SVD定理 - 版本历史

相信未来：已将重定向目标从SVD分解更改为奇异值分解（SVD）

2024-12-14T08:32:51Z

已将重定向目标从SVD分解更改为奇异值分解（SVD）

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2024年12月14日 (六) 08:28 相信未来

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奇异值分解定理
（重定向自 SVD定理、矩阵奇异值分解）

奇异值分解定理（Singular Value Decomposition Theorem，简称SVD定理）是线性代数中的一个基本定理，它揭示了任意矩阵的几何本质。

几何解释
从几何角度来看，对于任意线性映射 <math>T: K^n \to K^m</math>，我们总能找到 <math>K^n</math> 和 <math>K^m</math> 的规范正交基，使得：

<math>T</math> 将 <math>K^n</math> 中的第 <math>i</math> 个基向量映射到 <math>K^m</math> 中第 <math>i</math> 个基向量的非负实数倍
剩余的基向量被映射到零向量
形式表述
任意矩阵 <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> 可以分解为：

<math>A = U\Sigma V^T</math>

其中：

<math>U \in \mathbb{R}^{m \times m}</math> 是正交矩阵
<math>V \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> 是正交矩阵
<math>\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> 是对角矩阵，对角线上的元素 <math>\sigma_i</math> 称为奇异值，且满足 <math>\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_r \geq 0</math>
重要性质

奇异值 <math>\sigma_i</math> 是唯一的
矩阵 <math>A</math> 的秩等于非零奇异值的个数
<math>U</math> 的列向量称为左奇异向量
<math>V</math> 的列向量称为右奇异向量

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−	~~几何解释~~
−	~~从几何角度来看，对于任意线性映射 <math>T: K^n \to K^m</math>，我们总能找到 <math>K^n</math> 和 <math>K^m</math> 的规范正交基，使得：~~
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−	~~剩余的基向量被映射到零向量~~
−	~~形式表述~~
−	~~任意矩阵 <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> 可以分解为：~~
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−	~~<math>A = U\Sigma V^T</math>~~
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−	~~其中：~~
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−	~~<math>U \in \mathbb{R}^{m \times m}</math> 是正交矩阵~~
−	~~<math>V \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> 是正交矩阵~~
−	<math>\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> 是对角矩阵，对角线上的元素 <math>\sigma_i</math> 称为奇异值，且满足 <math>\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_r \geq 0</math>
−	~~重要性质~~
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−	~~奇异值 <math>\sigma_i</math> 是唯一的~~
−	~~矩阵 <math>A</math> 的秩等于非零奇异值的个数~~
−	~~<math>U</math> 的列向量称为左奇异向量~~
−	~~<math>V</math> 的列向量称为右奇异向量~~

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	奇异值分解定理（Singular Value Decomposition Theorem，简称SVD定理）是线性代数中的一个基本定理，它揭示了任意矩阵的几何本质。		奇异值分解定理（Singular Value Decomposition Theorem，简称SVD定理）是线性代数中的一个基本定理，它揭示了任意矩阵的几何本质。

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