相关网络k-core分解过程

DeepQ：/* 相关网络k-core分解过程 */

2025-06-15T02:09:19Z

相关网络k-core分解过程

DeepQ：/* 相关网络k-core分解过程 */

2025-06-15T02:05:36Z

相关网络k-core分解过程

DeepQ：/* 相关网络k-core分解过程 */

2025-06-15T02:04:23Z

相关网络k-core分解过程

DeepQ：/* 定义 */

2025-06-15T02:03:34Z

定义

DeepQ：/* 定义 */

2025-06-15T02:03:05Z

定义

DeepQ：/* 不相关网络k-core分解过程 */

2025-06-15T02:01:49Z

不相关网络k-core分解过程

DeepQ：/* 定义 */

2025-06-15T02:01:07Z

定义

DeepQ：/* 相关网络k-core分解过程 */

2025-06-15T01:58:29Z

相关网络k-core分解过程

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 <math>y=f(y)=1 - \sum_{m=0}^{k-2} \frac {y^m}{m!}·G_1^{(m)}(1-y)</math></br>
 下图表示基于以上关系得到的ER网络上最大k-core的变化情况：当k=2时是连续变化，<math>k \ge 3</math>时是非连续变化</br>
-[[文件:ER网络的kcore相变.png|缩略图|ER网络的k-core变化]]
+[[文件:ER网络的kcore相变.png|缩略图|ER网络的k-cored大小与平均度的关系]]
 Wu 等人<ref name='nbeb related'>{{Cite journal| publisher = arXiv| doi = 10.48550/arXiv.1811.04295| last1 = Wu| first1 = Rui-jie| last2 = Kong| first2 = Yi-Xiu| last3 = Shi| first3 = Gui-yuan| last4 = Zhang| first4 = Yi-Cheng| title = Using NonBacktracking Expansion to Analyze k-core Pruning Process| date = 2018-11-10| url = http://arxiv.org/abs/1811.04295}}</ref>指出非回溯扩展分支（NBEB）方法能够处理度相关网络，并且通过在多种网络上的数值模拟验证了其结果的正确性。在此基础上，Wu等人<ref name='nbeb multilayer'>{{Cite journal| publisher = arXiv| doi = 10.48550/arXiv.1812.11111| last1 = Wu| first1 = Rui-jie| last2 = Kong| first2 = Yi-Xiu| last3 = Shi| first3 = Gui-Yuan| last4 = Zhang| first4 = Yi-Cheng| title = Analytical Results of k-core Pruning Process on Multi-layer Networks| access-date = 2025-06-15| url = http://arxiv.org/abs/1812.11111}}</ref>进一步拓展了NBEB方法，不仅解决了多层网络中的k核剪枝过程问题，还提出了"多色非回溯扩展分支"（MNEB）算法。该方法可分析从最简单的非关联多层网络，到同时存在层内与层间关联的最复杂情况。</br>

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 [[文件:ER网络的kcore相变.png|缩略图|ER网络的k-core变化]]
-Wu 等人<ref name='nbeb related'>{{Cite| publisher = arXiv| doi = 10.48550/arXiv.1811.04295| last1 = Wu| first1 = Rui-jie| last2 = Kong| first2 = Yi-Xiu| last3 = Shi| first3 = Gui-yuan| last4 = Zhang| first4 = Yi-Cheng| title = Using NonBacktracking Expansion to Analyze k-core Pruning Process| date = 2018-11-10| url = http://arxiv.org/abs/1811.04295}}</ref>指出非回溯扩展分支（NBEB）方法能够处理度相关网络，并且通过在多种网络上的数值模拟验证了其结果的正确性。在此基础上，Wu等人<ref name='nbeb multilayer'>{{Cite| publisher = arXiv| doi = 10.48550/arXiv.1812.11111| last1 = Wu| first1 = Rui-jie| last2 = Kong| first2 = Yi-Xiu| last3 = Shi| first3 = Gui-Yuan| last4 = Zhang| first4 = Yi-Cheng| title = Analytical Results of k-core Pruning Process on Multi-layer Networks| access-date = 2025-06-15| url = http://arxiv.org/abs/1812.11111}}</ref>进一步拓展了NBEB方法，不仅解决了多层网络中的k核剪枝过程问题，还提出了"多色非回溯扩展分支"（MNEB）算法。该方法可分析从最简单的非关联多层网络，到同时存在层内与层间关联的最复杂情况。</br>
+Wu 等人<ref name='nbeb related'>{{Cite journal| publisher = arXiv| doi = 10.48550/arXiv.1811.04295| last1 = Wu| first1 = Rui-jie| last2 = Kong| first2 = Yi-Xiu| last3 = Shi| first3 = Gui-yuan| last4 = Zhang| first4 = Yi-Cheng| title = Using NonBacktracking Expansion to Analyze k-core Pruning Process| date = 2018-11-10| url = http://arxiv.org/abs/1811.04295}}</ref>指出非回溯扩展分支（NBEB）方法能够处理度相关网络，并且通过在多种网络上的数值模拟验证了其结果的正确性。在此基础上，Wu等人<ref name='nbeb multilayer'>{{Cite journal| publisher = arXiv| doi = 10.48550/arXiv.1812.11111| last1 = Wu| first1 = Rui-jie| last2 = Kong| first2 = Yi-Xiu| last3 = Shi| first3 = Gui-Yuan| last4 = Zhang| first4 = Yi-Cheng| title = Analytical Results of k-core Pruning Process on Multi-layer Networks| access-date = 2025-06-15| url = http://arxiv.org/abs/1812.11111}}</ref>进一步拓展了NBEB方法，不仅解决了多层网络中的k核剪枝过程问题，还提出了"多色非回溯扩展分支"（MNEB）算法。该方法可分析从最简单的非关联多层网络，到同时存在层内与层间关联的最复杂情况。</br>
 用<math>e_{jl}</math>表示一条边的两个端点分别具有剩余度 j 和 l 的概率，<math>\sum^{\infty}_{l=0} = q_j</math>，在不相关网络中，<math>e_{jl} = q_j * q_l</math>，不相关网络中的递推关系可以修改为如下：</br>
 <math>q_l * y_{n,l} = \sum^{\infty}_{j=k-1}e_{lj}\sum^l_{m=k-1}(^j_m)y^m_{n-1,j}*{(1-y_{n-1,j})^{j-m}}</math></br>

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 [[文件:ER网络的kcore相变.png|缩略图|ER网络的k-core变化]]
-Wu 等人[25]指出非回溯扩展分支（NBEB）方法能够处理度相关网络，并且通过在多种网络上的数值模拟验证了其结果的正确性。在此基础上，Wu等人 [33]进一步拓展了NBEB方法，不仅解决了多层网络中的k核剪枝过程问题，还提出了"多色非回溯扩展分支"（MNEB）算法。该方法可分析从最简单的非关联多层网络，到同时存在层内与层间关联的最复杂情况。</br>
+Wu 等人<ref name='nbeb related'>{{Cite| publisher = arXiv| doi = 10.48550/arXiv.1811.04295| last1 = Wu| first1 = Rui-jie| last2 = Kong| first2 = Yi-Xiu| last3 = Shi| first3 = Gui-yuan| last4 = Zhang| first4 = Yi-Cheng| title = Using NonBacktracking Expansion to Analyze k-core Pruning Process| date = 2018-11-10| url = http://arxiv.org/abs/1811.04295}}</ref>指出非回溯扩展分支（NBEB）方法能够处理度相关网络，并且通过在多种网络上的数值模拟验证了其结果的正确性。在此基础上，Wu等人<ref name='nbeb multilayer'>{{Cite| publisher = arXiv| doi = 10.48550/arXiv.1812.11111| last1 = Wu| first1 = Rui-jie| last2 = Kong| first2 = Yi-Xiu| last3 = Shi| first3 = Gui-Yuan| last4 = Zhang| first4 = Yi-Cheng| title = Analytical Results of k-core Pruning Process on Multi-layer Networks| access-date = 2025-06-15| url = http://arxiv.org/abs/1812.11111}}</ref>进一步拓展了NBEB方法，不仅解决了多层网络中的k核剪枝过程问题，还提出了"多色非回溯扩展分支"（MNEB）算法。该方法可分析从最简单的非关联多层网络，到同时存在层内与层间关联的最复杂情况。</br>
 用<math>e_{jl}</math>表示一条边的两个端点分别具有剩余度 j 和 l 的概率，<math>\sum^{\infty}_{l=0} = q_j</math>，在不相关网络中，<math>e_{jl} = q_j * q_l</math>，不相关网络中的递推关系可以修改为如下：</br>
 <math>q_l * y_{n,l} = \sum^{\infty}_{j=k-1}e_{lj}\sum^l_{m=k-1}(^j_m)y^m_{n-1,j}*{(1-y_{n-1,j})^{j-m}}</math></br>

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 === 相关网络k-core分解过程 ===
-Wu 等人[24]使用基于非回溯拓展分支（NBEB-NonBacktracking Expansion Branch）的方法给出了k-core大小的精确解析解，首次揭示了k核剪枝过程中临界现象的精确行为特征。。他们的研究表明Baxter等人提出的四个方程简化为单变量迭代形式，且k核剪枝过程能够完美映射至该迭代。论文中推导出了这一迭代的通用表达式。只要给定初始状态，便可计算出单变量迭代的每个中间状态，从而精确对应k核剪枝过程的每个阶段。特别地，对于随机生成的不相关网络，该理论能准确解析出剪枝过程中任意中间阶段所剩k-core的规模与结构特征。数值模拟结果进一步验证了理论分析的正确性。
+Wu 等人<ref name='nbeb'>{{Cite journal| doi = 10.1016/j.physa.2022.128260| issn = 0378-4371| volume = 608| pages = 128260| last1 = Wu| first1 = Rui-Jie| last2 = Kong| first2 = Yi-Xiu| last3 = Di| first3 = Zengru| last4 = Zhang| first4 = Yi-Cheng| last5 = Shi| first5 = Gui-Yuan| title = Analytical solution to the k-core pruning process| journal = Physica A: Statistical Mechanics and its Applications|date = 2022-12-15| url = https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437122008184}}</ref>使用基于非回溯拓展分支（NBEB-NonBacktracking Expansion Branch）的方法给出了k-core大小的精确解析解，首次揭示了k核剪枝过程中临界现象的精确行为特征。。他们的研究表明Baxter等人提出的四个方程简化为单变量迭代形式，且k核剪枝过程能够完美映射至该迭代。论文中推导出了这一迭代的通用表达式。只要给定初始状态，便可计算出单变量迭代的每个中间状态，从而精确对应k核剪枝过程的每个阶段。特别地，对于随机生成的不相关网络，该理论能准确解析出剪枝过程中任意中间阶段所剩k-core的规模与结构特征。数值模拟结果进一步验证了理论分析的正确性。
 用e表示边，v表示点，<math>\alpha和\beta</math>表示节点下标，j、l、m表示节点的度，<math>e_{2 \rightarrow 1}</math>表示从节点<math>v_2 到 v_1</math>的有向边，用<math>S_1</math>表示从v1到其每个邻居节点的有向边集合，<math>S_{2 \rightarrow 1}</math>表示所有在<math>S_1</math>除了<math>e_{1 \rightarrow 2}</math>的边。定义NBEB <math> B_{2 \rightarrow 1}</math>为从根边<math>e_{2 \rightarrow 1}</math>延伸到子节点的树状结构。非回溯拓展分支（NBEB）通常具有无限性，由于从子节点继续不断地延伸的递归过程。

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 === 相关网络k-core分解过程 ===
-Shi 等人[24]使用基于非回溯拓展分支（NBEB-NonBacktracking Expansion Branch）的方法给出了k-core大小的精确解析解，首次揭示了k核剪枝过程中临界现象的精确行为特征。。他们的研究表明Baxter等人提出的四个方程简化为单变量迭代形式，且k核剪枝过程能够完美映射至该迭代。论文中推导出了这一迭代的通用表达式。只要给定初始状态，便可计算出单变量迭代的每个中间状态，从而精确对应k核剪枝过程的每个阶段。特别地，对于随机生成的不相关网络，该理论能准确解析出剪枝过程中任意中间阶段所剩k-core的规模与结构特征。数值模拟结果进一步验证了理论分析的正确性。
+Wu 等人[24]使用基于非回溯拓展分支（NBEB-NonBacktracking Expansion Branch）的方法给出了k-core大小的精确解析解，首次揭示了k核剪枝过程中临界现象的精确行为特征。。他们的研究表明Baxter等人提出的四个方程简化为单变量迭代形式，且k核剪枝过程能够完美映射至该迭代。论文中推导出了这一迭代的通用表达式。只要给定初始状态，便可计算出单变量迭代的每个中间状态，从而精确对应k核剪枝过程的每个阶段。特别地，对于随机生成的不相关网络，该理论能准确解析出剪枝过程中任意中间阶段所剩k-core的规模与结构特征。数值模拟结果进一步验证了理论分析的正确性。
 用e表示边，v表示点，<math>\alpha和\beta</math>表示节点下标，j、l、m表示节点的度，<math>e_{2 \rightarrow 1}</math>表示从节点<math>v_2 到 v_1</math>的有向边，用<math>S_1</math>表示从v1到其每个邻居节点的有向边集合，<math>S_{2 \rightarrow 1}</math>表示所有在<math>S_1</math>除了<math>e_{1 \rightarrow 2}</math>的边。定义NBEB <math> B_{2 \rightarrow 1}</math>为从根边<math>e_{2 \rightarrow 1}</math>延伸到子节点的树状结构。非回溯拓展分支（NBEB）通常具有无限性，由于从子节点继续不断地延伸的递归过程。

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 普遍认为k-core概念由Seidman<ref name= 'k-core concept'>{{Cite journal| doi = 10.1016/0378-8733(83)90028-X| issn = 03788733| volume = 5| issue = 3| pages = 269–287| last = Seidman| first = Stephen B.| title = Network structure and minimum degree| journal = Social Networks| year= 1983| url = https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/037887338390028X}}</ref>首次提出，对于给定的网络，递归删除网络中度数小于k的节点可以得到网络的极大子图，其中每个节点的度数不小于k（不考虑子图外的连接情况），该子图为原网络的k-core。与k-core密切相关的概念还包括:
-:* k-shell<ref name='k-shell'> {{Cite journal| doi = 10.1073/pnas.0701175104| issn = 0027-8424, 1091-6490| volume = 104| issue = 27| pages = 11150–11154| last1 = Carmi| first1 = Shai| last2 = Havlin| first2 = Shlomo| last3 = Kirkpatrick| first3 = Scott| last4 = Shavitt| first4 = Yuval| last5 = Shir| first5 = Eran| title = A model of Internet topology using <i>k</i> -shell decomposition| journal = Proceedings of the National Academy of Sciences|date = 2007-07-03| url = https://pnas.org/doi/full/10.1073/pnas.0701175104}}</ref>：属于k-core，但不属于(k+1)-core的点集，通过k-core分解过程可以将网络根据k-shell进行分层。
+:* k-shell<ref name='k-shell'> {{Cite journal| doi = 10.1073/pnas.0701175104| volume = 104| issue = 27| pages = 11150–11154| last1 = Carmi| first1 = Shai| last2 = Havlin| first2 = Shlomo| last3 = Kirkpatrick| first3 = Scott| last4 = Shavitt| first4 = Yuval| last5 = Shir| first5 = Eran| title = A model of Internet topology using <i>k</i> -shell decomposition| journal = Proceedings of the National Academy of Sciences|date = 2007-07-03| url = https://pnas.org/doi/full/10.1073/pnas.0701175104}}</ref>：属于k-core，但不属于(k+1)-core的点集，通过k-core分解过程可以将网络根据k-shell进行分层。
 :* k-crust：从1到k的k-shell的并集，代表网络的外围结构
 :* k-corona：k-core中度数恰好为k的节点组成的点集

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 === 不相关网络k-core分解过程 ===
-S. N. Dorogovtsev 等人<ref name='k-core percolation'>{{Cite journal| doi = 10.1103/PhysRevLett.96.040601| issn = 0031-9007, 1079-7114| volume = 96| issue = 4| pages = 040601| last1 = Dorogovtsev| first1 = S. N.| last2 = Goltsev| first2 = A. V.| last3 = Mendes| first3 = J. F. F.| title = k -Core Organization of Complex Networks| journal = Physical Review Letters| date = 2006-02-02| url = https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.96.040601}}</ref>推导出了描述任意度分布的受损的随机不相关网络中 k-core 结构的精确方程。这一结果可以计算各种受损或未受损的随机网络中 k-core 的大小及其其他结构特征，并揭示复杂网络中 k-core 渗流的本质。</br>
+S. N. Dorogovtsev 等人<ref name='k-core percolation'>{{Cite journal| doi = 10.1103/PhysRevLett.96.040601| volume = 96| issue = 4| pages = 040601| last1 = Dorogovtsev| first1 = S. N.| last2 = Goltsev| first2 = A. V.| last3 = Mendes| first3 = J. F. F.| title = k -Core Organization of Complex Networks| journal = Physical Review Letters| date = 2006-02-02| url = https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.96.040601}}</ref>推导出了描述任意度分布的受损的随机不相关网络中 k-core 结构的精确方程。这一结果可以计算各种受损或未受损的随机网络中 k-core 的大小及其其他结构特征，并揭示复杂网络中 k-core 渗流的本质。</br>
 对于一个不相关网络（根据度分布由配置模型生成），考虑到无限稀疏的配置模型的树状结构特点，可以发现其k核与无限（k−1）叉子树（每个子节点至少有k-1个子代）完全重合。
 P(q)为度分布,Q=1-p表示网络中随机移除的节点的比例。设R为网络中某条边的一端不是无限（k-1）叉子树根节点的概率，那么一个节点属于k-core的概率</br>

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 :* k-corona：k-core中度数恰好为k的节点组成的点集
 :* coreness<ref name='coreness'>{{Cite conference| publisher = IEEE| doi = 10.1109/CCDC.2008.4598241| isbn = 978-1-4244-1733-9| conference = 2008 Chinese Control and Decision Conference (CCDC)| pages = 4803–4808| last1 = Jun Zhang| last2 = Hai Zhao| last3 = Yan Zhou| title = The study on characteristics of the coreness of router-level internet nodes| location = Yantai, Shandong, China| year = 2008| url = http://ieeexplore.ieee.org/document/4598241/}}</ref>：一个节点如果属于k-shell, 该节点的coreness为k
-在对k-core的研究中，人们注意到了k-core剪枝过程的临界性。剪枝过程的结果只有两种，要么网络消失，没有节点在剪枝过程中保留下来；要么无法进一步去除节点，网络最终拥有一个固定大小的 k-core。k-core剪枝过程是少数几个详细介绍精确临界行为并用解析法求解的例子之一。k-core剪枝过程的解析解为研究临界现象提供了新的见解，吸引了众多科学家。并且，由于k-core 分解能够简单高效地找到网络的核心结构，k-core及相关的概念包括（k-shell、coreness）被广泛应用于多个科学领域，包括 生物学、生态学、计算机科学、信息传播、地质学 等等。
+在对k-core的研究中，人们注意到了k-core剪枝过程的临界性。剪枝过程的结果只有两种，要么网络消失，没有节点在剪枝过程中保留下来；要么无法进一步去除节点，网络最终拥有一个固定大小的 k-core。k-core剪枝过程是少数几个详细介绍精确临界行为并用解析法求解的例子之一。k-core剪枝过程的解析解为研究临界现象提供了新的见解，吸引了众多科学家。并且，由于k-core 分解能够简单高效地找到网络的核心结构，k-core及相关的概念包括（k-shell、coreness）被广泛应用于多个科学领域，包括 生物学、生态学、计算机科学、信息传播、地质学等等<ref name='k-core review'>{{Cite journal| doi = 10.1016/j.physrep.2019.10.004| issn = 03701573| volume = 832| pages = 1–32| last1 = Kong| first1 = Yi-Xiu| last2 = Shi| first2 = Gui-Yuan| last3 = Wu| first3 = Rui-Jie| last4 = Zhang| first4 = Yi-Cheng| title = k -core: Theories and applications| journal = Physics Reports| year = 2019| url = https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S037015731930328X}}</ref>。
 [[文件:K-core和coreness示意图.png|缩略图|k-core和coreness示意图]]