Wilson-Cowan模型 - 版本历史

Matthew：按升级版百科写作规范修订：理顺群体与速率约定，解释兴奋—抑制反馈、稳定性与双稳态，完善案例、术语释义和交叉链接，补全图注来源；保留11个编号公式、两张数值图及6篇文献。

2026-10-13T02:25:48Z

按升级版百科写作规范修订：理顺群体与速率约定，解释兴奋—抑制反馈、稳定性与双稳态，完善案例、术语释义和交叉链接，补全图注来源；保留11个编号公式、两张数值图及6篇文献。

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Matthew：/* 稳定响应与持续振荡 */

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稳定响应与持续振荡

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数值仿真与典型结果

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群体活动与建模假设

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历史溯源

Matthew：按FHN与鲁尔科夫映射结构撰写完整词条：补充方程、稳定性、群体振荡、双稳态、空间与网络推广、6篇文献及2张原创数值图

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按FHN与鲁尔科夫映射结构撰写完整词条：补充方程、稳定性、群体振荡、双稳态、空间与网络推广、6篇文献及2张原创数值图

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Wilson--Cowan model

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 <div style="clear:both;"></div>
-<math>P=1</math> 时，平衡活动约为 <math>(E_*,I_*)=(0.08204,0.03994)</math>，[[雅可比矩阵]]的一对[[特征值]]实部为负，[[轨迹]]最终收敛。<math>P=2</math> 时，唯一平衡点约为 <math>(0.27904,0.22977)</math>，其特征值实部为正；给定初值的轨迹经过[[暂态]]后进入持续振荡。在 <math>t=100</math> 至 <math>200</math> 内，[[兴奋活动]]约在 <math>0.01493</math> 与 <math>0.93400</math> 之间变化，周期约为 <math>14.93</math> 个无量纲时间单位。图中[[抑制活动]]的峰值晚于兴奋活动，体现[[反馈招募]]的过程。
+<math>P=1</math> 时，平衡活动约为 <math>(E_*,I_*)=(0.08204,0.03994)</math>，[[雅可比矩阵]]的一对[[特征值]]实部为负，[[轨迹]]最终收敛。<math>P=2</math> 时，唯一平衡点约为 <math>(0.27904,0.22977)</math>，其特征值实部为正；给定初值的轨迹经过[[暂态]]后进入持续振荡。在 <math>t=100</math> 至 <math>200</math> 内，[[兴奋活动]]约在 <math>0.01493</math> 与 <math>0.93400</math> 之间变化，周期约为 <math>14.93</math> 个无量纲时间单位。图中抑制活动的峰值晚于兴奋活动，体现了兴奋性群体驱动抑制性群体、后者再反馈抑制兴奋活动的过程。
 === [[双稳态]]与[[平衡解分支]] ===

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 空间版本可以研究局部刺激怎样形成传播波，以及抑制怎样限制响应的空间范围。Cowan 等人讨论了弱刺激引发衰减传播、较强刺激引发局部响应的模型机制；随机版本则进一步描述有限数量细胞的活动波动及群体之间的相关性<ref name="Cowan2016" />。这些扩展分别对应“活动在哪里传播”和“平均活动周围怎样波动”两个不同问题。
-== 数值仿真与典型结果 ==
+== [[数值仿真]]与典型结果 ==
-以下两张图由式（1）、（3）、（4）直接计算生成，属于原创教学性数值示例。它们使用可重复的确定性参数，展示方程允许的动力学行为。共同参数为 <math>a_E=a_I=1</math>、<math>\theta_E=\theta_I=4</math>、<math>\tau_E=1</math>、<math>\tau_I=3</math>、<math>w_{EE}=12</math>、<math>w_{IE}=10</math>、<math>w_{II}=0</math>、<math>Q=0</math>；全部变量和时间均无量纲。
+以下两张图由式（1）、（3）、（4）直接计算生成。它们使用可重复的[[确定性参数]]，展示方程允许的[[动力学行为]]。共同参数为 <math>a_E=a_I=1</math>、<math>\theta_E=\theta_I=4</math>、<math>\tau_E=1</math>、<math>\tau_I=3</math>、<math>w_{EE}=12</math>、<math>w_{IE}=10</math>、<math>w_{II}=0</math>、<math>Q=0</math>；全部变量和时间均[[无量纲]]。
 {| class="wikitable"
 ! 示例 !! <math>w_{EI}</math> !! <math>P</math> !! 初值 <math>(E_0,I_0)</math> !! 结果
 |-
-| 图1左列 || 10 || 1 || (0.1, 0.1) || 阻尼响应后趋于稳定平衡态
+| 图1左列 || 10 || 1 || (0.1, 0.1) || [[阻尼响应]]后趋于[[稳定平衡态]]
 |-
-| 图1右列 || 10 || 2 || (0.1, 0.1) || 持续群体振荡
+| 图1右列 || 10 || 2 || (0.1, 0.1) || [[持续群体振荡]]
 |-
-| 图2右图 || 2 || 0 || (0.08, 0.08) 或 (0.8, 0.8) || 分别趋于低活动态和高活动态
+| 图2右图 || 2 || 0 || (0.08, 0.08) 或 (0.8, 0.8) || 分别趋于[[低活动态]]和[[高活动态]]
 |}
 === 稳定响应与持续振荡 ===
-[[文件:WilsonCowan_oscillation_20261011.png|thumb|left|650px|图1：同一组连接权重下，改变恒定输入产生的时间响应与相平面轨迹。（a）、（b）蓝实线为兴奋活动 <math>E</math>，橙虚线为抑制活动 <math>I</math>；（c）、（d）蓝线与橙虚线分别为两条零倾线，黑线为轨迹，实心点为稳定平衡点，空心点为不稳定平衡点。灰箭头只表示运动方向。左列坐标放大以显示阻尼过程；右下图的黑色闭合轨迹取 <math>t=100</math> 至 <math>200</math>，灰点线显示此前的暂态。参数见本节表格。图源：杨明哲依据本文方程计算绘制，CC BY-SA 3.0。]]
+[[文件:WilsonCowan_oscillation_20261011.png|thumb|left|650px|图1：同一组连接权重下，改变恒定输入产生的时间响应与相平面轨迹。（a）、（b）蓝实线为兴奋活动 <math>E</math>，橙虚线为抑制活动 <math>I</math>；（c）、（d）蓝线与橙虚线分别为两条零倾线，黑线为轨迹，实心点为稳定平衡点，空心点为不稳定平衡点。灰箭头只表示运动方向。左列坐标放大以显示阻尼过程；右下图的黑色闭合轨迹取 <math>t=100</math> 至 <math>200</math>，灰点线显示此前的暂态。参数见本节表格。]]
 <div style="clear:both;"></div>
-<math>P=1</math> 时，平衡活动约为 <math>(E_*,I_*)=(0.08204,0.03994)</math>，雅可比矩阵的一对特征值实部为负，轨迹最终收敛。<math>P=2</math> 时，唯一平衡点约为 <math>(0.27904,0.22977)</math>，其特征值实部为正；给定初值的轨迹经过暂态后进入持续振荡。在 <math>t=100</math> 至 <math>200</math> 内，兴奋活动约在 <math>0.01493</math> 与 <math>0.93400</math> 之间变化，周期约为 <math>14.93</math> 个无量纲时间单位。图中抑制活动的峰值晚于兴奋活动，体现反馈招募的过程。
+<math>P=1</math> 时，平衡活动约为 <math>(E_*,I_*)=(0.08204,0.03994)</math>，[[雅可比矩阵]]的一对[[特征值]]实部为负，[[轨迹]]最终收敛。<math>P=2</math> 时，唯一平衡点约为 <math>(0.27904,0.22977)</math>，其特征值实部为正；给定初值的轨迹经过[[暂态]]后进入持续振荡。在 <math>t=100</math> 至 <math>200</math> 内，[[兴奋活动]]约在 <math>0.01493</math> 与 <math>0.93400</math> 之间变化，周期约为 <math>14.93</math> 个无量纲时间单位。图中[[抑制活动]]的峰值晚于兴奋活动，体现[[反馈招募]]的过程。
-=== 双稳态与平衡解分支 ===
+=== [[双稳态]]与[[平衡解分支]] ===
 当 <math>w_{II}=0</math> 时，可用兴奋活动 <math>E</math> 参数化平衡解：
 {{NumBlk|:|<math>\begin{aligned}I(E)&=F_I(w_{IE}E+Q),\\P(E)&=\theta_E+\frac{1}{a_E}\ln\frac{E}{1-E}\\&\quad-w_{EE}E+w_{EI}I(E).\end{aligned}</math>|{{EquationRef|9}}}}
 这里 <math>0\lt E\lt1</math>。计算式（9）并用式（6）的特征值判断稳定性，可获得平衡解分支，而不是仅凭有限时间积分估计分支。
-[[文件:WilsonCowan_bistability_20261011.png|thumb|left|650px|图2：将抑制到兴奋的耦合改为 <math>w_{EI}=2</math> 后出现双稳态。（a）横轴为恒定输入偏置 <math>P</math>，纵轴为平衡兴奋活动；蓝实线稳定，灰虚线不稳定，空心圆为平衡分支折点。（b）固定 <math>P=0</math>，蓝实线和蓝虚线分别从低、高活动初值出发，收敛到不同稳定态。全部时间和活动无量纲，其余参数见本节。图源：杨明哲依据本文方程计算绘制，CC BY-SA 3.0。]]
+[[文件:WilsonCowan_bistability_20261011.png|thumb|left|650px|图2：将抑制到兴奋的耦合改为 <math>w_{EI}=2</math> 后出现双稳态。（a）横轴为恒定输入偏置 <math>P</math>，纵轴为平衡兴奋活动；蓝实线稳定，灰虚线不稳定，空心圆为平衡分支折点。（b）固定 <math>P=0</math>，蓝实线和蓝虚线分别从低、高活动初值出发，收敛到不同稳定态。全部时间和活动无量纲，其余参数见本节。]]
 <div style="clear:both;"></div>
-在 <math>P=0</math> 时，两个稳定平衡态的兴奋活动约为 <math>0.02240</math> 和 <math>0.99746</math>，中间存在兴奋活动约为 <math>0.32850</math> 的鞍点。两处折点的输入约为 <math>-2.61895</math> 和 <math>0.69763</math>；在它们之间，高、低活动稳定态共存。准静态地改变输入，即让每次输入变化后的状态充分松弛，可以沿稳定分支观察到跳转阈值不同的滞后过程。负的 <math>P</math> 表示输入偏置降低，其解释依赖背景输入的标定。
+在 <math>P=0</math> 时，两个稳定平衡态的兴奋活动约为 <math>0.02240</math> 和 <math>0.99746</math>，中间存在兴奋活动约为 <math>0.32850</math> 的[[鞍点]]。两处[[折点]]的输入约为 <math>-2.61895</math> 和 <math>0.69763</math>；在它们之间，高、低活动稳定态[[共存]]。[[准静态]]地改变输入，即让每次输入变化后的状态充分松弛，可以沿稳定分支观察到跳转阈值不同的[[滞后]]过程。负的 <math>P</math> 表示[[输入偏置]]降低，其解释依赖[[背景输入]]的标定。
 === 数值计算与结果判读 ===
-图中轨迹用自适应 RK45 方法积分，相对容差为 <math>10^{-9}</math>，绝对容差为 <math>10^{-11}</math>，最大步长为 <math>0.05</math>。将最大步长减半并收紧容差后，图1振荡在所检验时间区间内的活动差异小于 <math>2\times10^{-8}</math>。计算时应同时记录方程版本、响应函数、全部参数、初值、积分时长和舍去的暂态。
+图中轨迹用自适应 RK45 方法积分，[[相对容差]]为 <math>10^{-9}</math>，[[绝对容差]]为 <math>10^{-11}</math>，[[最大步长]]为 <math>0.05</math>。将最大步长减半并收紧容差后，图1振荡在所检验时间区间内的活动差异小于 <math>2\times10^{-8}</math>。计算时应同时记录方程版本、[[响应函数]]、全部参数、初值、积分时长和舍去的暂态。
-判读结果时，稳定性可由特征值支持，持续振荡需在足够长的时间窗内观察，双稳态需比较多个初值。周期统计应在暂态之后进行；扫描输入时，正向和反向扫描有助于发现滞后。若使用固定步长积分，还应减小步长检查结果是否保持，并确认活动没有因离散误差离开所选的物理范围。
+判读结果时，稳定性可由特征值支持，持续振荡需在足够长的时间窗内观察，双稳态需比较多个初值。周期统计应在暂态之后进行；扫描输入时，正向和反向扫描有助于发现滞后。若使用[[固定步长积分]]，还应减小步长检查结果是否保持，并确认活动没有因[[离散误差]]离开所选的[[物理范围]]。
 == 耦合与空间扩展 ==

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 == 模型概述 ==
-=== 群体活动与建模假设 ===
+=== [[群体活动]]与建模假设 ===
-局部模型把一个空间区域中的神经元分为兴奋性和抑制性两类，并用各类群体的平均活动概括内部大量细胞的响应。这种均场描述，是以总体平均作用代替逐个细胞之间的相互作用。其适用条件包括：所选群体内部的响应具有一定相似性；关心的时间尺度允许平滑单次放电；群体之间的有效连接可用少量参数表示<ref name="Wilson1972" />。
+[[局部模型]]把一个空间区域中的神经元分为[[兴奋性]]和[[抑制性]]两类，并用各类群体的平均活动概括内部大量细胞的响应。这种[[均场描述]]，是以总体平均作用代替逐个细胞之间的相互作用。其适用条件包括：所选群体内部的响应具有一定相似性；关心的时间尺度允许平滑单次放电；群体之间的[[有效连接]]可用少量参数表示<ref name="Wilson1972" />。
-<math>E</math> 和 <math>I</math> 都是标量。原始推导中的活动与单位时间内被激活的细胞比例及其时间平均有关；现代应用也常将它们解释为归一化的群体放电率。具体的单位、零点和最大活动值由所采用的版本决定。本文数值示例采用取值在 0 与 1 之间的无量纲速率形式。
+<math>E</math> 和 <math>I</math> 都是标量。原始推导中的活动与单位时间内被激活的细胞比例及其时间平均有关。现代应用也常将它们解释为[[归一化的群体放电率]]。
 === 含不应期的形式 ===

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 == 历史溯源 ==
-年，Wilson 与 Cowan 从局部神经元群体出发，把兴奋性与抑制性活动作为共同决定群体状态的两个变量。他们首先考虑神经元的响应阈值、不应期（一次放电后短时间内难以再次放电的阶段）以及过去活动对当前输入的影响，再通过时间粗粒化，即对短时间内的活动作平滑平均，得到便于相平面分析的微分方程。原论文用这一框架讨论了维持振荡和多重滞后等现象<ref name="Wilson1972" />。
+年，Wilson 与 Cowan 从局部[[神经元]]群体出发，把[[兴奋性与抑制性活动]]作为共同决定群体状态的两个变量。他们首先考虑神经元的[[响应阈值]]、[[不应期]]（一次放电后短时间内难以再次放电的阶段）以及过去活动对当前输入的影响，再通过[[时间粗粒化]]，即对短时间内的活动作平滑平均，得到便于[[相平面分析]]的[[微分方程]]。原论文用这一框架讨论了维持振荡和[[多重滞后]]等现象<ref name="Wilson1972" />。
-年，两位作者进一步将群体活动写成空间与时间的函数，考虑皮层和丘脑组织中随距离变化的侧向连接，形成了空间分布的模型<ref name="Wilson1973">{{cite journal|author1=Hugh R. Wilson|author2=Jack D. Cowan|title=A mathematical theory of the functional dynamics of cortical and thalamic nervous tissue|journal=Kybernetik|year=1973|volume=13|issue=2|pages=55–80|doi=10.1007/BF00288786|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF00288786}}</ref>。此后，Wilson–Cowan 方程成为群体模型和[[神经场]]的重要基础。2016 年 Cowan 等人的文章总结了确定性、空间分布及随机版本之间的联系<ref name="Cowan2016">{{cite journal|author1=Jack D. Cowan|author2=Jeremy Neuman|author3=Wim van Drongelen|title=Wilson–Cowan Equations for Neocortical Dynamics|journal=The Journal of Mathematical Neuroscience|year=2016|volume=6|pages=1|doi=10.1186/s13408-015-0034-5|url=https://link.springer.com/article/10.1186/s13408-015-0034-5}}</ref>。
+年，两位作者进一步将群体活动写成空间与时间的函数，考虑皮层和丘脑组织中随距离变化的[[侧向连接]]，形成了空间分布的模型<ref name="Wilson1973">{{cite journal|author1=Hugh R. Wilson|author2=Jack D. Cowan|title=A mathematical theory of the functional dynamics of cortical and thalamic nervous tissue|journal=Kybernetik|year=1973|volume=13|issue=2|pages=55–80|doi=10.1007/BF00288786|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF00288786}}</ref>。此后，Wilson–Cowan 方程成为[[群体模型]]和[[神经场]]的重要基础。2016 年 Cowan 等人的文章总结了确定性、空间分布及[[随机版本]]之间的联系<ref name="Cowan2016">{{cite journal|author1=Jack D. Cowan|author2=Jeremy Neuman|author3=Wim van Drongelen|title=Wilson–Cowan Equations for Neocortical Dynamics|journal=The Journal of Mathematical Neuroscience|year=2016|volume=6|pages=1|doi=10.1186/s13408-015-0034-5|url=https://link.springer.com/article/10.1186/s13408-015-0034-5}}</ref>。
 == 模型概述 ==