KS检验 - 版本历史

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Kolmogorov distribution Kolmogorov 分布

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The Kolmogorov–Smirnov statistic in more than one dimension 多个维度的Kolmogorov–Smirnov统计

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 * PSPP通过其Kolmogorov–Smirnov（或使用K-S快捷功能）实施检验。[https://www.gnu.org/software/pspp/manual/html_node/KOLMOGOROV_002dSMIRNOV.html KOLMOGOROV-SMIRNOV (or using K-S shortcut]
 * Excel以KSCRIT和KSPROB的形式运行检验。
 == 参见 ==

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−	Kolmogorov-Smirnov统计定量描述了一个样本分布的'''~~<font color="#ff8000">~~经验分布函数 Empirical distribution function~~</font>~~'''与一个参考分布的'''~~<font color="#ff8000">~~累积分布函数 Cumulative distribution function~~</font>~~'''之间的距离，或者是两个样本分布的经验分布函数之间的距离。该统计量的'''~~<font color="#ff8000">~~零分布 Null distribution~~</font>~~'''是基于'''~~<font color="#ff8000">~~零假设 Null hypothesis~~</font>~~'''（或称原始假设）下计算的，可以从参考分布中抽取样本（在单个样本的情况下），或者从相同分布中抽取样本组（在两个样本的情况下）。在单样本情况下，零假设（原假设）考虑的分布可能是连续的（请参阅第2节），纯离散的或混合的（请参阅第2.2节）。然而在考虑两个样本情况下（请参阅第3节），零假设下的分布仅能确定为连续分布，在其他方面并不受限制。	+	Kolmogorov-Smirnov统计定量描述了一个样本分布的'''经验分布函数 Empirical distribution function'''与一个参考分布的'''累积分布函数 Cumulative distribution function'''之间的距离，或者是两个样本分布的经验分布函数之间的距离。该统计量的'''零分布 Null distribution'''是基于'''零假设 Null hypothesis'''（或称原始假设）下计算的，可以从参考分布中抽取样本（在单个样本的情况下），或者从相同分布中抽取样本组（在两个样本的情况下）。在单样本情况下，零假设（原假设）考虑的分布可能是连续的（请参阅第2节），纯离散的或混合的（请参阅第2.2节）。然而在考虑两个样本情况下（请参阅第3节），零假设下的分布仅能确定为连续分布，在其他方面并不受限制。


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−	Kolmogorov–Smirnov检验经过修改以后可以作为'''~~<font color="#ff8000">~~拟合优度检验 goodness of fit test~~</font>~~'''。在测试分布正态性的特殊情况下，将样本先标准化再与标准正态分布进行比较。这相当于将参考分布的均值和方差设置为与样本估计值相等。显然，使用这些值和方差来定义特定参考分布会更改检验统计量的零分布（请参阅使用估算参数进行检验）。各种研究发现，即使采用这种校正形式，该测试也不能像夏皮罗一威尔克 Shapiro-Wilk检验或安德森·达林 Anderson-Darling检验那样有效地检验正态性。<ref>{{cite journal \| first = M. A. \| last = Stephens \| year = 1974 \| title = EDF Statistics for Goodness of Fit and Some Comparisons \| journal = Journal of the American Statistical Association \| volume = 69 \| issue = 347\| pages = 730–737 \| jstor =2286009 \| doi = 10.2307/2286009 }}</ref>当然，这些检验方法也有其自身的缺点。例如，Shapiro–Wilk检验在具有许多相同值的样本中效果并不好。	+	Kolmogorov–Smirnov检验经过修改以后可以作为'''拟合优度检验 goodness of fit test'''。在测试分布正态性的特殊情况下，将样本先标准化再与标准正态分布进行比较。这相当于将参考分布的均值和方差设置为与样本估计值相等。显然，使用这些值和方差来定义特定参考分布会更改检验统计量的零分布（请参阅使用估算参数进行检验）。各种研究发现，即使采用这种校正形式，该测试也不能像夏皮罗一威尔克 Shapiro-Wilk检验或安德森·达林 Anderson-Darling检验那样有效地检验正态性。<ref>{{cite journal \| first = M. A. \| last = Stephens \| year = 1974 \| title = EDF Statistics for Goodness of Fit and Some Comparisons \| journal = Journal of the American Statistical Association \| volume = 69 \| issue = 347\| pages = 730–737 \| jstor =2286009 \| doi = 10.2307/2286009 }}</ref>当然，这些检验方法也有其自身的缺点。例如，Shapiro–Wilk检验在具有许多相同值的样本中效果并不好。

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 [[文件:KS_Example.png|缩略图|右|Kolmogorov–Smirnov统计数据的图示。 红线是累积分布函数，蓝线是经验分布函数，黑色箭头是K–S统计量。]]
-在统计学中，'''<font color="#ff8000"> Kolmogorov–Smirnov检验</font>'''（亦称'''K-S检验'''或'''KS检验'''）是一种连续（或不连续，请参见第2.2节）的一维概率分布均等性的非参数检验，可用于比较一个样本与一个参考概率分布（单一样本K-S检验），或比较两个样本（两个样本的K-S检验）。它是以安德雷·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov和尼古莱·斯米尔诺夫 Nikolai Smirnov的名字命名。
+在统计学中，'''Kolmogorov–Smirnov检验'''（亦称'''K-S检验'''或'''KS检验'''）是一种连续（或不连续，请参见第2.2节）的一维概率分布均等性的非参数检验，可用于比较一个样本与一个参考概率分布（单一样本K-S检验），或比较两个样本（两个样本的K-S检验）。它是以安德雷·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov和尼古莱·斯米尔诺夫 Nikolai Smirnov的名字命名。
-Kolmogorov-Smirnov统计定量描述了一个样本分布的'''<font color="#ff8000">经验分布函数 Empirical distribution function</font>'''与一个参考分布的'''<font color="#ff8000">累积分布函数 Cumulative distribution function</font>'''之间的距离，或者是两个样本分布的经验分布函数之间的距离。该统计量的'''<font color="#ff8000">零分布 Null distribution</font>'''是基于'''<font color="#ff8000">零假设Null hypothesis</font>'''（或称原始假设）下计算的，可以从参考分布中抽取样本（在单个样本的情况下），或者从相同分布中抽取样本组（在两个样本的情况下）。在单样本情况下，零假设（原假设）考虑的分布可能是连续的（请参阅第2节），纯离散的或混合的（请参阅第2.2节）。然而在考虑两个样本情况下（请参阅第3节），零假设下的分布仅能确定为连续分布，在其他方面并不受限制。
+Kolmogorov-Smirnov统计定量描述了一个样本分布的'''<font color="#ff8000">经验分布函数 Empirical distribution function</font>'''与一个参考分布的'''<font color="#ff8000">累积分布函数 Cumulative distribution function</font>'''之间的距离，或者是两个样本分布的经验分布函数之间的距离。该统计量的'''<font color="#ff8000">零分布 Null distribution</font>'''是基于'''<font color="#ff8000">零假设 Null hypothesis</font>'''（或称原始假设）下计算的，可以从参考分布中抽取样本（在单个样本的情况下），或者从相同分布中抽取样本组（在两个样本的情况下）。在单样本情况下，零假设（原假设）考虑的分布可能是连续的（请参阅第2节），纯离散的或混合的（请参阅第2.2节）。然而在考虑两个样本情况下（请参阅第3节），零假设下的分布仅能确定为连续分布，在其他方面并不受限制。
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 这里要注意的是两个样本检验出来的数据样本是否来自同一分布。其并未指定该共同分布是什么（例如，它是正常还是不正常）。而且关键值表已经得出。Kolmogorov–Smirnov检验没有那么有效，因为它被设计为对两个分布函数之间所有可能的差异敏感。如刊登在Journal of Nonparametric Statistics2009年刊上Marozzi, Marco (2009)的文章《Some Notes on the Location-Scale Cucconi Test》<ref>{{cite journal |last1=Marozzi |first1=Marco |title=Some Notes on the Location-Scale Cucconi Test |journal=Journal of Nonparametric Statistics |date=2009 |volume=21 |issue=5 |page=629–647 |doi=10.1080/10485250902952435 }}</ref>和刊登在Communications in Statistics – Simulation and Computation2013年刊上同样Marozzi, Marco (2009)的文章《Nonparametric Simultaneous Tests for Location and Scale Testing: a Comparison of Several Methods》<ref>{{cite journal |last1=Marozzi |first1=Marco |title=Nonparametric Simultaneous Tests for Location and Scale Testing: a Comparison of Several Methods |journal=Communications in Statistics – Simulation and Computation |date=2013 |volume=42 |issue=6 |page=1298–1317 |doi=10.1080/03610918.2012.665546 }}</ref>显示了证据，当比较两个分布函数时，最初建议同时比较位置和比例的Cucconi检验比Kolmogorov-Smirnov检验更有效。
 == 为分布函数的形状设置置信极限 ==
 虽然通常使用Kolmogorov–Smirnov检验法来检验给定的''F''(''x'')是否为''F''<sub>''n''</sub>(''x'')的潜在概率分布，但可以将过程倒过来给出''F''(''x'')本身的置信极限。如果选择检验统计量''D''<sub>''α''</sub>的临界值，使得P(''D''<sub>''n''</sub>&nbsp;>&nbsp;''D''<sub>''α''</sub>) = ''α''，则在''F''<sub>''n''</sub>(''x'') 周围宽度±''D''<sub>''α''</sub>内将完全包含概率为1&nbsp;−&nbsp;''α''的''F''(''x'') 。
 == 多个维度的Kolmogorov–Smirnov统计 ==
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 一维的Kolmogorov-Smirnov统计量与所谓的星差D相同，因此，另一个对更高维度的本地KS扩展是将D也用于更高维度。可惜的是，很难从高维度上计算出星差。
 ==软件实现==
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 * Corder, G. W.; Foreman, D. I. (2014). 非参数统计：分步法. Wiley. ISBN 978-1118840313.
 * Stephens, M. A. (1979). "基于经验分布函数的逻辑分布拟合检验". Biometrika. 66 (3): 591–595. doi:10.1093/biomet/66.3.591.
 == 编者推荐 ==

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 == 编者推荐 ==
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 * Stephens, M. A. (1979). "基于经验分布函数的逻辑分布拟合检验". Biometrika. 66 (3): 591–595. doi:10.1093/biomet/66.3.591.
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 在实践中，该统计需要相对大量的数据点（与其他拟合优度标准相比，例如Anderson-Darling检验统计）才能正确地拒绝零假设。
-==Kolmogorov distribution Kolmogorov 分布==
+==Kolmogorov 分布==
 [[File:KolmogorovDistrPDF.png|thumb|600px|Kolmogorov发行版的PDF的插图。]]

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 虽然通常使用Kolmogorov–Smirnov检验法来检验给定的''F''(''x'')是否为''F''<sub>''n''</sub>(''x'')的潜在概率分布，但可以将过程倒过来给出''F''(''x'')本身的置信极限。如果选择检验统计量''D''<sub>''α''</sub>的临界值，使得P(''D''<sub>''n''</sub>&nbsp;>&nbsp;''D''<sub>''α''</sub>) = ''α''，则在''F''<sub>''n''</sub>(''x'') 周围宽度±''D''<sub>''α''</sub>内将完全包含概率为1&nbsp;−&nbsp;''α''的''F''(''x'') 。
-== The Kolmogorov–Smirnov statistic in more than one dimension 多个维度的Kolmogorov–Smirnov统计 ==
+== 多个维度的Kolmogorov–Smirnov统计 ==
 朱斯特尔 Justel，培尼亚 Peña和扎马 Zamar（1997）提出了无分布的多元Kolmogorov-Smirnov拟合优度检验。<ref>{{cite journal |last=Justel |first=A. |last2=Peña |first2=D. |last3=Zamar |first3=R. |year=1997 |title=A multivariate Kolmogorov–Smirnov test of goodness of fit |journal=Statistics & Probability Letters |volume=35 |issue=3 |pages=251–259 |doi=10.1016/S0167-7152(97)00020-5 |citeseerx=10.1.1.498.7631 }}</ref> 该检验使用通过Rosenblatt变换建立的统计量，开发出了一种算法来计算双变量情况。还介绍了可以在任何维度上轻松计算的近似检测法。

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+|keywords=统计检验,统计距离,非参数统计，正态性测试
 [[文件:KS_Example.png|缩略图|右|Kolmogorov–Smirnov统计数据的图示。 红线是累积分布函数，蓝线是经验分布函数，黑色箭头是K–S统计量。]]
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 * Corder, G. W.; Foreman, D. I. (2014). 非参数统计：分步法. Wiley. ISBN 978-1118840313.
 * Stephens, M. A. (1979). "基于经验分布函数的逻辑分布拟合检验". Biometrika. 66 (3): 591–595. doi:10.1093/biomet/66.3.591.

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 * Corder, G. W.; Foreman, D. I. (2014). Nonparametric Statistics: A Step-by-Step Approach. Wiley. ISBN 978-1118840313.
 * Stephens, M. A. (1979). "Test of fit for the logistic distribution based on the empirical distribution function". Biometrika. 66 (3): 591–595. doi:10.1093/biomet/66.3.591.
 * Daniel, Wayne W. (1990). " Kolmogorov–Smirnov单样本检验. Applied Nonparametric Statistics (2nd ed.). Boston: PWS-Kent. pp. 319–330. ISBN 978-0-534-91976-4.
 * Eadie, W.T.; D. Drijard; F.E. James; M. Roos; B. Sadoulet (1971). 实验物理中的统计方法. Amsterdam: North-Holland. pp. 269–271. ISBN 978-0-444-10117-4.