Koopman理论 - 版本历史

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例子

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例子

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算法

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算法

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残差DMD

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残差DMD

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残差DMD

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随机动力系统

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 在动力系统研究中，Koopman算子理论通过将非线性系统全局线性化，为分析复杂动力学行为提供了强大框架，但传统方法如扩展动态模式分解（EDMD）面临谱污染、连续谱处理不足和高维挑战等局限。残差动态模式分解（ResDMD）通过引入残差计算机制，构建Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>及其伴随算子与自身的乘积<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math>的[[Galerkin近似]]，有效区分真实特征值与伪特征值，从根本上解决了EDMD因有限维假设和离散化误差导致的谱失真问题。
 ===理论===
-给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\} \subset D(\mathcal{K})\)（\(D(\mathcal{K})</math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），EDMD 的目标是在子空间<math>V_{N_K} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\}</math>上近似<math>\mathcal{K}</math>的作用，即满足：
+给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\} \subset D(\mathcal{K})(D(\mathcal{K})</math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），EDMD 的目标是在子空间<math>V_{N_K} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\}</math>上近似<math>\mathcal{K}</math>的作用，即满足：
 <math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} (K_{\text{EDMD}})_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>
 定义向量值特征映射<math>\Psi(\boldsymbol{x}) = [\psi_1(\boldsymbol{x}), \dots, \psi_{N_K}(\boldsymbol{x})] \in \mathbb{C}^{1 \times N_K}</math>，则子空间<math>V_{N_K}</math>中的任意观测函数g可表示为<math>g(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(\boldsymbol{x}) g_j = \Psi(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{g}</math>（其中<math>\boldsymbol{g} \in \mathbb{C}^{N_K}</math>为系数向量）。由此可将库普曼算子对g的作用分解为：
 <math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>
-对于字典中任意观测函数<math>\phi_i \in \mathcal{O}</math>，其经 Koopman 算子演化后满足：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) = \phi_i(F(x))</math>，由于<math>\mathbf{Z}</math>通常不是 Koopman 不变子空间（即 <math>\mathcal{K}\phi_i \notin \mathcal{V}_{\mathcal{O}}</math>），EDMD 的目标是寻找一个矩阵 <math>\mathcal{K}_{\text{EDMD}} \in \mathbb{C}^{p \times p}</math>\(\)，使得：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) \approx \sum_{k=1}^p (\mathcal{K}_{\text{EDMD}})_{ki} \phi_k(x) \quad \forall x \in X</math>，故定义残差函数（量化近似误差）：
+优化目标是最小化残差的加权 <math>L^2</math>范数（Modern 中数值近似场景的标准目标）：
-<math>r_i(x) = \mathcal{K}\phi_i(x) - \sum_{k=1}^p (\mathcal{K}_{\text{EDMD}})_{ki} \phi_k(x)</math>
+<math>\min_{\mathcal{K}_{\text{EDMD}}} \int_X \sum_{i=1}^p |r_i(x)|^2 d\mu(x)</math>。
 ===算法===
 下面介绍三个相关的算法，算法依托ResDMD的残差控制机制，避免谱污染，适用于非线性、混沌、高维等复杂动力系统，从特征对提取→伪谱估计→谱测度计算层层递进，覆盖不同谱分析需求。

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 ===例子===
 本实验通过高斯迭代映射，证明 ResDMD 在处理复杂非线性动力学时的普适性，为后续高维系统的谱分析奠定方法基础。
 高斯迭代映射是一类具有复杂非线性动力学行为的实值动力系统，其典型形式为<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>，因分岔图呈现类似 “鼠标” 的特征而成为验证非线性算法的经典案例。该映射的非线性源于指数项<math>\exp(-\alpha x^2)</math>，当参数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>取特定值时，系统会表现出从周期运动到复杂分岔的过渡，其 Koopman 算子的谱结构包含离散特征值与潜在的连续谱成分，对算法的谱分辨能力提出挑战。
 实验采用的高斯迭代映射定义为：
 <math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>
 式中，<math>\alpha=2</math>控制指数项的非线性强度，使系统呈现明显的分岔行为，避免动力学过于简单；<math>\beta=-1-\exp(-\alpha)</math>，该取值通过抵消指数项的取值范围，确保系统状态在<math>[-1,0]</math>区间内稳定演化，同时诱导出从周期到分岔的过渡模式。映射的状态空间限制为<math>\Omega=[-1,0]</math>，采用标准勒贝格测度（Lebesgue measure）<math>\omega</math>描述状态分布，符合低维动力系统的常见测度选择，且便于计算 inner product。
 观测字典设计为准确刻画系统的非线性动力学，实验选用 “移植到<math>[-1,0]</math>区间的勒让德多项式” 作为观测字典，具体形式为：
 <math>\psi_j(x) = c_j P_j(2x+1)</math>
 其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式（在标准区间<math>[-1,1]</math>上正交，适合逼近光滑函数，且计算复杂度低）；<math>2x+1</math>线性变换将原区间<math>[-1,0]</math>映射到勒让德多项式的标准区间<math>[-1,1]</math>，确保基函数的正交性在目标区间内成立；<math>c_j</math>为归一化系数，使字典在<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>为克罗内克函数），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模<math>N_K=40</math>，既保证对非线性动力学的逼近精度，又避免因字典过大导致的计算复杂度激增。
 实验数据为快照对<math>{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为高斯迭代映射），<math>x^{(j)}</math>的采样方式与权重随积分规则变化，共测试 4 类典型积分规则：
 高斯 - 勒让德规则：采样点：移植到<math>[-1,0]</math>的高斯 - 勒让德节点（最优多项式积分节点）；权重：对应规则的标准权重。
 梯形规则采样点：等距点<math>x^{(j)} = -1 + \frac{j-1}{M-1}</math><math>(j=1,2,...,M)</math>；权重：端点<math>w_1=w_M=\frac{1}{2(M-1)}</math>，中间点<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>。
 黎曼和规则采样点：与梯形规则一致；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>（不调整端点权重，作为基础对照）。
 蒙特卡洛规则采样点：从<math>[-1,0]</math>的均匀分布中随机抽取；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M}</math>（模拟高维系统随机采样场景）。
 左图验证 ResDMD 的谱污染剔除能力，以复平面（横轴<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>）为背景，黑色曲线是伪谱轮廓，分别对应<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- 伪谱，定义为：<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(K - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。其中<math>cl(\cdot)</math>表示集合的闭包，K为 Koopman 算子。品红色圆点为传统 EDMD 特征值，大量特征值位于伪谱之外，这些是离散化导致的谱污染（虚假特征值），无法反映系统真实动力学，例如虚部 > 0.5 的特征值对应不存在的高频振荡，与高斯迭代映射的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选特征值，所有特征值均位于<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。

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	===例子===		===例子===
		+	本实验通过高斯迭代映射，证明 ResDMD 在处理复杂非线性动力学时的普适性，为后续高维系统的谱分析奠定方法基础。
		+	高斯迭代映射是一类具有复杂非线性动力学行为的实值动力系统，其典型形式为<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>，因分岔图呈现类似 “鼠标” 的特征而成为验证非线性算法的经典案例。该映射的非线性源于指数项<math>\exp(-\alpha x^2)</math>，当参数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>取特定值时，系统会表现出从周期运动到复杂分岔的过渡，其 Koopman 算子的谱结构包含离散特征值与潜在的连续谱成分，对算法的谱分辨能力提出挑战。
		+	实验采用的高斯迭代映射定义为：
		+	<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>
		+	式中，<math>\alpha=2</math>控制指数项的非线性强度，使系统呈现明显的分岔行为，避免动力学过于简单；<math>\beta=-1-\exp(-\alpha)</math>，该取值通过抵消指数项的取值范围，确保系统状态在<math>[-1,0]</math>区间内稳定演化，同时诱导出从周期到分岔的过渡模式。映射的状态空间限制为<math>\Omega=[-1,0]</math>，采用标准勒贝格测度（Lebesgue measure）<math>\omega</math>描述状态分布，符合低维动力系统的常见测度选择，且便于计算 inner product。
		+	观测字典设计为准确刻画系统的非线性动力学，实验选用 “移植到<math>[-1,0]</math>区间的勒让德多项式” 作为观测字典，具体形式为：
		+	<math>\psi_j(x) = c_j P_j(2x+1)</math>
		+	其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式（在标准区间<math>[-1,1]</math>上正交，适合逼近光滑函数，且计算复杂度低）；<math>2x+1</math>线性变换将原区间<math>[-1,0]</math>映射到勒让德多项式的标准区间<math>[-1,1]</math>，确保基函数的正交性在目标区间内成立；<math>c_j</math>为归一化系数，使字典在<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>为克罗内克函数），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模<math>N_K=40</math>，既保证对非线性动力学的逼近精度，又避免因字典过大导致的计算复杂度激增。
		+	实验数据为快照对<math>{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为高斯迭代映射），<math>x^{(j)}</math>的采样方式与权重随积分规则变化，共测试 4 类典型积分规则：
		+	高斯 - 勒让德规则：采样点：移植到<math>[-1,0]</math>的高斯 - 勒让德节点（最优多项式积分节点）；权重：对应规则的标准权重。
		+	梯形规则采样点：等距点<math>x^{(j)} = -1 + \frac{j-1}{M-1}</math><math>(j=1,2,...,M)</math>；权重：端点<math>w_1=w_M=\frac{1}{2(M-1)}</math>，中间点<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>。
		+	黎曼和规则采样点：与梯形规则一致；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>（不调整端点权重，作为基础对照）。
		+	蒙特卡洛规则采样点：从<math>[-1,0]</math>的均匀分布中随机抽取；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M}</math>（模拟高维系统随机采样场景）。
		+	左图验证 ResDMD 的谱污染剔除能力，以复平面（横轴<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>）为背景，黑色曲线是伪谱轮廓，分别对应<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- 伪谱，定义为：<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \\|(K - \lambda)^{-1}\\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。其中<math>cl(\cdot)</math>表示集合的闭包，K为 Koopman 算子。品红色圆点为传统 EDMD 特征值，大量特征值位于伪谱之外，这些是离散化导致的谱污染（虚假特征值），无法反映系统真实动力学，例如虚部 > 0.5 的特征值对应不存在的高频振荡，与高斯迭代映射的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选特征值，所有特征值均位于<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。
		+
		+	右图体现积分规则的性能差异，以 “数据点数量M” 为横轴、“核心矩阵元素最大绝对误差” 为纵轴（对数坐标），误差定义为：
		+	<math>err = \max_{1 \leq j,k \leq N_K} \left\| (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} - \langle K\psi_k, \psi_j \rangle \right\|</math>，
		+	其中<math>\langle K\psi_k, \psi_j \rangle</math>为 Koopman 算子 inner product 的真实值（作为误差基准）。结果显示不同积分规则的收敛速率差异显著：高斯 - 勒让德规则指数收敛；梯形规则<math>O(M^{-2})</math>；黎曼和规则<math>O(M^{-1})</math>；蒙特卡洛规则<math>O(M^{-1/2})</math>。

	==核DMD==		==核DMD==

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 ResDMD计算无谱污染的特征对算法：从快照数据中提取Koopman算子的准确特征对（特征值+特征函数），核心解决传统EDMD的谱污染问题。
 输入：
-快照数据：<math>{x^{(j)}\}_{j=1}^M<math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M<math>（下一时刻状态）
+快照数据：<math>{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）
-积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M<math>（用于数值积分近似）
+积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似）
-观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}<math>（刻画系统状态的观测函数集合）
+观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合）
-精度目标：<math>epsilon>0<math>（残差阈值）
+精度目标：<math>epsilon>0</math>（残差阈值）
 输出：
-准确特征对集合：<math>{(\lambda_j, g_j) \mid res(\lambda_j, g_j) \leq \epsilon\}<math>（<math>\lambda_j<math>为特征值，<math>g_j<math>为近似特征函数）
+准确特征对集合：<math>{(\lambda_j, g_j) \mid res(\lambda_j, g_j) \leq \epsilon\}<math>（<math>\lambda_j</math>为特征值，<math>g_j</math>为近似特征函数）
 算法过程：
-. 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X<math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y<math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y<math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y<math>为字典在<math>x/y<math>上的取值矩阵，<math>W<math>为权重对角矩阵）。
+. 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。
-. 求解广义特征值问题：<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)g = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)g<math>，得到候选特征对。
+. 求解广义特征值问题：<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)g = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)g</math>，得到候选特征对。
-. 计算每个候选特征对的残差<math>res(\lambda_j, g_j)<math>（衡量特征对与真实Koopman算子的契合度）。
+. 计算每个候选特征对的残差<math>res(\lambda_j, g_j)</math>（衡量特征对与真实Koopman算子的契合度）。
-. 丢弃残差大于<math>\epsilon<math>的伪特征对，保留满足精度的有效特征对。
+. 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的伪特征对，保留满足精度的有效特征对。
 核心用处：
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 适用于需要明确系统主导模态的场景（如流体动力学中的振荡模态、分子动力学中的关键运动模式）。
-ResDMD计算ε-伪谱估计算法：扩展算法2的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon<math>-伪谱，弥补特征值无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。
+ResDMD计算ε-伪谱估计算法：扩展算法2的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon</math>-伪谱，弥补特征值无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。
 输入：
-快照数据：<math>{x^{(j)}\}_{j=1}^M<math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M<math>（下一时刻状态）
+快照数据：<math>{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）
-积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M<math>（用于数值积分近似）
+积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似）
-观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}<math>（刻画系统状态的观测函数集合）
+观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合）
-精度目标：<math>epsilon>0<math>（残差阈值）
+精度目标：<math>epsilon>0</math>（残差阈值）
-复平面网格：<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}<math>（待评估的谱区域网格点）
+复平面网格：<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}</math>（待评估的谱区域网格点）
 输出
-<math>\epsilon$-伪谱估计：$\{z_j \mid \tau_j < \epsilon\}<math>（<math>\tau_j<math>为网格点$z_j$的最小残差）
+<math>\epsilon</math>-伪谱估计：<math>\{z_j \mid \tau_j < \epsilon\}</math>（<math>\tau_j</math>为网格点<math>z_j</math>的最小残差）
-近似特征函数：<math>\{g_j \mid \tau_j < \epsilon\}<math>（对应伪谱区域的<math>\epsilon<math>-近似特征函数）
+近似特征函数：<math>\{g_j \mid \tau_j < \epsilon\}</math>（对应伪谱区域的<math>\epsilon</math>-近似特征函数）
 算法过程
-. 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X<math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y<math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y<math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y<math>为字典在<math>x/y<math>上的取值矩阵，<math>W<math>为权重对角矩阵）。
+. 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。
-. 对每个网格点<math>z_j<math>，求解最小残差<math>\tau_j = \min_{g \in \mathbb{C}^{N_K}} res(z_j, \Psi g)<math>（转化为广义SVD问题）。
+. 对每个网格点<math>z_j</math>，求解最小残差<math>\tau_j = \min_{g \in \mathbb{C}^{N_K}} res(z_j, \Psi g)</math>（转化为广义SVD问题）。
-. 筛选出最小残差<math>\tau_j < \epsilon<math>的网格点，构成<math>\epsilon<math>-伪谱。
+. 筛选出最小残差<math>\tau_j < \epsilon</math>的网格点，构成<math>\epsilon</math>-伪谱。
 核心用处：

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 <math>\min_{\mathcal{K}_{\text{EDMD}}} \int_X \sum_{i=1}^p |r_i(x)|^2 d\mu(x)</math>。
 ===算法===
 ===例子===

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第402行：		第402行：

	==残差DMD==		==残差DMD==
		+	在动力系统研究中，Koopman算子理论通过将非线性系统全局线性化，为分析复杂动力学行为提供了强大框架，但传统方法如扩展动态模式分解（EDMD）面临谱污染、连续谱处理不足和高维挑战等局限。残差动态模式分解（ResDMD）通过引入残差计算机制，构建Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>及其伴随算子与自身的乘积<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math>的[[Galerkin近似]]，有效区分真实特征值与伪特征值，从根本上解决了EDMD因有限维假设和离散化误差导致的谱失真问题。
		+
		+
	对于字典中任意观测函数<math>\phi_i \in \mathcal{O}</math>，其经 Koopman 算子演化后满足：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) = \phi_i(F(x))</math>，由于<math>\mathbf{Z}</math>通常不是 Koopman 不变子空间（即 <math>\mathcal{K}\phi_i \notin \mathcal{V}_{\mathcal{O}}</math>），EDMD 的目标是寻找一个矩阵 <math>\mathcal{K}_{\text{EDMD}} \in \mathbb{C}^{p \times p}</math>\(\)，使得：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) \approx \sum_{k=1}^p (\mathcal{K}_{\text{EDMD}})_{ki} \phi_k(x) \quad \forall x \in X</math>，故定义残差函数（量化近似误差）：		对于字典中任意观测函数<math>\phi_i \in \mathcal{O}</math>，其经 Koopman 算子演化后满足：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) = \phi_i(F(x))</math>，由于<math>\mathbf{Z}</math>通常不是 Koopman 不变子空间（即 <math>\mathcal{K}\phi_i \notin \mathcal{V}_{\mathcal{O}}</math>），EDMD 的目标是寻找一个矩阵 <math>\mathcal{K}_{\text{EDMD}} \in \mathbb{C}^{p \times p}</math>\(\)，使得：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) \approx \sum_{k=1}^p (\mathcal{K}_{\text{EDMD}})_{ki} \phi_k(x) \quad \forall x \in X</math>，故定义残差函数（量化近似误差）：

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 其中 <math> W(t) </math>是维纳过程（Wiener process，白噪声），<math> \varphi </math>是噪声强度矩阵，<math> \varphi </math> 和 <math> \varphi </math>分别是时间微分和噪声微分。
-随机 Koopman 算子 <math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}}：\mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为期望算子：
+随机 Koopman 算子 <math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}}：\mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为期望算子<ref name="brunton_2022" /><ref>N. C\v  rnjaric\'-Z\v ic, S. Mac\'es\v ic\', and I. Mezi\'c, Koopman operator spectrum for random dynamical systems, J. Nonlinear Sci., 30 (2020), pp. 2007--2056, <nowiki>https://doi.org/10.1007/s00332019-09582-z</nowiki></ref>：
 <math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) = \mathbb{E}_x \left[ g\left( F^t(x, W) \right) \right] </math>