Lumpability - 版本历史

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成块性的充分必要条件

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一致性Consistency

Liangjh：/* 成块性满足的性质 */

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成块性满足的性质

Liangjh：/* 一致性Consistency */

2025-01-19T09:26:10Z

一致性Consistency

2025年1月19日 (日) 09:01 Liangjh

2025-01-19T09:01:14Z

Liangjh：/* 最初定义 */

2025-01-19T08:56:31Z

最初定义

Liangjh：/* 最初定义 */

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最初定义

Liangjh：/* 最初定义 */

2025-01-19T08:51:09Z

最初定义

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	所以，成块性并不是一个马尔科夫链的特质，而是对马尔科夫链的某个状态划分的特质。直接说某个马尔科夫链是成块的或是不成块的是不严谨的，但是我们可以说，对于某个马尔科夫链的某个状态划分是成块或不成块的。但是，通常为了简略表达，当我们说某个马尔科夫链成块时，我们表达的是它存在某种成块的状态划分。		所以，成块性并不是一个马尔科夫链的特质，而是对马尔科夫链的某个状态划分的特质。直接说某个马尔科夫链是成块的或是不成块的是不严谨的，但是我们可以说，对于某个马尔科夫链的某个状态划分是成块或不成块的。但是，通常为了简略表达，当我们说某个马尔科夫链成块时，我们表达的是它存在某种成块的状态划分。
−
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	==成块性的正例和反例==		==成块性的正例和反例==

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 [[文件:HOM示例.png|411x411像素|缩略图|图5：HOM节点边权合并示意图|替代=]]
+然后，我们来简单介绍一下的[[网络归并]]构建宏观HOM转移概率矩阵的计算方法。
 在图4中，我们把3和4看作是待合并节点<math>A</math>。

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 我们这里使用一个简单的成块的划分的例子，来显示成块性的粗粒化跟HOM是对应的。
-[[文件:HOM示例.png|缩略图|图4：例子示意图|替代=]]
+[[文件:Lumpability例子示意图.png|缩略图|图4：例子示意图|替代=]]
 <math>
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 然后，我们来简单介绍一下的[[网络归并]]构建宏观HOM转移概率矩阵的计算方法。
-[[文件:网络节点边权合并示意图.png|411x411像素|缩略图|图5：HOM节点边权合并示意图|替代=]]
+[[文件:HOM示例.png|411x411像素|缩略图|图5：HOM节点边权合并示意图|替代=]]

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 我们这里使用一个简单的成块的划分的例子，来显示成块性的粗粒化跟HOM是对应的。
-[[文件:Lumpability例子示意图.png|缩略图|图4：例子示意图|替代=]]
+[[文件:HOM示例.png|缩略图|图4：例子示意图|替代=]]
 <math>
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-然后，我们来简单介绍一下的构建宏观HOM转移概率矩阵的计算方法。
+然后，我们来简单介绍一下的[[网络归并]]构建宏观HOM转移概率矩阵的计算方法。
 [[文件:网络节点边权合并示意图.png|411x411像素|缩略图|图5：HOM节点边权合并示意图|替代=]]
 在图4中，我们把3和4看作是待合并节点<math>A</math>。
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 回到上面基于成块划分做的粗粒化过程与HOM等价的推断，我们就能得出，'''根据成块性而做的粗粒化，构建的宏观网络和微观网络也是保持一致的。'''
+<br/>
 ==成块性概念的变种==

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 对于例子中的不成块的矩阵，我们或许可以给它强制定义一个简化过程的TPM，比如<math> P_1' = \left ( \begin{array}{cc} 0.6 & 0.4 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>，但这个简化过程并不能对任何微观初始状态保持一致，只能对<math>s^{(t)} = \pi = \left [ \begin{array}{cc}1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>适用。而<math>s^{(t)} = \pi = \left [ \begin{array}{cc}0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>不适用这个简化过程。它适用的是<math> P_2' = \left ( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.5 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>。这里的不适用是指，这个简化过程不能描述这个<math>\pi</math>为初始状态出发的微观状态序列投影的宏观状态序列。我们看到，对于这个分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，马尔科夫矩阵有两个简化过程 <math> P_1'</math>和<math> P_2'</math>，而它们各自只适用于一些微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math>，并不满足定义2中的条件，所以<math>A</math>对于这个TPM来说不是一个成块的划分。事实上，这个TPM只存在一个成块的划分，就是不做任何的分组，所以它无法按照成块性的定义进行粗粒化。在后面“成块性概念的变种”的部分，我们会提到，虽然对这个TPM做的划分不符合（强）成块性的要求，但是它实际上满足弱成块性 Weak Lumpability，即简化过程对部分微观初始状态使用。
 ==成块性的充分必要条件==
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 所以，成块性并不是一个马尔科夫链的特质，而是对马尔科夫链的某个状态划分的特质。直接说某个马尔科夫链是成块的或是不成块的是不严谨的，但是我们可以说，对于某个马尔科夫链的某个状态划分是成块或不成块的。但是，通常为了简略表达，当我们说某个马尔科夫链成块时，我们表达的是它存在某种成块的状态划分。
 ==成块性的正例和反例==
@@ 第248行： / 第252行： @@
 \end{aligned}
 </math>
 ==成块性满足的性质==
@@ 第265行： / 第271行： @@
 虽然成块性划分能够准确预测宏观动力学，但它无法确保像[[计算力学]]中因果态那样的微观最大预测性，因为它在聚类过程中会损失微观状态的信息，使得我们无法辨别某个<math>A^{(t)}</math>具体是哪个微观态<math>s^{(t)}</math>。而且，这个信息的损失是不可逆的，所以从微观粗粒化到宏观之后，就无法再还原到微观了。
 ===成块划分和粗粒化的可交换性===
@@ 第285行： / 第293行： @@
 而<math>\Phi P'</math>的意思是把<math>P'</math>的每一行按照<math>\Phi</math>抄写到对应的微观状态的行中，所以，我们会发现<math>\Phi P'</math>和<math>P \Phi</math>的结果是一样的。
 ===一致性Consistency===
@@ 第376行： / 第386行： @@
 回到上面基于成块划分做的粗粒化过程与HOM等价的推断，我们就能得出，'''根据成块性而做的粗粒化，构建的宏观网络和微观网络也是保持一致的。'''
 ==成块性概念的变种==
@@ 第565行： / 第577行： @@
 比例成块 Proportional < 准成块 Quasi < 弱成块 Weak < 精准成块 Exact < 强成块 Strong/Ordinary < 严格成块 Strict
 ==成块性和粗粒化==

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第65行：		第65行：
	'''2. 转移概率(transition probability)，即式子(1.3)（或式子(2)），对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致，从而我们能够得出宏观的概率转移矩阵<math>P' = \Phi^T P (\Phi^T)^{-1} = \Phi^T P \Phi^{\dagger} = \Phi^T P \Phi (\Phi^T \Phi)^{-1}</math>'''		'''2. 转移概率(transition probability)，即式子(1.3)（或式子(2)），对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致，从而我们能够得出宏观的概率转移矩阵<math>P' = \Phi^T P (\Phi^T)^{-1} = \Phi^T P \Phi^{\dagger} = \Phi^T P \Phi (\Phi^T \Phi)^{-1}</math>'''

−	其中，因为<math>\Phi</math>~~不是方阵，所以我们定义~~<math>\Phi^{\dagger}</math>为<math>\Phi</math>~~的伪逆，满足~~<math>\Phi \Phi^{\dagger} \Phi = \Phi</math>。另外，<math>\Phi^T \Phi</math>是一个对角阵，对角线上的元素为每个<math>A_i</math>包括了多少个微观状态的计数，而它的逆矩阵就是把对角线上的元素全部取倒数。	+	其中，因为<math>\Phi</math>不是方阵，我们定义<math>\Phi^{\dagger}</math>为<math>\Phi</math>的伪逆矩阵，满足<math>\Phi \Phi^{\dagger} \Phi = \Phi</math>。另外，<math>\Phi^T \Phi</math>是一个对角阵，对角线上的元素为每个<math>A_i</math>包括了多少个微观状态的计数，而它的逆矩阵就是把对角线上的元素全部取倒数。

@@ 第65行： / 第65行： @@
 '''2. 转移概率(transition probability)，即式子(1.3)（或式子(2)），对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致，从而我们能够得出宏观的概率转移矩阵<math>P' = \Phi^T P (\Phi^T)^{-1} = \Phi^T P \Phi^{\dagger} = \Phi^T P \Phi (\Phi^T \Phi)^{-1}</math>'''
-[[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|图2：对成块的和不成块的矩阵做粗粒化|替代=|600x600像素]]不满足上述两个条件的，都不被定义为成块的划分。也就是说，不是所有的简化过程都是成块的，即使他们的命名方式（lumpable process v.s. lumped process）相似。
+其中，因为<math>\Phi</math>不是方阵，所以我们定义<math>\Phi^{\dagger}</math>为<math>\Phi</math>的伪逆，满足<math>\Phi \Phi^{\dagger} \Phi = \Phi</math>。另外，<math>\Phi^T \Phi</math>是一个对角阵，对角线上的元素为每个<math>A_i</math>包括了多少个微观状态的计数，而它的逆矩阵就是把对角线上的元素全部取倒数。
 从图（2）的成块划分的例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，成块的动力学TPM可以找到一个简化过程，而这个简化过程是满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致的。也就是说，无论<math>s^{(t)}</math>是什么，<math>\{ s^{(t)}, s^{(t+1)} \}</math>投影到宏观空间上的<math>\{ A^{(t)}, A^{(t+1)} \}</math>的<math> P( A^{(t+1)} | A^{(t)} )</math>都保持一致。

@@ 第63行： / 第63行： @@
 '''1. 定义1中式子(1)描述的简化过程具有马尔科夫性，即式子(1.3)可写成'''{{NumBlk|:|<math>Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... ,  s^{(1)} \in A_j,  s^{(0)} \in A_i \right ] = Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k \right ]</math>|{{EquationRef|2}}}}
-'''2. 转移概率(transition probability)，即式子(1.3)，对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致，从而我们能够得出宏观的概率转移矩阵<math>P' = \Phi^T P (\Phi^T)^{-1} = \Phi^T P \Phi^{\dagger} = \Phi^T P \Phi (\Phi^T \Phi)^{-1}</math>'''
+'''2. 转移概率(transition probability)，即式子(1.3)（或式子(2)），对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致，从而我们能够得出宏观的概率转移矩阵<math>P' = \Phi^T P (\Phi^T)^{-1} = \Phi^T P \Phi^{\dagger} = \Phi^T P \Phi (\Phi^T \Phi)^{-1}</math>'''
 [[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|图2：对成块的和不成块的矩阵做粗粒化|替代=|600x600像素]]不满足上述两个条件的，都不被定义为成块的划分。也就是说，不是所有的简化过程都是成块的，即使他们的命名方式（lumpable process v.s. lumped process）相似。