度分布

在图 Graphs和网络 Networks的研究领域，网络节点的度是它与其他节点的连接数，而度分布就是整个网络中这些度的概率分布。

定义

网络中一个节点的度(有时会被误认为连通性)是该节点与其他节点的连接或边的数量。如果网络是有向的，它的边就可能沿着不同方向从一个节点指向另一个节点，那么这些节点们就会有两个不同的度，一个度表示入射边的数量，另一个度表示出射边的数量。

度分布P(k)定义是：网络中度值为k的所有节点与总节点数量的分数比值，如果一个网络中有n个节点，且其中n_k个节点的度值为k，那么 P(k) = n_k/n。

度分布的定义也可以用累积度分布函数 Cumulative Degree Distribution（随机选择一个节点，其度值小于k的概率）的形式来表示，或是用互补累积度分布函数 Complementary Cumulative Degree Distribution（如果把C看作累积度分布，那么该函数为度大于或等于k (1 - C)的节点比例）的形式表示，这一定义与积累度分布互补。

观察度分布

度分布无论是在研究真实网络(如互联网和社会网络)中还是在理论网络中都非常重要。以最简单的网络模型(Erdős–Rényi 模型)w 随机图 Random Graph为例，它的每n个节点都以概率p (或1 − p)独立连接(或不独立连接) ，其中二项分布 Binomial Distribution的度值为k:

[math]\displaystyle{ P(k) = {n-1\choose k} p^k (1 - p)^{n-1-k}, }[/math]

(即使平均度\langle k\rangle=p(n-1)</math>保持不变，也会出现有限节点的泊松分布)。现实世界中的大多数网络的度分布却往往与上述分布非常不同，它们的大多数节点是高度右倾的，这就意味着这些节点的度值较低，但少数节点，即所谓的“枢纽” ，度值较高。一些网络，尤其是互联网、万维网和一些社交网络，被认为具有近似遵循幂定律的幂律分布:[math]\displaystyle{ P(k)\sim k^{-\gamma} }[/math]

其中γ是一个常数。这种网络被称为无标度网络 Scale-Free Networks，它因其结构和动力学性质而引起人们的重视。然而，最近有一些基于真实数据的研究表明，尽管大多数观测到的网络具有肥尾（头轻脚重？末端过于繁琐？不是很清楚）度分布 Fat-Tailed Degree Distributions，但它们无标度分布的特点并不明显。

超额度分布

超额度分布 Excess Degree Distribution的定义是：沿着一条边到达该节点的其他边的数量的概率分布。换句话说，它是通过跟随链接从一个节点到达的其传出链接的分布。

假设一个网络具有度分布[math]\displaystyle{ P(k) }[/math],通过选择一个节点(随机或非随机)跟随它的一个邻近点(假设至少有一个邻近点），那么该节点具有[math]\displaystyle{ k }[/math] 个邻近点的概率不是由[math]\displaystyle{ P(k) }[/math].给出的。造成这一结果的原因在于，无论何时在异质网络中选择某个节点，它都更有可能通过跟随该节点的某个现有邻点到达枢纽节点。这些节点具有度[math]\displaystyle{ k }[/math]的真实概率是[math]\displaystyle{ q(k) }[/math]，它被称为该节点的超额度。在配置模型 Configuration Model中，忽略节点之间的相关性，并假定每个节点以相同的概率连接到网络中的其他任何节点，超额度分布表示为:

[math]\displaystyle{ q(k) = \frac{k+1}{\langle k \rangle}P(k+1), }[/math]

这里[math]\displaystyle{ {\langle k \rangle} }[/math] 是模型的平均度。由此可知，任何节点的邻近点的平均度大于该节点的平均度。推广到在社交网络络中，这意味着你的朋友平均比你拥有更多的朋友。这就是著名的友谊悖论 Friendship Paradox。可以证明，如果一个网络的平均超额度大于1，那么它可以有一个巨大的联通子网络:

[math]\displaystyle{ \sum_k kq(k) \gt 1 \Rightarrow {\langle k^2 \rangle}-2{\langle k \rangle}\gt 0 }[/math]

要注意的是，最后两个方程只适用于配置模型，想要准确推导出实词网络的超额度分布，还应考虑度相关性。

函数生成方法

生成函数可以用来计算随机网络的不同性质。给定某些网络的度分布和超度分布，[math]\displaystyle{ P(k) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ q(k) }[/math]可以以下列形式写出两个幂级数:

[math]\displaystyle{ G_0(x) = \textstyle \sum_{k} \displaystyle P(k)x^k }[/math] and [math]\displaystyle{ G_1(x) = \textstyle \sum_{k} \displaystyle q(k)x^k = \textstyle \sum_{k} \displaystyle \frac{k}{\langle k \rangle}P(k)x^{k-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ G_1(x) }[/math] 的值也可得出通过 [math]\displaystyle{ G_0(x) }[/math]的导数:

[math]\displaystyle{ G_1(x) = \frac{G'_0(x)}{G'_0(1)} }[/math]

如果已知生成函数的一个概率分布，我们就能通过运算检验得到[math]\displaystyle{ P(k) }[/math]的值：

[math]\displaystyle{ P(k) = \frac{1}{k!} {\operatorname{d}^k\!G\over\operatorname{d}\!x^k}\biggl \vert _{x=0} }[/math]

一些性质，例如，即时性。然后，可以很容易地进行计算依据[math]\displaystyle{ G_0(x) }[/math] 和它的导数:

• [math]\displaystyle{ {\langle k \rangle} = G'_0(1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ {\langle k^2 \rangle} = G''_0(1) + G'_0(1) }[/math]

一般来说:

• [math]\displaystyle{ {\langle k^m \rangle} = \Biggl[{\bigg(\operatorname{x}{\operatorname{d}\!\over\operatorname{dx}\!}\biggl)^m}G_0(x)\Biggl]_{x=1} }[/math]

对于泊松分布的随机网络，如 ER 图，[math]\displaystyle{ G_1(x) = G_0(x) }[/math]这就是这种类型的随机网络理论特别简单的原因。第一和第二邻近点的概率分布是由函数[math]\displaystyle{ G_0(x) }[/math] 和[math]\displaystyle{ G0(G1(x)) }[/math]生成的。进一步扩展，[math]\displaystyle{ m }[/math]-th的邻近点的分布是由以下几个因素产生的:

[math]\displaystyle{ G_0\bigl(G_1(...G_1(x)...)\bigr) }[/math], 以[math]\displaystyle{ m-1 }[/math] 迭代到 [math]\displaystyle{ G_1 }[/math] 函数本身。第一邻边内点的平均数量[math]\displaystyle{ c_1 }[/math]是 [math]\displaystyle{ {\langle k \rangle} = {dG_0(x)\over dx}|_{x=1} }[/math] 第二邻边内点的平均数量是: [math]\displaystyle{ c_2 = \biggl[ {d\over dx}G_0\big(G_1(x)\big)\biggl]_{x=1} = G_1'(1)G'_0\big(G_1(1)\big) = G_1'(1)G'_0(1) = G''_0(1) }[/math]

有向网络的度分布

图1：In/out degree distribution for Wikipedia's hyperlink graph (logarithmic scales) 维基百科超链接图(对数尺度)的入/出度分布

在有向网络中，每个节点都有一些入度[math]\displaystyle{ k_{ in} }[/math] 和一些出度[math]\displaystyle{ k_{out} }[/math]，分别指代指向该节点的边的数量和从该节点指出的边的数量。如果 [math]\displaystyle{ P(k_{in}, k_{out}) }[/math] 是一个随机选择的具有入出度的节点的可能性。那么分配给这个生成函数的联合概率分布 Joint Probability Distribution可以被写成两个变量 [math]\displaystyle{ x }[/math] 和 [math]\displaystyle{ y }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{G}(x,y) = \sum_{k_{in},k_{out}} \displaystyle P({k_{in},k_{out}})x^{k_{in}}y^{k_{out}} . }[/math]

由于有向网络中的每个链路必须离开某个节点并进入另一个节点，因此进入一个节点的链路的净平均数是零。所以,

[math]\displaystyle{ \langle{k_{in}-k_{out}}\rangle =\sum_{k_{in},k_{out}} \displaystyle (k_{in}-k_{out})P({k_{in},k_{out}}) = 0 }[/math],

这意味着，生成函数必须满足:

[math]\displaystyle{ {\partial \mathcal{G}\over\partial x}\vert _{x,y=1} = {\partial \mathcal{G}\over\partial y}\vert _{x,y=1} = c, }[/math]

[math]\displaystyle{ c }[/math]是网络中节点的平均度(内部和外部)[math]\displaystyle{ \langle{k_{in}}\rangle = \langle{k_{out}}\rangle = c. }[/math]

使用函数[math]\displaystyle{ \mathcal{G}(x,y) }[/math]如上文所述，我们可以再次找到入/出度分布和入/出超量度分布的生成函数。可以将[math]\displaystyle{ G^{in}_0(x) }[/math]设为一个随机选择的节点上到达的链接数的生成函数，以及 [math]\displaystyle{ G^{in}_1(x) }[/math]可以设为按照随机选择的链接到达一个节点的到达链接数。我们也可以构造函数 [math]\displaystyle{ G^{out}_0(y) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ G^{out}_1(y) }[/math]表示离开节点的边的数量:

• [math]\displaystyle{ G^{in}_0(x) = \mathcal{G}(x,1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ G^{in}_1(x) = \frac{1}{c} {\partial \mathcal{G}\over\partial x}\vert _{y=1} }[/math]
• [math]\displaystyle{ G^{out}_0(y) = \mathcal{G}(1,y) }[/math]
• [math]\displaystyle{ G^{out}_1(y) = \frac{1}{c} {\partial \mathcal{G}\over\partial y}\vert _{x=1} }[/math]

这里，第一邻边内点的平均数量math> c </math>，或者像之前表示的[math]\displaystyle{ c_1 }[/math]是 [math]\displaystyle{ {\partial \mathcal{G}\over\partial x}\biggl \vert _{x,y=1} = {\partial \mathcal{G}\over\partial y}\biggl \vert _{x,y=1} }[/math]从一个随机选择的节点上可达到的第二邻边内的点的平均数是[math]\displaystyle{ c_2 = G_1'(1)G'_0(1) ={\partial^2 \mathcal{G}\over\partial x\partial y}\biggl \vert _{x,y=1} }[/math]. 这些是从随机选择的节点所达到第一和第二邻近点的数量，因为这些方程显然是在[math]\displaystyle{ x }[/math]和 [math]\displaystyle{ y }[/math]上对称的。

参见

• 图论 Graph Theory

• 复杂网络 Complex Network

• 无标度网络 Scale-free Network

• 随机网络 Random Graph

• 结构截止值 Structural Cut-off

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