WholeMinusSum - 版本历史

黄芸：/* 应用案例 */

2026-10-27T00:26:52Z

应用案例

黄芸：/* 信息分解框架下的分析 */

2026-10-27T00:05:43Z

信息分解框架下的分析

黄芸：/* 应用案例 */

2026-10-12T09:18:21Z

应用案例

黄芸：/* 应用案例 */

2026-10-12T09:16:02Z

应用案例

黄芸：/* 应用案例 */

2026-10-12T09:02:43Z

应用案例

黄芸：/* 应用案例 */

2026-10-12T08:58:41Z

应用案例

黄芸：/* 应用案例 */

2026-10-12T08:50:56Z

应用案例

黄芸：/* 应用案例 */

2026-10-12T08:41:18Z

应用案例

黄芸：/* 定义 */

2026-10-12T08:21:34Z

定义

黄芸：/* 定义 */

2026-10-12T08:10:31Z

定义

@@ 第194行： / 第194行： @@
 =应用案例=
-AND
+AND（逻辑与）
 CI(S : X; Y)

←上一版本		2026年10月27日 (二) 00:05的版本
第184行：		第184行：

	=信息分解框架下的分析=		=信息分解框架下的分析=
		+	Williams 和 Beer 提出了部分信息框架（partial information framework）。基本思想是构造这样一个分解：第一步：纯粹用一个测量共享信息的函数 <math>$I_\cap(S : X_1; \ldots ; X_n)$</math> 来测量包含在<math> $X_1, \ldots, X_n$ 中关于 $S$ </math>的冗余信息。显然，这样的函数应该对 $X_1, \ldots, X_n$ 的排列是对称的。
		+
		+	第二步：<math>$I_\cap$</math> 也被用来测量包含在原始随机变量的组合 <math>$A_1, \ldots, A_k$（即，$A_1, \ldots, A_k$ 是分量在 $\{X_1, \ldots, X_n\}$ 中的随机向量）中关于 $S$ 的冗余信息。</math> 此外，Williams 和 Beer 提出 $I_\cap$ 应该满足以下单调性性质： $$I_\cap(S : A_1; \ldots ; A_k; A_{k+1}) \leq I_\cap(S : A_1; \ldots ; A_k) \text{，如果存在某个 } i \leq k \text{ 使得 } A_i \subseteq A_{k+1} \text{，则取等号}$$ （其中包含关系 $A_i \subseteq A_{k+1}$ 意味着 $A_i$ 的任何分量也是 $A_{k+1}$ 的分量。）这个单调性性质表明，只需考虑 $A_1, \ldots, A_k$ 构成一个反链（antichain）的情况；即对所有 $i \neq j$，$A_i \not\subseteq A_j$。反链的集合按照以下关系被偏序： $$(B_1, \ldots, B_l) \preceq (A_1, \ldots, A_k) \quad \Longleftrightarrow \quad \text{对于每个 } j = 1, \ldots, k \text{，存在 } i \leq l \text{ 使得 } B_i \subseteq A_j$$ 并且，再次根据单调性性质，$I_\cap$ 是关于这个偏序的一个单调函数。这个偏序实际上使反链的集合成为一个格（lattice）。如果 $(B_1, \ldots, B_l) \preceq (A_1, \ldots, A_k)$，那么差值 $I_\cap(S : A_1; \ldots ; A_k) - I_\cap(S : B_1; \ldots ; B_l)$ 量化了包含在某个 $A_i$ 中但不包含在任何 $B_l$ 中的信息。
		+
		+	Williams 和 Beer 的思想可以总结为：所有信息都可以根据其包含在哪个反链内来进行分类。
		+
		+

	=应用案例=		=应用案例=

@@ 第205行： / 第205行： @@
 "2.1等式（5）"如下
 <math>MI(S : X_1|X_2) = UI(S : X_1 \setminus X_2) + CI(S : X_1; X_2) </math> <math>\tag{5}</math>
 共享信息（shared information）为 <math>\widetilde{SI}(S : X; Y) = \frac{3}{2} \log 2 - \frac{3}{4} \log 3 \approx 0.3113 \text{ bit}</math>，WMS 协同作用（synergy）为 <math>S_{WMS}(S : X; Y) \approx 0.1887 \text{ bit}</math>。
 另一方面，在 AND 情况下，联合概率分布 $p(s, x, y)$ 已经完全由边缘分布 $p(x, y)$, $p(s, y)$ 和 $p(s, x)$ 确定；也就是说，$\Delta_p^{(2)} = \{p\}$（参见例如 [10]）。因此，

@@ 第206行： / 第206行： @@
 <math>MI(S : X_1|X_2) = UI(S : X_1 \setminus X_2) + CI(S : X_1; X_2) </math> <math>\tag{5}</math>
 即使 $I_\cap$ 是非负的（作为信息量应该如此），函
 =其他相关指标=

@@ 第195行： / 第195行： @@
-其中<math>\widetilde{CI}</math> 出现在 （“3.2 Synergy from unique information“，来自【8】如下），再加上"2.2等式（5）"
+其中<math>\widetilde{CI}</math> 出现在 （“3.2 Synergy from unique information“，来自【8】如下），再加上"2.1等式（5）"
 在文献[8]中，有人提出使用如下函数作为协同作用的度量：
@@ 第203行： / 第203行： @@
 表示所有满足“对$(S,X)$和$(S,Y)$的边缘分布与$p$相同”的$S,X,Y$的联合分布构成的集合。
-"2.2等式（5）"如下
+"2.1等式（5）"如下
 <math>MI(S : X_1|X_2) = UI(S : X_1 \setminus X_2) + CI(S : X_1; X_2) </math> <math>\tag{5}</math>
 即使 $I_\cap$ 是非负的（作为信息量应该如此），函
 =其他相关指标=

@@ 第195行： / 第195行： @@
-其中<math>\widetilde{CI}</math> 出现在 （“3.2 Synergy from unique information“，来自【8】如下），再加上等式（5）
+其中<math>\widetilde{CI}</math> 出现在 （“3.2 Synergy from unique information“，来自【8】如下），再加上"2.2等式（5）"
-it was proposed to use the following function as a measure of synergy:
-CI(S : X; Y) = MI(S : X; Y)−min
+在文献[8]中，有人提出使用如下函数作为协同作用的度量：
-MIq(S : X; Y) (9)
+<math>\widetilde{CI}(S : X; Y) = MI(S : X; Y) - \min_{q \in \Delta_p} MI_q(S : X; Y) </math> <math>\tag{9} </math>
-q∈∆p
+其中：
-where:
+<math>\Delta_p = \left\{ q(s,x,y) \mid q(s,x) = p(s,x) \land q(s,y) = p(s,y) \right\} </math>
-∆p = {q(s,x,y) |q(s,x) = p(s,x) ∧q(s,y) = p(s,y)}
+表示所有满足“对$(S,X)$和$(S,Y)$的边缘分布与$p$相同”的$S,X,Y$的联合分布构成的集合。
-denotes the set of all joint distribut
 =其他相关指标=

@@ 第193行： / 第193行： @@
 <math>\widetilde{CI}(S : X; Y) = MI(S : X | Y) = \frac{1}{2} \log 2 = 0.5 \text{ bit}
 </math>
 =其他相关指标=

←上一版本		2026年10月12日 (一) 08:41的版本
第186行：		第186行：

	=应用案例=		=应用案例=
		+
		+	AND
		+
		+	CI(S : X; Y)
		+
		+	<math>\widetilde{CI}(S : X; Y) = MI(S : X \| Y) = \frac{1}{2} \log 2 = 0.5 \text{ bit}
		+	</math>

	=其他相关指标=		=其他相关指标=

←上一版本		2026年10月12日 (一) 08:21的版本
第156行：		第156行：
	！！！！！！I∩ 是“总共多少”，I∂ 是“独有多少”。$I_\partial$ 由 $I_\cap$ 通过莫比乌斯变换反推得到，就像从累计里程算出每天跑量。		！！！！！！I∩ 是“总共多少”，I∂ 是“独有多少”。$I_\partial$ 由 $I_\cap$ 通过莫比乌斯变换反推得到，就像从累计里程算出每天跑量。

		+
		+	节点 4：{X₁; X₂}（两个单独变量）
		+
		+	这个节点表示“X₁ 和 X₂ 各自单独提供的信息中，重复的那部分”，也就是冗余信息：
		+	$$I_\cap(S : X_1; X_2) = SI(S : X_1; X_2)$$
		+
		+	最底层：{X₁; X₂}
		+
		+	这个节点下面没有别的节点了，所以：
		+	$$I_\partial(S : X_1; X_2) = I_\cap(S : X_1; X_2) = SI(S : X_1; X_2)$$
	——————————————		——————————————

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第153行：		第153行：
	即使 $I_\cap$ 是非负的（作为信息量应该如此），函数 $I_\partial$ 也是非负的可能并不明显。这个额外的要求在 [5] 中被称为局部正性（local positivity）。		即使 $I_\cap$ 是非负的（作为信息量应该如此），函数 $I_\partial$ 也是非负的可能并不明显。这个额外的要求在 [5] 中被称为局部正性（local positivity）。

		+
		+	！！！！！！I∩ 是“总共多少”，I∂ 是“独有多少”。$I_\partial$ 由 $I_\cap$ 通过莫比乌斯变换反推得到，就像从累计里程算出每天跑量。

	——————————————		——————————————