Logistic映射 - 版本历史

Jake：/* 自相似性 */

2025-10-08T14:45:36Z

自相似性

Jake：/* 自相似性 */

2025-10-08T14:45:10Z

自相似性

Jake：/* 自相似性 */

2025-10-08T14:44:44Z

自相似性

Jake：/* 重整化方程求解 */

2025-10-07T01:00:39Z

重整化方程求解

Jake：/* 普适性 */

2025-10-07T01:00:24Z

普适性

Jake：/* 蛛网绘图表示 */

2025-10-07T00:16:08Z

蛛网绘图表示

Jake：/* 蛛网绘图表示 */

2025-10-07T00:15:29Z

蛛网绘图表示

Jake：/* 特殊情况下的解析解 */

2025-10-06T23:54:03Z

特殊情况下的解析解

Jake：/* 数值试验 */

2025-10-06T23:44:40Z

数值试验

2025年10月6日 (一) 23:37 Jake

2025-10-06T23:37:47Z

@@ 第540行： / 第540行： @@
 <!--[[File:Selfsimilar.png|center|Self Similar|630px|thumb|图10：分岔图的自相似性]]-->
-[[文件:Feigenbaum.png|缩略图|center|图10：用于计算Feigenbaum常数的分岔图]]
+[[文件:Feigenbaum.png|缩略图|center|630px|图10：用于计算Feigenbaum常数的分岔图]]
 可以看到在两个分岔点<math>\mu_n</math>与<math>\mu_{n+1}</math>之间的区域，图形是自相似的两个“小山头”。

@@ 第540行： / 第540行： @@
 <!--[[File:Selfsimilar.png|center|Self Similar|630px|thumb|图10：分岔图的自相似性]]-->
-[[文件:Feigenbaum.png|缩略图|图10：用于计算Feigenbaum常数的分岔图]]
+[[文件:Feigenbaum.png|缩略图|center|图10：用于计算Feigenbaum常数的分岔图]]
 可以看到在两个分岔点<math>\mu_n</math>与<math>\mu_{n+1}</math>之间的区域，图形是自相似的两个“小山头”。

@@ 第533行： / 第533行： @@
 [[费根鲍姆常数]]是刻画Logistic映射乃至更普适的更一般的一维函数映射中有关分岔现象中的[[自相似性]]的重要普适常数。
 ===自相似性===
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 这个Logistic映射的分岔图具有明显的自相似性：
-[[File:Selfsimilar.png|center|Self Similar|630px|thumb|图10：分岔图的自相似性]]
+<!--[[File:Selfsimilar.png|center|Self Similar|630px|thumb|图10：分岔图的自相似性]]-->
+[[文件:Feigenbaum.png|缩略图|图10：用于计算Feigenbaum常数的分岔图]]
 可以看到在两个分岔点<math>\mu_n</math>与<math>\mu_{n+1}</math>之间的区域，图形是自相似的两个“小山头”。

@@ 第784行： / 第784行： @@
 ====重整化方程求解====
-这里不打算对重整化方程的求解进行详细地讨论，仅展示结论。如果把所有经过重整化方程迭代而收敛到同一个点的函数集合记为一个普适类，就可以解释不同的函数形式也具有相同的费根鲍姆常数的原因。同时将R变换在不动点附近进行泰勒级数展开，并保留线性项，我们就可以计算出费根鲍姆常数<math>\delta</math>和<math>\alpha</math>。因此，整个问题就都得到了解答。具体求解可以参考[[重整化]]这个词条的方程求解部分。
+这里不打算对重整化方程的求解进行详细地讨论，仅展示结论。如果把所有经过重整化方程迭代而收敛到同一个点的函数集合记为一个普适类，就可以解释不同的函数形式也具有相同的费根鲍姆常数的原因。同时将R变换在不动点附近进行泰勒级数展开，并保留线性项，我们就可以计算出费根鲍姆常数<math>\delta</math>和<math>\alpha</math>。因此，整个问题就都得到了解答。具体求解可以参考<ref name="从抛物线谈起" />中第三章的部分内容，以及[[费根鲍姆]]的论文<ref name='Feigenbaum_1976'/>。
 =参见=

@@ 第665行： / 第665行： @@
 容易观察到，该映射其具有与Logistic映射类似的性质，当<math>G</math>在区间<math>[0，\infty) </math>中逐渐增大时，其动力学由规则型变为混沌型.<ref name="Okulov, A Yu 1984">{{cite journal|last1=Okulov|first1=A Yu|last2=Oraevskiĭ|first2=A N|year=1984|title=Regular and stochastic self-modulation in a ring laser with nonlinear element|journal=Soviet Journal of Quantum Electronics|volume=14|issue=2|pages=1235–1237|bibcode=1984QuEle..14.1235O|doi=10.1070/QE1984v014n09ABEH006171}}</ref>
-除此之外，该映射也有相同的费根鲍姆常数（包括<math>\delta</math>=4.669201...,<math>\alpha</math>=2.502907...）.<ref>[http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976]</ref>
+除此之外，该映射也有相同的费根鲍姆常数（包括<math>\delta</math>=4.669201...,<math>\alpha</math>=2.502907...）.<ref name='Feigenbaum_1976'>[http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976]</ref>
 由此，可见费根鲍姆常数具有很强的普适性。

@@ 第290行： / 第290行： @@
 下面的动图则展示了，在不同参数<math>\mu</math>下，从初始值<math>x(0)=0.2</math>出发迭代多步形成的“蛛网”轨迹图：
-[[文件:LogisticCobwebChaos.gif|缩略图|Logistic映射过程的[[蛛网]]表示方法。这个动画展示了当参数[math]\mu[/math] (图中的r）从1变到4过程中, 初始值从0.2开始，动力学行为的变化]]
+[[文件:LogisticCobwebChaos.gif|缩略图|center|Logistic映射过程的[[蛛网]]表示方法。这个动画展示了当参数[math]\mu[/math] (图中的r）从1变到4过程中, 初始值从0.2开始，动力学行为的变化]]
 ==特殊情况下的解析解==

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 [[文件:Coweb.png|缩略图|居中|Logistic映射的“蛛网作图”表示法示意（来源：wikipedia的Logistic Map词条）]]
-首先，图中黑色的向下开口的抛物线即是映射函数<math>f(x)=\mu x(1-x)</math>，其次图中的<math>x_t</math>代表的是第t步迭代计算得到的数值，即：<math>x(t)</math>，其中<math>x_0=x(0)</math>代表的是初始值。
+首先，图中的横坐标代表的是t时刻的x值，纵坐标则代表经过一步迭代后，t+1时刻的数值。黑色的向下开口的抛物线即是映射函数<math>f(x)=\mu x(1-x)</math>，其次图中的<math>x_t</math>代表的是第t步迭代计算得到的数值，即：<math>x(t)</math>，其中<math>x_0=x(0)</math>代表的是初始值。
-从任意
+从任意的<math>x_t</math>出发，指向<math>x_{t+1}</math>的带箭头的连线折现代表的是一步迭代。值得注意的是，每一步的折线必然会在中间经过对角线，即<math>y=x</math>这条直线（图中的灰色直线），这是因为迭代过程中，我们需要把某一步的x结果再次转换为输入的x代入到({{EquationRef|1}})式中。因此，每一个时间步的迭代，就体现为从抛物线上对应的<math>x_t</math>点发出的水平线指向对角线<math>y=x</math>，然后在碰到该对角线以后，再转折为竖直的直线指向抛物线，直线与抛物线相交的点的纵坐标就是下一步的数值<math>x_{t+1}</math>；之后再从这个交点出发，绘制水平的指向对角线<math>y=x</math>的直线，如此往复循环下去，就得到了一条折线，它代表了从<math>x_0</math>出发进行反复映射迭代的轨迹。图中展示的就是从<math>x_0=0.2</math>出发经过3步迭代的轨迹。
 ==特殊情况下的解析解==

@@ 第271行： / 第271行： @@
 </syntaxhighlight>
 其中1000为初始值的个数，2000为迭代的时间步。interval为区域的划分尺度。
 ==特殊情况下的解析解==

@@ 第135行： / 第135行： @@
 首先，为了能够复现以下所有结果，我们给出了利用[[Mathematica]]软件这个迭代过程的代码如下：
- μ=0.9;x0=0.1;
+<syntaxhighlight lang="Mathematica">
- NestList[μ # (1 - #) &, x0, 100]
+μ=0.9;x0=0.1;
 NestList[μ # (1 - #) &, x0, 100]
@@ 第250行： / 第251行： @@
 图6中显示的每一个参数<math>\mu</math>所对应的迭代的极限行为。在相同的参数下，我们通过从不同的初始值（共有1000个）开始迭代足够多的次数（T=2000次），记录下这些数据点对应的<math>x(T)</math>值。为了让显示效果更好看，我们对处于相同区域的数据点进行了归并，从而可以用某一点灰度的大小来表示该区域数据点的多少。最后的[[Mathematica]]代码如下所示：
   interval = 0.001;
   results = Reverse[Transpose[Table[
@@ 第264行： / 第266行： @@
 .9 (Length[results] - 1) + 1, (Length[results] - 1)/4}],
      Table[{i,
-       N[2.9 + (i - 1)*(4 - 2.9)/(Length[results<nowiki>[[</nowiki>1<nowiki>]]</nowiki>] - 1),
+       N[2.9 + (i - 1)*(4 - 2.9)/(Length[results[[1]]] - 1),
-]}, {i, (3 - 2.9) (Length[results<nowiki>[[</nowiki>1<nowiki>]]</nowiki>] - 1)/(4 - 2.9) + 1,
+]}, {i, (3 - 2.9) (Length[results[[1]]] - 1)/(4 - 2.9) + 1,
-       Length[results<nowiki>[[</nowiki>1<nowiki>]]</nowiki>], (Length[results<nowiki>[[</nowiki>1<nowiki>]]</nowiki>] - 1)/5}]}]
+       Length[results[[1]]], (Length[results[[1]]] - 1)/5}]}]
+</syntaxhighlight>
 其中1000为初始值的个数，2000为迭代的时间步。interval为区域的划分尺度。

@@ 第3行： / 第3行： @@
 |description=Logistic映射,Logistic模型
 }}
 '''Logistic映射'''，又称单峰映象，是一个二次多项式映射(递归关系)，经常作为典型范例来说明复杂的[[混沌]]现象是如何从非常简单的[[非线性动力学]]方程中产生的。
@@ 第14行： / 第17行： @@
 其中，<math>t</math>为迭代时间步，对于任意的<math>t</math>，<math>x(t)\in [0,1]</math>，<math>\mu</math>为一可调参数，为了保证映射得到的<math>x(t)</math>始终位于[0,1]内，则<math>\mu\in [0,4]</math>。<math>x(t)</math>可以代表<math>t</math>时刻某类生物种群占最大可能种群规模的比例（即现有人口数与最大可能人口数的比率）。因此，该方程可以刻画一类生物种群在环境受限的情景下的生长情况。
-当变化不同的参数<math>\mu</math>时，该方程会展现出不同的动力学极限行为（即当t趋于无穷大，<math>x(t)</math>的变化情况），包括：[[不动点]]（即最终<math>x(t)</math>始终为同一个数值）、[[周期震荡]]（<math>x(t)</math>会在2个或者多个数值之间跳跃)、以及[[混沌]]（<math>x(t)</math>的终态不会重复，而会等概率地取遍某区间）。当<math>\mu</math>超过3.65时，就会发生混沌现象。正是因为这个简单的方程蕴涵了丰富的[[非线性]]行为，因而它成为了人们认识复杂的[[非线性动力学]]现象的代表模型。
+当变化不同的参数<math>\mu</math>时，该方程会展现出不同的动力学极限行为（即当t趋于无穷大，<math>x(t)</math>的变化情况），包括：[[不动点]]（即最终<math>x(t)</math>始终为同一个数值）、[[周期震荡]]（<math>x(t)</math>会在2个或者多个数值之间跳跃)、以及[[混沌]]（<math>x(t)</math>的终态不会重复，而会等概率地取遍某区间）。当<math>\mu</math>超过3.5699456时，就会发生混沌现象。正是因为这个简单的方程蕴涵了丰富的[[非线性]]行为，因而它成为了人们认识复杂的[[非线性动力学]]现象的代表模型。