Lotka–Volterra方程式 - 版本历史

2021年10月24日 (日) 13:53 薄荷

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历史

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方程的物理意义

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		+	\|keywords=捕猎系统,动力学系统,非线性微分方程组
		+	\|description=是一对一阶非线性微分方程组，常用来描述两个物种间因捕食和被捕食关系而形成的动力学系统
		+	}}

	[[文件:Milliers fourrures vendues en environ 90 ans odum 1953 en.jpg\|缩略图\|右\|卖给哈德逊湾公司的雪鞋野兔毛皮（后方黄色区域）和加拿大山猫毛皮（前方黑色线条）。注：加拿大山猫会以雪兔为食。]]		[[文件:Milliers fourrures vendues en environ 90 ans odum 1953 en.jpg\|缩略图\|右\|卖给哈德逊湾公司的雪鞋野兔毛皮（后方黄色区域）和加拿大山猫毛皮（前方黑色线条）。注：加拿大山猫会以雪兔为食。]]

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-== 另请参见 ==
+== 另见 ==
+* 竞争性Lotka–Volterra方程 Competitive Lotka–Volterra equations
-* '''竞争性Lotka–Volterra方程Competitive Lotka–Volterra equations'''
+* 广义Lotka–Volterra方程 Generalized Lotka–Volterra equation
-* '''广义Lotka–Volterra方程Generalized Lotka–Volterra equation'''
+* 互惠主义与Lotka–Volterra方程 Mutualism and the Lotka–Volterra equation
-* '''互惠主义与Lotka–Volterra方程Mutualism and the Lotka–Volterra equation'''
+* 群落矩阵 Community matrix
-* '''群落矩阵Community matrix'''
+* 种群动态 Population dynamics
-* '''种群动态Population dynamics'''
+* 渔业种群动态 Population dynamics of fisheries
-* '''渔业种群动态Population dynamics of fisheries'''
+* Nicholson–Bailey模型 Nicholson&ndash;Bailey model
-* '''Nicholson–Bailey模型Nicholson&ndash;Bailey model'''
+* 反应扩散系统 Reaction–diffusion system
-* '''反应扩散系统Reaction–diffusion system'''
+* 富集悖论 Paradox of enrichment
-* '''富集悖论Paradox of enrichment'''
+* 兰切斯特定律 Lanchester's laws，有关于军事战术的微分方程组
 == 备注==

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 == 历史 ==
-Lotka–Volterra捕猎模型最初是由Alfred J. Lotka于1910年在自催化化学反应理论中提出的<ref name=":2">{{cite journal|last=Lotka|first=A. J.|title=Contribution to the Theory of Periodic Reaction|journal=Journal of Physical Chemistry A|volume=14|issue=3|pages=271–274|year=1910|doi=10.1021/j150111a004|url=https://zenodo.org/record/1428768}}</ref><ref name="Goelmany">{{cite book|last=Goel|first=N. S.|display-authors=etal|title=On the Volterra and Other Non-Linear Models of Interacting Populations|location=|publisher=Academic Press|year=1971}}</ref>。这个模型实际上是一类逻辑方程<ref name=":3">{{cite journal|last=Berryman|first=A. A.|url=http://entomology.wsu.edu/profiles/06BerrymanWeb/Berryman%2892%29Origins.pdf|title=The Origins and Evolution of Predator-Prey Theory|journal=Ecology (journal)|volume=73|issue=5|pages=1530–1535|year=1992|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20100531204042/http://entomology.wsu.edu/profiles/06BerrymanWeb/Berryman%2892%29Origins.pdf|archive-date=2010-05-31|df=|doi=10.2307/1940005|jstor=1940005}}</ref> ，源自于Pierre François Verhulst<ref name=":4">{{cite journal|last=Verhulst|first=P. H.|url=https://books.google.com/books?id=8GsEAAAAYAAJ|title=Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement|journal=Corresp. Mathématique et Physique|volume=10|issue=|pages=113–121|year=1838}}</ref> 。1920年，Lotka以植食和草食性动物为例<ref name=":5">{{cite journal|last=Lotka|first=A. J.|pmc=1084562|title=Analytical Note on Certain Rhythmic Relations in Organic Systems|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=6|issue=7|pages=410–415|year=1920|doi=10.1073/pnas.6.7.410|pmid=16576509|bibcode=1920PNAS....6..410L}}</ref>，在Andrey Kolmogorov的帮助下将该模型扩展到了“有机系统”，并于1925年，他在自己编写的生物数学书中使用了这些方程式分析了捕食者与猎物之间的相互关系<ref name=":6">{{cite book|last=Lotka|first=A. J.|title=Elements of Physical Biology|location=|publisher=Williams and Wilkins|year=1925}}</ref>。1926年，数学和物理学家Vito Volterra发表了同样的方程组。沃尔泰拉对数理生物学非常感兴趣<ref name="Goelmany"/><ref name=":7">{{cite journal|last=Volterra|first=V.|title=Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui in specie animali conviventi|journal=Accademia dei Lincei|volume=2|issue=|pages=31–113|year=1926}}</ref><ref name=":8">{{cite book|last=Volterra|first=V.|chapter=Variations and fluctuations of the number of individuals in animal species living together|title=Animal Ecology|editor-last=Chapman|editor-first=R. N.|location=|publisher=McGraw–Hill|year=1931}}</ref>，他对该领域的研究受到了与海洋生物学家Umberto D'Ancona交流的启发，当时D'Ancona正向他的女儿求婚，不久后便成了他的女婿。D'Ancona研究了亚得里亚海的渔获物，并注意到在第一次世界大战期间（1914-1918年），捕捞的肉食性鱼类的百分比有所增加。因为这种现象恰好发生在捕鱼量已大大减少的战争年代，这使他感到困惑不已。后来，Volterra独立于洛特卡发展了自己的模型，并用它来解释D'Ancona的观察结果<ref name=":9" />。
+Lotka–Volterra捕猎模型最初是由Alfred J. Lotka于1910年在自催化化学反应理论中提出的<ref name=":2">{{cite journal|last=Lotka|first=A. J.|title=Contribution to the Theory of Periodic Reaction|journal=Journal of Physical Chemistry A|volume=14|issue=3|pages=271–274|year=1910|doi=10.1021/j150111a004|url=https://zenodo.org/record/1428768}}</ref><ref name="Goelmany">{{cite book|last=Goel|first=N. S.|display-authors=etal|title=On the Volterra and Other Non-Linear Models of Interacting Populations|location=|publisher=Academic Press|year=1971}}</ref>。这个模型实际上是一类逻辑方程<ref name=":3">{{cite journal|last=Berryman|first=A. A.|url=http://entomology.wsu.edu/profiles/06BerrymanWeb/Berryman%2892%29Origins.pdf|title=The Origins and Evolution of Predator-Prey Theory|journal=Ecology (journal)|volume=73|issue=5|pages=1530–1535|year=1992|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20100531204042/http://entomology.wsu.edu/profiles/06BerrymanWeb/Berryman%2892%29Origins.pdf|archive-date=2010-05-31|df=|doi=10.2307/1940005|jstor=1940005}}</ref> ，源自于Pierre François Verhulst<ref name=":4">{{cite journal|last=Verhulst|first=P. H.|url=https://books.google.com/books?id=8GsEAAAAYAAJ|title=Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement|journal=Corresp. Mathématique et Physique|volume=10|issue=|pages=113–121|year=1838}}</ref> 。1920年，Lotka以植食和草食性动物为例<ref name=":5">{{cite journal|last=Lotka|first=A. J.|pmc=1084562|title=Analytical Note on Certain Rhythmic Relations in Organic Systems|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=6|issue=7|pages=410–415|year=1920|doi=10.1073/pnas.6.7.410|pmid=16576509|bibcode=1920PNAS....6..410L}}</ref>，在Andrey Kolmogorov的帮助下将该模型扩展到了“有机系统”，并于1925年，他在自己编写的生物数学书中使用了这些方程式分析了捕食者与猎物之间的相互关系<ref name=":6">{{cite book|last=Lotka|first=A. J.|title=Elements of Physical Biology|location=|publisher=Williams and Wilkins|year=1925}}</ref>。1926年，数学和物理学家Vito Volterra发表了同样的方程组。沃尔泰拉对数理生物学非常感兴趣<ref name="Goelmany"/><ref name=":7">{{cite journal|last=Volterra|first=V.|title=Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui in specie animali conviventi|journal=Accademia dei Lincei|volume=2|issue=|pages=31–113|year=1926}}</ref><ref name=":8">{{cite book|last=Volterra|first=V.|chapter=Variations and fluctuations of the number of individuals in animal species living together|title=Animal Ecology|editor-last=Chapman|editor-first=R. N.|location=|publisher=McGraw–Hill|year=1931}}</ref>，他对该领域的研究受到了与海洋生物学家Umberto D'Ancona交流的启发，当时D'Ancona正向他的女儿求婚，不久后便成了他的女婿。D'Ancona研究了亚得里亚海的渔获物，并注意到在第一次世界大战期间（1914-1918年），捕捞的肉食性鱼类的百分比有所增加。因为这种现象恰好发生在捕鱼量已大大减少的战争年代，这使他感到困惑不已。后来，Volterra独立于洛特卡发展了自己的模型，并用它来解释D'Ancona的观察结果。<ref name=":9">{{cite book|last=Kingsland|first=S.|title=Modeling Nature: Episodes in the History of Population Ecology|location=|publisher=University of Chicago Press|year=1995|isbn=978-0-226-43728-6}}</ref>
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 Lotka-Volterra方程在理论经济学中有很长的应用历史，最早由Richard Goodwin应用于1965<ref name=":15">{{cite journal|last=Gandolfo|first=G.|title=Giuseppe Palomba and the Lotka–Volterra equations|journal=Rendiconti Lincei|volume=19|issue=4|pages=347–357|year=2008|doi=10.1007/s12210-008-0023-7}}</ref>与1967年。<ref name=":16">{{cite book|last=Goodwin|first=R. M.|chapter=A Growth Cycle|title=Socialism, Capitalism and Economic Growth|chapter-url=https://archive.org/details/socialismcapital0000fein|chapter-url-access=registration|editor-last=Feinstein|editor-first=C. H.|publisher=Cambridge University Press|year=1967}}</ref><ref name=":17">{{cite journal|last1=Desai|first1=M.|last2=Ormerod|first2=P.|url=http://www.paulormerod.com/pdf/economicjournal1998.pdf|title=Richard Goodwin: A Short Appreciation|journal=The Economic Journal|volume=108|issue=450|pages=1431–1435|year=1998|doi=10.1111/1468-0297.00350|citeseerx=10.1.1.423.1705|access-date=2010-03-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20110927154044/http://www.paulormerod.com/pdf/economicjournal1998.pdf|archive-date=2011-09-27|url-status=dead}}</ref>
 == 方程的物理意义 ==

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-之后该模型得到进一步扩展，加入了包括依赖于种群密度的猎物增长机制和由C. S. Holling发展出的功能响应机制，被称为'''Rosenzweig–MacArthur模型'''<ref name=":10">{{cite journal|last1=Rosenzweig|first1=M. L.|last2=MacArthur|first2=R.H.|year=1963|title=Graphical representation and stability conditions of predator-prey interactions|journal=American Naturalist|issue=895|pages=209–223|doi=10.1086/282272|volume=97|s2cid=84883526}}</ref> 。Lotka–Volterra和Rosenzweig–MacArthur模型一直被用于解释捕猎双方自然种群的动态变化，例如哈德逊湾<ref name=":11">{{cite journal|last=Gilpin|first=M. E.|year=1973|title=Do hares eat lynx?|journal=American Naturalist|issue=957|pages=727–730|doi=10.1086/282870|volume=107|s2cid=84794121}}</ref>的山猫和雪兔的种群数据，以及罗亚尔岛国家公园的麋鹿和狼的种群数据。<ref name=":12">{{cite journal|last1=Jost|first1=C.|last2=Devulder|first2=G.|last3=Vucetich|first3=J.A.|last4=Peterson|first4=R.|last5=Arditi|first5=R.|doi=10.1111/j.1365-2656.2005.00977.x|title=The wolves of Isle Royale display scale-invariant satiation and density dependent predation on moose|journal=J. Anim. Ecol.|volume=74|issue=5|pages=809–816|year=2005}}</ref>
+之后该模型得到进一步扩展，加入了包括依赖于种群密度的猎物增长机制和由C. S. Holling发展出的功能响应机制，被称为'''Rosenzweig–MacArthur模型'''<ref name=":10">{{cite journal|last1=Rosenzweig|first1=M. L.|last2=MacArthur|first2=R.H.|year=1963|title=Graphical representation and stability conditions of predator-prey interactions|journal=American Naturalist|issue=895|pages=209–223|doi=10.1086/282272|volume=97}}</ref> 。Lotka–Volterra和Rosenzweig–MacArthur模型一直被用于解释捕猎双方自然种群的动态变化，例如哈德逊湾<ref name=":11">{{cite journal|last=Gilpin|first=M. E.|year=1973|title=Do hares eat lynx?|journal=American Naturalist|issue=957|pages=727–730|doi=10.1086/282870|volume=107}}</ref>的山猫和雪兔的种群数据，以及罗亚尔岛国家公园的麋鹿和狼的种群数据。<ref name=":12">{{cite journal|last1=Jost|first1=C.|last2=Devulder|first2=G.|last3=Vucetich|first3=J.A.|last4=Peterson|first4=R.|last5=Arditi|first5=R.|doi=10.1111/j.1365-2656.2005.00977.x|title=The wolves of Isle Royale display scale-invariant satiation and density dependent predation on moose|journal=J. Anim. Ecol.|volume=74|issue=5|pages=809–816|year=2005}}</ref>
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-Lotka-Volterra方程在理论经济学中有很长的应用历史，最早由Richard Goodwin应用于1965<ref name=":15">{{cite journal|last=Gandolfo|first=G.|title=Giuseppe Palomba and the Lotka–Volterra equations|journal=Rendiconti Lincei|volume=19|issue=4|pages=347–357|year=2008|doi=10.1007/s12210-008-0023-7|s2cid=140537163}}</ref>与1967年。<ref name=":16">{{cite book|last=Goodwin|first=R. M.|chapter=A Growth Cycle|title=Socialism, Capitalism and Economic Growth|chapter-url=https://archive.org/details/socialismcapital0000fein|chapter-url-access=registration|editor-last=Feinstein|editor-first=C. H.|publisher=Cambridge University Press|year=1967}}</ref><ref name=":17">{{cite journal|last1=Desai|first1=M.|last2=Ormerod|first2=P.|url=http://www.paulormerod.com/pdf/economicjournal1998.pdf|title=Richard Goodwin: A Short Appreciation|journal=The Economic Journal|volume=108|issue=450|pages=1431–1435|year=1998|doi=10.1111/1468-0297.00350|citeseerx=10.1.1.423.1705|access-date=2010-03-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20110927154044/http://www.paulormerod.com/pdf/economicjournal1998.pdf|archive-date=2011-09-27|url-status=dead}}</ref>
+Lotka-Volterra方程在理论经济学中有很长的应用历史，最早由Richard Goodwin应用于1965<ref name=":15">{{cite journal|last=Gandolfo|first=G.|title=Giuseppe Palomba and the Lotka–Volterra equations|journal=Rendiconti Lincei|volume=19|issue=4|pages=347–357|year=2008|doi=10.1007/s12210-008-0023-7}}</ref>与1967年。<ref name=":16">{{cite book|last=Goodwin|first=R. M.|chapter=A Growth Cycle|title=Socialism, Capitalism and Economic Growth|chapter-url=https://archive.org/details/socialismcapital0000fein|chapter-url-access=registration|editor-last=Feinstein|editor-first=C. H.|publisher=Cambridge University Press|year=1967}}</ref><ref name=":17">{{cite journal|last1=Desai|first1=M.|last2=Ormerod|first2=P.|url=http://www.paulormerod.com/pdf/economicjournal1998.pdf|title=Richard Goodwin: A Short Appreciation|journal=The Economic Journal|volume=108|issue=450|pages=1431–1435|year=1998|doi=10.1111/1468-0297.00350|citeseerx=10.1.1.423.1705|access-date=2010-03-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20110927154044/http://www.paulormerod.com/pdf/economicjournal1998.pdf|archive-date=2011-09-27|url-status=dead}}</ref>
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 == 方程求解 ==
-对于通常的三角方程，虽然很容易处理并得到其周期解，但是其解的表达式并不简洁。<ref name=":20">{{cite journal|last1=Steiner|first1=Antonio|last2=Gander|first2=Martin Jakob|year=1999|title=Parametrische Lösungen der Räuber-Beute-Gleichungen im Vergleich|journal=Il Volterriano|volume=7|issue=|pages=32–44|url=http://archive-ouverte.unige.ch/unige:6300/ATTACHMENT01}}</ref><ref name=":21">{{cite journal|last1=Evans|first1=C. M.|last2=Findley|first2=G. L.|title=A new transformation for the Lotka-Volterra problem|journal=Journal of Mathematical Chemistry|volume=25|issue=|pages=105–110|year=1999|doi=10.1023/A:1019172114300|s2cid=36980176}}</ref>
+对于通常的三角方程，虽然很容易处理并得到其周期解，但是其解的表达式并不简洁。<ref name=":20">{{cite journal|last1=Steiner|first1=Antonio|last2=Gander|first2=Martin Jakob|year=1999|title=Parametrische Lösungen der Räuber-Beute-Gleichungen im Vergleich|journal=Il Volterriano|volume=7|issue=|pages=32–44|url=http://archive-ouverte.unige.ch/unige:6300/ATTACHMENT01}}</ref><ref name=":21">{{cite journal|last1=Evans|first1=C. M.|last2=Findley|first2=G. L.|title=A new transformation for the Lotka-Volterra problem|journal=Journal of Mathematical Chemistry|volume=25|issue=|pages=105–110|year=1999|doi=10.1023/A:1019172114300}}</ref>

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−	~~==编辑推荐==~~

		+	==编者推荐==
		+	[[File:chaos.jpg\|thumb\|100px\|right\|Chaos]]
		+	===书籍推荐===
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		+	====[https://www.amazon.co.uk/Chaos-Making-Science-James-Gleick/dp/0749386061 Chaos: Making a New Science]====
		+
		+	本书由普利茨奖获得者James Gleick撰写。它是一本易读科普书籍，侧重介绍对混沌概念的发展做出重大贡献的科学家和数学家们。
		+	<br/>
		+
		+	====[https://item.jd.com/10888247.html 现代动力系统理论导论 Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems]====
		+	本书提供了动力学系统理论的第一个独立的综合性论述，它是与大多数主要数学领域紧密联系在一起的核心数学学科。作者介绍并严格发展了该理论，同时为对应用程序感兴趣的研究人员提供了基本的工具和范例。该书首先讨论了几个基本但基本的示例。这些用于制定一个渐进性质的一般研究程序，并介绍主要的理论概念和方法。该书针对从高级本科生到各级数学的学生和研究人员。应用动力学，非线性科学和混沌领域的科学家和工程师将在这个具体而清晰的演示中找到许多新见解。
		+
		+	===集智课程推荐===
		+	[[File:dong_爱奇艺.jpg\|thumb\|140px\|right\|动力系统分析]]
		+	====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====
		+	本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到蝴蝶效应 Butterfly effect、奇异吸引子 Attractors等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。
		+	<br/>
		+
		+	====[https://campus.swarma.org/course/1641 动力系统分析]====
		+
		+	本课程主要讲授连续和离散动力系统的定态、极限环及其稳定性分析、动力学系统的结构稳定性和常见的分支类型以及分析方法，混沌概念等。
		+	<br/>

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-在这种情况下，微分方程的解是确定并连续的。反过来，这也意味着捕食者和猎物的世代是持续重叠的。<ref name=":19">{{cite book|last1=Cooke|first1=D.|last2=Hiorns|first2=R. W.|display-authors=etal|title=The Mathematical Theory of the Dynamics of Biological Populations|volume=II|publisher=Academic Press|year=1981}}</ref>
+在这种情况下，微分方程的解是确定并连续的。反过来，这也意味着捕食者和猎物的世代是持续重叠的。<ref name=":19">{{cite book|last1=Cooke|first1=D.|last2=Hiorns|first2=R. W.|title=The Mathematical Theory of the Dynamics of Biological Populations|volume=II|publisher=Academic Press|year=1981}}</ref>
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 因此，上述方程式可以理解为，捕食者种群的变化率取决于其捕杀猎物的速率减去其内在死亡（包括迁徙）率。
 == 方程求解 ==

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 ==编辑推荐==
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-本中文词条由JIE翻译，[[用户:思无涯咿呀咿呀|思无涯咿呀咿呀]]审校，[[用户:薄荷|薄荷]]编辑，欢迎在讨论页面留言。
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 此词条Jie翻译。
-由CecileLi初步审校，由潮升阶精校
+由CecileLi初步审校，由潮升阶进一步审校
 {{About|the predator-prey equations|the competition equations|Competitive Lotka–Volterra equations}}
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 The '''Lotka–Volterra equations''', also known as the '''predator–prey equations''', are a pair of first-order [[nonlinear]] [[differential equation]]s, frequently used to describe the [[dynamical system|dynamics]] of [[Systems biology|biological systems]] in which two species interact, one as a [[predator]] and the other as prey. The populations change through time according to the pair of equations:
-'''<font color="#ff8000"> Lotka–Volterra方程式</font>'''（又称为'''捕食者-猎物方程'''，以下简称为'''捕猎方程'''）是一对一阶非线性微分方程组，我们经常用它来描述两个物种间因捕食和被捕食关系而形成的动力学系统，这样的系统可称为'''捕猎系统'''。该方程组反映了此二者物种的种群数量会随时间变化并遵循如下规律：
+'''<font color="#ff8000"> Lotka–Volterra方程式</font>'''（洛特卡-沃尔泰拉方程式，又称为'''捕食者-猎物方程'''，以下简称为'''捕猎方程'''）是一对一阶非线性微分方程组，我们经常用它来描述两个物种间因捕食和被捕食关系而形成的动力学系统，这样的系统可称为'''捕猎系统'''。该方程组反映了此二者物种的种群数量会随时间变化并遵循如下规律：
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 :{{mvar|x}}是猎物（例如兔子）的数量；
 :{{mvar|y}}是捕食者（例如狐狸）的数量；
-:<math>\tfrac{dy}{dt}</math> 和 <math>\tfrac{dx}{dt}</math>代表两个种群数量的瞬时增长率；
+:<math>\tfrac{dy}{dt}</math> 和 <math>\tfrac{dx}{dt}</math>代表这两个种群的瞬时增长率；
 :{{mvar|t}}代表时间；
 :{{math|''α'', ''β'', ''γ'', ''δ''}}是描述两个物种相互作用的正实参数。
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 The Lotka–Volterra system of equations is an example of a [[Kolmogorov equations|Kolmogorov model]],<ref name=":0">{{cite book |last=Freedman |first=H. I. |title=Deterministic Mathematical Models in Population Ecology |publisher=[[Marcel Dekker]] |year=1980}}</ref><ref name=":1">{{cite book |last1=Brauer |first1=F. |last2=Castillo-Chavez |first2=C. |title=Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology |publisher=[[Springer-Verlag]] |year=2000}}</ref><ref name="scholarpedia">{{cite journal |last=Hoppensteadt |first=F. |title=Predator-prey model |journal=[[Scholarpedia]] |volume=1 |issue=10 |page=1563 |year=2006|doi=10.4249/scholarpedia.1563 |bibcode=2006SchpJ...1.1563H |doi-access=free }}</ref> which is a more general framework that can model the dynamics of ecological systems with predator–prey interactions, [[Competition (biology)|competition]], disease, and [[mutualism (biology)|mutualism]].
-Lotka–Volterra方程组是Kolmogorov模型的一个示例，而Kolmogorov模型<ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name="scholarpedia" /> 具有更一般的模型框架，可以用来刻画捕食者与猎物之间因猎食，竞争，疾病和共生等关系而形成的生态动力系统。
+Lotka–Volterra方程组是Kolmogorov模型（柯尔莫戈洛夫模型）的一个示例，而Kolmogorov模型<ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name="scholarpedia" /> 具有更一般的模型框架，可以用来刻画捕食者与猎物之间因猎食，竞争，疾病和共生等关系而形成的生态动力系统。
 == 历史 ==