“随机图”的版本间的差异
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| − | 在数学领域中，'''随机图 Random Graph'''是指图上的概率分布的一般术语。随机图可以简单地用概率分布表示，也可以用生成它们的随机过程表示<ref name = "Random Graphs">{{cite book|first=Béla|last=Bollobás|title=Random Graphs|edition=2nd|year=2001|publisher=Cambridge University Press}}</ref><ref name = "Introduction to Random graphs>{{cite book|first1=Alan|last1=Frieze|first2=Michal|last2=Karonski|title=Introduction to Random Graphs|year=2015|publisher=Cambridge University Press}}</ref>。随机图的理论处于图论和概率论的交汇点上。从数学的角度来看，随机图可以用来回答有关典型图的性质的问题。在所有需要对复杂网络进行建模的领域都能看到它的实际应用——由于它反映了在不同领域遇到的不同类型的复杂网络，许多随机图模型就此被人们所熟知。在数学上，随机图几乎完全指的是 '''Erdős-Rényi 随机图模型 | + | 在数学领域中，'''[[随机图]] [[Random Graph]]'''是指图上的概率分布的一般术语。随机图可以简单地用概率分布表示，也可以用生成它们的随机过程表示<ref name = "Random Graphs">{{cite book|first=Béla|last=Bollobás|title=Random Graphs|edition=2nd|year=2001|publisher=Cambridge University Press}}</ref><ref name = "Introduction to Random graphs>{{cite book|first1=Alan|last1=Frieze|first2=Michal|last2=Karonski|title=Introduction to Random Graphs|year=2015|publisher=Cambridge University Press}}</ref>。随机图的理论处于图论和概率论的交汇点上。从数学的角度来看，随机图可以用来回答有关典型图的性质的问题。在所有需要对复杂网络进行建模的领域都能看到它的实际应用——由于它反映了在不同领域遇到的不同类型的复杂网络，许多随机图模型就此被人们所熟知。在数学上，随机图几乎完全指的是 '''Erdős-Rényi 随机图模型'''。在其他情况下，任何图形模型都可以称为随机图。 |
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在 <math>v</math> 中，给定任何 ''n + ''m'' 个元素，<math>a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_m\</math> 中有一个顶点 ''c''，它与每个 <math>a_1,\ldots,a_n</math> 相邻，并且不与任何 <math>b_1,\ldots,b_m</math> 相邻。 | 在 <math>v</math> 中，给定任何 ''n + ''m'' 个元素，<math>a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_m\</math> 中有一个顶点 ''c''，它与每个 <math>a_1,\ldots,a_n</math> 相邻，并且不与任何 <math>b_1,\ldots,b_m</math> 相邻。 | ||
| − | 结果表明，如果顶点集是可数的，那么在'''同构 Isomorphism'''意义下，只有一个图具有这个性质，即 Rado 图。因此，任何可数无限随机图几乎可以肯定是 Rado 图，由于这个原因，有时被简称为随机图。然而，对于'''不可数图 Uncountable Graph'''类似的结果是不正确的，不可数图中有许多''' | + | 结果表明，如果顶点集是可数的，那么在'''同构 Isomorphism'''意义下，只有一个图具有这个性质，即 Rado 图。因此，任何可数无限随机图几乎可以肯定是 Rado 图，由于这个原因，有时被简称为随机图。然而，对于'''不可数图 Uncountable Graph'''类似的结果是不正确的，不可数图中有许多'''不同构图 Nonisomorphic Graph'''满足上述性质。 |
| − | 另一个模型，概括了吉尔伯特的随机图模型，是'''随机点积模型 Random Dot-product Model | + | 另一个模型，概括了吉尔伯特的随机图模型，是'''随机点积模型 Random Dot-product Model'''。一个'''随机点积图 Random Dot-product Graph''' 将每个顶点与一个实向量相关联。任意顶点 ''u'' 和 ''v'' 之间的边 ''uv'' 的概率是它们各自向量的点积 ''u'' · ''v'' 的某个函数。 |
'''网络转移矩阵 NetWork Probability Matrix'''通过边概率对随机图进行建模，这些边概率代表给定的边存在一个特定的时间段的概率。这个模型可以扩展到有向和无向，加权和无权，以及静态或动态的图形结构。 | '''网络转移矩阵 NetWork Probability Matrix'''通过边概率对随机图进行建模，这些边概率代表给定的边存在一个特定的时间段的概率。这个模型可以扩展到有向和无向，加权和无权，以及静态或动态的图形结构。 | ||
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==性质== | ==性质== | ||
| − | 随机图理论研究随机图的典型性质，即从特定分布中抽取的图的高概率性质。例如，我们可以要求一个给定的值 <math>n</math> 和 <math>p</math>来表示<math>G(n，p)</math> 连接的概率。在研究这些问题时，研究人员往往集中在随机图的趋近行为上——各种概率收敛到的值变得非常大。'''[[渗流理论]] Percolation Theory'''刻画了随机图，特别是无穷大图的'''连通性 Connectedness'''。 | + | 随机图理论研究随机图的典型性质，即从特定分布中抽取的图的高概率性质。例如，我们可以要求一个给定的值 <math>n</math> 和 <math>p</math>来表示<math>G(n，p)</math> 连接的概率。在研究这些问题时，研究人员往往集中在随机图的趋近行为上——各种概率收敛到的值变得非常大。'''[[渗流理论]] [[Percolation Theory]]'''刻画了随机图，特别是无穷大图的'''连通性 Connectedness'''。 |
| − | '''渗流 Percolation''' 与图形(也称为网络)的'''鲁棒性 Robustness'''有关。给定一个随机图形，其中的节点是 <math>n</math> 和一个平均度 <math>\langle k\rangle</math> 。接下来我们随机移除一部分概率为 <math>1-p</math> 的节点，只留下一部分概率为 <math>p</math> 的节点。存在一个'''临界渗透阈值 Critical Percolation Threshold'''<math>p_c=\tfrac{1}{\langle k\rangle}</math>，当低于这个临界渗透阈值，网络变得支离破碎，而高于临界渗透阈值 <math>p_c</math> 的网络则存在一个巨大的''连接元件 Connected Component'''(图论)<ref>{{cite book |title=Networks: An Introduction |last= Newman |first=M. E. J. |year= 2010 |publisher= Oxford}}</ref><ref>{{cite book |title= Complex Networks: Structure, Robustness and Function |authors= Reuven Cohen and [[Shlomo Havlin]] |year= 2010 |url= http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Havlin%20books_com_net.php |publisher= Cambridge University Press}}</ref>。 | + | '''[[渗流]] [[Percolation]]''' 与图形(也称为网络)的'''鲁棒性 Robustness'''有关。给定一个随机图形，其中的节点是 <math>n</math> 和一个平均度 <math>\langle k\rangle</math> 。接下来我们随机移除一部分概率为 <math>1-p</math> 的节点，只留下一部分概率为 <math>p</math> 的节点。存在一个'''临界渗透阈值 Critical Percolation Threshold'''<math>p_c=\tfrac{1}{\langle k\rangle}</math>，当低于这个临界渗透阈值，网络变得支离破碎，而高于临界渗透阈值 <math>p_c</math> 的网络则存在一个巨大的''连接元件 Connected Component'''(图论)<ref>{{cite book |title=Networks: An Introduction |last= Newman |first=M. E. J. |year= 2010 |publisher= Oxford}}</ref><ref>{{cite book |title= Complex Networks: Structure, Robustness and Function |authors= Reuven Cohen and [[Shlomo Havlin]] |year= 2010 |url= http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Havlin%20books_com_net.php |publisher= Cambridge University Press}}</ref>。 |
| − | '''局部渗滤 Localized Percolation'''指的是去除一个节点的邻居、次近邻等。直到网络中概率为 <math>1-p</math> | + | '''局部渗滤 Localized Percolation'''指的是去除一个节点的邻居、次近邻等。直到网络中概率为 <math>1-p</math> 的一部分节点被移除。结果表明，对于服从[[泊松分布]]的随机图，其度分布为 <math>p_c=\tfrac{1}{\langle k\rangle}</math> ，和随机删除是一样的。对于其他类型的度分布<math>p_c</math>，局部攻击和随机攻击是不同的。<ref name="ShaoHuang2015">{{cite journal|last1=Shao|first1=Shuai|last2=Huang|first2=Xuqing|last3=Stanley|first3=H Eugene|last4=Havlin|first4=Shlomo|title=Percolation of localized attack on complex networks|journal=New Journal of Physics|volume=17|issue=2|year=2015|pages=023049|issn=1367-2630|doi=10.1088/1367-2630/17/2/023049|arxiv=1412.3124|bibcode=2015NJPh...17b3049S}}</ref> |
''('''阈值函数 Threshold Functions''', <math>\tilde G</math> 的演化)'' | ''('''阈值函数 Threshold Functions''', <math>\tilde G</math> 的演化)'' | ||
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随机图在概率方法中得到了广泛的应用，它试图证明具有一定性质的图的存在性。通过 '''正则引理 Szemerédi Regularity Lemma'''，随机图上一个性质的存在常常意味着几乎所有图上该性质的存在。 | 随机图在概率方法中得到了广泛的应用，它试图证明具有一定性质的图的存在性。通过 '''正则引理 Szemerédi Regularity Lemma'''，随机图上一个性质的存在常常意味着几乎所有图上该性质的存在。 | ||
| − | 在随机正则图中，<math>G(n，r-reg)</math> 是 <math>r=r(n)</math>的<math>r-</math> | + | 在随机正则图中，<math>G(n，r-reg)</math> 是 <math>r=r(n)</math>的<math>r-</math>[[正则图]]的集合，其中 <math>n</math> 和 <math>m</math> 是自然数，<math>3 \le r<n </math> ，<math>rn = 2m</math> 是偶数。 |
在 <math>G^n</math> 中，图 <math>G</math> 的度序列仅取决于集合中的边数。 | 在 <math>G^n</math> 中，图 <math>G</math> 的度序列仅取决于集合中的边数。 | ||
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对于某些常数 <math>c</math> ，几乎所有带有 <math>n</math> 顶点和至少 <math>cn\log(n)</math> 边的标记图都是 '''哈密尔顿环 Hamiltonian Cycle'''的。在概率趋于1的情况下，将最小度增加到2的特殊边会使图成为哈密尔顿图。 | 对于某些常数 <math>c</math> ，几乎所有带有 <math>n</math> 顶点和至少 <math>cn\log(n)</math> 边的标记图都是 '''哈密尔顿环 Hamiltonian Cycle'''的。在概率趋于1的情况下，将最小度增加到2的特殊边会使图成为哈密尔顿图。 | ||
| − | 在图变换下，随机图的性质可以改变或保持不变。例如，Mashaghi A.等人证明了将随机图转换为其 '''边-对偶图 Edge-Dual Graphs'''(或 '''线图 Liner Graph''')的变换会产生一个度分布几乎相同，但具有 '''度相关性 Degree Correlations''' 和显著更高的 '''聚类系数 Clustering Coefficent'''的图的集合。<ref>{{cite journal|first1=A.|last1=Ramezanpour|first2=V.|last2=Karimipour|first3=A.|last3=Mashaghi|title=Generating correlated networks from uncorrelated ones|journal=Phys. Rev. E|volume=67|issue=46107|pages=046107|year=2003|doi=10.1103/PhysRevE.67.046107|pmid=12786436|bibcode=2003PhRvE..67d6107R|arxiv=cond-mat/0212469}}</ref> | + | 在图变换下，随机图的性质可以改变或保持不变。例如，Mashaghi A.等人证明了将随机图转换为其 '''边-对偶图 Edge-Dual Graphs'''(或 '''线图 Liner Graph''')的变换会产生一个度分布几乎相同，但具有 '''度相关性 Degree Correlations''' 和显著更高的 '''[[聚类系数]] Clustering Coefficent'''的图的集合。<ref>{{cite journal|first1=A.|last1=Ramezanpour|first2=V.|last2=Karimipour|first3=A.|last3=Mashaghi|title=Generating correlated networks from uncorrelated ones|journal=Phys. Rev. E|volume=67|issue=46107|pages=046107|year=2003|doi=10.1103/PhysRevE.67.046107|pmid=12786436|bibcode=2003PhRvE..67d6107R|arxiv=cond-mat/0212469}}</ref> |
==着色== | ==着色== | ||
| − | 给定一个 ''n'' 阶随机图 ''G''，其顶点 ''V''(''G'') = {1，... ，''n'' } ，通过关于颜色数的'''贪婪算法 Greedy Algorithm'''，可以用颜色1, | + | 给定一个 ''n'' 阶随机图 ''G''，其顶点 ''V''(''G'') = {1，... ，''n'' } ，通过关于颜色数的'''[[贪婪算法]] Greedy Algorithm'''，可以用颜色1,2... (如果顶点1与顶点2不相邻，则顶点1与顶点2为染相同的颜色，否则染不同的颜色，以此类推。). |
给定一个 ''q'' 颜色的随机图的真染色数，称为它的'''染色多项式 Chormatic Polynomial'''（到目前为止还没有确定的正式名称）。利用'''符号模式匹配算法 Algorithm Based On Symbolic Pattern Matching''' ，对参数为 ''n'' 、边数为 ''m'' 或连接概率为 ''p'' 的随机图的染色多项式零点的标度进行了实验研究。<ref name = "Chromatic Polynomials of Random Graphs">{{cite journal | last1 = Van Bussel | first1 = Frank | last2 = Ehrlich | first2 = Christoph | last3 = Fliegner | first3 = Denny | last4 = Stolzenberg | first4 = Sebastian | last5 = Timme | first5 = Marc | year = 2010 | title = Chromatic Polynomials of Random Graphs | url = | journal = J. Phys. A: Math. Theor. | volume = 43 | issue = 17| page = 175002 | doi = 10.1088/1751-8113/43/17/175002 | arxiv = 1709.06209 | bibcode = 2010JPhA...43q5002V }}</ref> | 给定一个 ''q'' 颜色的随机图的真染色数，称为它的'''染色多项式 Chormatic Polynomial'''（到目前为止还没有确定的正式名称）。利用'''符号模式匹配算法 Algorithm Based On Symbolic Pattern Matching''' ，对参数为 ''n'' 、边数为 ''m'' 或连接概率为 ''p'' 的随机图的染色多项式零点的标度进行了实验研究。<ref name = "Chromatic Polynomials of Random Graphs">{{cite journal | last1 = Van Bussel | first1 = Frank | last2 = Ehrlich | first2 = Christoph | last3 = Fliegner | first3 = Denny | last4 = Stolzenberg | first4 = Sebastian | last5 = Timme | first5 = Marc | year = 2010 | title = Chromatic Polynomials of Random Graphs | url = | journal = J. Phys. A: Math. Theor. | volume = 43 | issue = 17| page = 175002 | doi = 10.1088/1751-8113/43/17/175002 | arxiv = 1709.06209 | bibcode = 2010JPhA...43q5002V }}</ref> | ||
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==随机树图== | ==随机树图== | ||
| − | 随机树是由随机过程组成的树状图。在 ''n'' 阶和 ''M''(''n'')大小的随机图的大范围内，''k'' | + | 随机树是由随机过程组成的树状图。在 ''n'' 阶和 ''M''(''n'')大小的随机图的大范围内，''k'' 阶树分量个数的分布是渐近泊松的。[[随机树]]的类型包括'''均匀生成树 Uniform Spanning Tree、随机最小生成树 Random Minimal Tree、随机二叉树 Random Binary Tree、树、快速检索随机树 Rapidly Exploring Random Tree、布朗树 Brownian Tree和随机森林 Random Forest'''。 |
==条件随机图== | ==条件随机图== | ||
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==相互依存图== | ==相互依存图== | ||
| − | + | 在相互依存图中，一个网络（图）中的节点依赖于其他网络来工作。因此，一个或多个图中的故障会导致图之间的'''级联故障 Cascading Failures'''，从而引起网络突然崩溃。<ref name="BuldyrevParshani2010">{{cite journal|last1=Buldyrev|first1=Sergey V.|last2=Parshani|first2=Roni|last3=Paul|first3=Gerald|last4=Stanley|first4=H. Eugene|last5=Havlin|first5=Shlomo|title=Catastrophic cascade of failures in interdependent networks|journal=Nature|volume=464|issue=7291|year=2010|pages=1025–1028|issn=0028-0836|doi=10.1038/nature08932|pmid=20393559|arxiv=1012.0206|bibcode=2010Natur.464.1025B}}</ref><ref name="GaoBuldyrev2011">{{cite journal|last1=Gao|first1=Jianxi|last2=Buldyrev|first2=Sergey V.|last3=Stanley|first3=H. Eugene|last4=Havlin|first4=Shlomo|title=Networks formed from interdependent networks|journal=Nature Physics|volume=8|issue=1|year=2011|pages=40–48|issn=1745-2473|doi=10.1038/nphys2180|bibcode=2012NatPh...8...40G|citeseerx=10.1.1.379.8214}}</ref> | |
==历史== | ==历史== | ||
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最早使用随机图模型的是海伦·霍尔·詹宁斯和雅各布·莫雷诺，他们在1938年提出了一个“偶然社会记录模型”(一个有向的 Erdős-Rényi 模型)<ref>{{cite journal |last1=Moreno |first1=Jacob L |last2=Jennings |first2=Helen Hall |title=Statistics of Social Configurations |journal=Sociometry |date=Jan 1938 |volume=1 |issue=3/4 |pages=342–374 |doi=10.2307/2785588 }}</ref> ，用来比较他们的网络数据中的回传链接的比例和随机模型。另一个被称为“'''随机网络 Random Net'''”的随机图模型应用是1951年 Solomonoff 和 Rapoport 使用的有向图模型，这些有向图具有固定的出度，并且随机选择附加到其他顶点。<ref>{{cite journal |last1=Solomonoff |first1=Ray |last2=Rapopst |first2=Anatol |title=Connectivity of random nets |journal=Bulletin of Mathematical Biophysics |date=June 1951 |volume=13 |issue=2 |pages=107–117 |doi=10.1007/BF02478357}}</ref> | 最早使用随机图模型的是海伦·霍尔·詹宁斯和雅各布·莫雷诺，他们在1938年提出了一个“偶然社会记录模型”(一个有向的 Erdős-Rényi 模型)<ref>{{cite journal |last1=Moreno |first1=Jacob L |last2=Jennings |first2=Helen Hall |title=Statistics of Social Configurations |journal=Sociometry |date=Jan 1938 |volume=1 |issue=3/4 |pages=342–374 |doi=10.2307/2785588 }}</ref> ，用来比较他们的网络数据中的回传链接的比例和随机模型。另一个被称为“'''随机网络 Random Net'''”的随机图模型应用是1951年 Solomonoff 和 Rapoport 使用的有向图模型，这些有向图具有固定的出度，并且随机选择附加到其他顶点。<ref>{{cite journal |last1=Solomonoff |first1=Ray |last2=Rapopst |first2=Anatol |title=Connectivity of random nets |journal=Bulletin of Mathematical Biophysics |date=June 1951 |volume=13 |issue=2 |pages=107–117 |doi=10.1007/BF02478357}}</ref> | ||
| − | + | [[随机图]]的Erdős–Rényi 模型是由Paul Erdős和Alfréd Rényi于1959年发表的论文《随机图论》中首次提出的，Gilbert 在他的论文《随机图论》中独立定义了这一模型。<ref name ="On Random Graphs">[[Paul Erdős|Erdős, P.]] [[Alfréd Rényi|Rényi, A]] (1959) "On Random Graphs I" in Publ. Math. Debrecen 6, p. 290–297 [http://www.renyi.hu/~p_erdos/1959-11.pdf]</ref><ref name = "Random graphs">{{citation |last= Gilbert |first= E. N. |authorlink=Edgar Gilbert|year=1959 |title=Random graphs |journal=Annals of Mathematical Statistics |volume= 30|issue= 4 |pages=1141–1144|doi=10.1214/aoms/1177706098 |doi-access=free }}.</ref> | |
==另请参见== | ==另请参见== | ||
2020年11月21日 (六) 16:12的版本
在数学领域中，随机图 Random Graph是指图上的概率分布的一般术语。随机图可以简单地用概率分布表示，也可以用生成它们的随机过程表示[1][2]。随机图的理论处于图论和概率论的交汇点上。从数学的角度来看，随机图可以用来回答有关典型图的性质的问题。在所有需要对复杂网络进行建模的领域都能看到它的实际应用——由于它反映了在不同领域遇到的不同类型的复杂网络，许多随机图模型就此被人们所熟知。在数学上，随机图几乎完全指的是 Erdős-Rényi 随机图模型。在其他情况下，任何图形模型都可以称为随机图。
模型
从一组 n 个孤立的顶点开始，在它们之间随机添加连续的边，这样就得到一个随机图。这个领域的研究的目的是确定在什么阶段图形的特殊性质可能出现[3]。不同的随机图模型在图上产生不同的概率分布。最常见的研究是由埃德加 · 吉尔伯特提出的，表示G (n,p) ，其中每个可能的边独立出现的概率为0 < p < 1。获得任意一个 m 边随机图的概率是 [math]\displaystyle{ p^m (1-p)^(N-m) }[/math] ，记号是 [math]\displaystyle{ N=\tbinom{n}{2} }[/math] 。[4]
一个相关性强的模型，Erdős-Rényi模型表示[math]\displaystyle{ G(n,M) }[/math] ，给每一个正好有M条边的图赋予等概率。当0≤ M ≤ N 时，G (n,M)具有 [math]\displaystyle{ \tbinom{N}{M} }[/math] 元素，且每个元素都以概率[math]\displaystyle{ 1/\tbinom{N}{M} }[/math] 出现。后一个模型可以看作是随机图过程[math]\displaystyle{ \tilde{G}_n }[/math]某个特定时间(M)的一个快照，这个时间(M)是从 n 个顶点开始没有边的一个随机过程，每个步骤均匀地从缺失的边集中选择一个新的边。
如果我们从一个无限的顶点集合开始，然后再次让每个可能的边以概率[math]\displaystyle{ 0 \lt ''p'' \lt 1 }[/math]独立出现，那么我们得到一个对象 G 称为无限随机图 Infinite Graph。除了在 p = 0或1的平凡情况下，这样的 G 在大多数情况下肯定具有以下性质:
在 [math]\displaystyle{ v }[/math] 中，给定任何 n + m 个元素，[math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_m\ }[/math] 中有一个顶点 c，它与每个 [math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n }[/math] 相邻，并且不与任何 [math]\displaystyle{ b_1,\ldots,b_m }[/math] 相邻。
结果表明，如果顶点集是可数的，那么在同构 Isomorphism意义下，只有一个图具有这个性质，即 Rado 图。因此，任何可数无限随机图几乎可以肯定是 Rado 图，由于这个原因，有时被简称为随机图。然而，对于不可数图 Uncountable Graph类似的结果是不正确的，不可数图中有许多不同构图 Nonisomorphic Graph满足上述性质。
另一个模型，概括了吉尔伯特的随机图模型，是随机点积模型 Random Dot-product Model。一个随机点积图 Random Dot-product Graph 将每个顶点与一个实向量相关联。任意顶点 u 和 v 之间的边 uv 的概率是它们各自向量的点积 u · v 的某个函数。
网络转移矩阵 NetWork Probability Matrix通过边概率对随机图进行建模，这些边概率代表给定的边存在一个特定的时间段的概率。这个模型可以扩展到有向和无向，加权和无权，以及静态或动态的图形结构。
对于 Msomething pN，其中 N 是可能的最大边数，两个最广泛使用的模型，G (n,， M)和 G (n，p)在大多数情况下是可互换的[5]。
随机正则图 Random Regular Graph是一种特殊情况，其性质可能与一般随机图不同。
一旦我们有了一个随机图的模型，图上的每个函数都变成了一个随机变量。对这个模型的研究是为了确定，或者至少估计一个属性可能发生的概率。
术语
在随机图的上下文中，“几乎每一个”这个术语指的是一系列空间和概率，使得出错概率趋于零。
性质
随机图理论研究随机图的典型性质，即从特定分布中抽取的图的高概率性质。例如，我们可以要求一个给定的值 [math]\displaystyle{ n }[/math] 和 [math]\displaystyle{ p }[/math]来表示[math]\displaystyle{ G(n，p) }[/math] 连接的概率。在研究这些问题时，研究人员往往集中在随机图的趋近行为上——各种概率收敛到的值变得非常大。渗流理论 Percolation Theory刻画了随机图，特别是无穷大图的连通性 Connectedness。
'渗流 Percolation 与图形(也称为网络)的鲁棒性 Robustness有关。给定一个随机图形，其中的节点是 [math]\displaystyle{ n }[/math] 和一个平均度 [math]\displaystyle{ \langle k\rangle }[/math] 。接下来我们随机移除一部分概率为 [math]\displaystyle{ 1-p }[/math] 的节点，只留下一部分概率为 [math]\displaystyle{ p }[/math] 的节点。存在一个临界渗透阈值 Critical Percolation Threshold[math]\displaystyle{ p_c=\tfrac{1}{\langle k\rangle} }[/math]，当低于这个临界渗透阈值，网络变得支离破碎，而高于临界渗透阈值 [math]\displaystyle{ p_c }[/math] 的网络则存在一个巨大的连接元件 Connected Component(图论)[6][7]。
局部渗滤 Localized Percolation指的是去除一个节点的邻居、次近邻等。直到网络中概率为 [math]\displaystyle{ 1-p }[/math] 的一部分节点被移除。结果表明，对于服从泊松分布的随机图，其度分布为 [math]\displaystyle{ p_c=\tfrac{1}{\langle k\rangle} }[/math] ，和随机删除是一样的。对于其他类型的度分布[math]\displaystyle{ p_c }[/math]，局部攻击和随机攻击是不同的。[8]
(阈值函数 Threshold Functions, [math]\displaystyle{ \tilde G }[/math] 的演化)
随机图在概率方法中得到了广泛的应用，它试图证明具有一定性质的图的存在性。通过 正则引理 Szemerédi Regularity Lemma，随机图上一个性质的存在常常意味着几乎所有图上该性质的存在。
在随机正则图中，[math]\displaystyle{ G(n，r-reg) }[/math] 是 [math]\displaystyle{ r=r(n) }[/math]的[math]\displaystyle{ r- }[/math]正则图的集合，其中 [math]\displaystyle{ n }[/math] 和 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是自然数，[math]\displaystyle{ 3 \le r\lt n }[/math] ，[math]\displaystyle{ rn = 2m }[/math] 是偶数。
在 [math]\displaystyle{ G^n }[/math] 中，图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的度序列仅取决于集合中的边数。
- [math]\displaystyle{ V_n^{(2)} = \left \{ij \ : \ 1 \leq j \leq n, i \neq j \right \} \subset V^{(2)}, \qquad i=1, \cdots, n. }[/math]
如果随机图中的边 [math]\displaystyle{ M }[/math]，[math]\displaystyle{ G_M }[/math] 大到足以确保几乎每个 [math]\displaystyle{ G_M }[/math] 的最小阶数至少为1，那么几乎每个 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是连通的，如果 [math]\displaystyle{ n }[/math] 是偶数，则几乎每个 [math]\displaystyle{ G_M }[/math] 都有一个完美匹配 Perfect Matching。特别是，在几乎每个随机图中，最后一个孤立点消失的那一刻，图会变连通。
几乎每个偶数顶点上的最小度提高到1的图或稍大于 [math]\displaystyle{ \tfrac{n}{4}\log(n) }[/math] 边且概率接近1的随机图都能确保图有完全匹配 Complete Matching，但最多只有一个顶点。
对于某些常数 [math]\displaystyle{ c }[/math] ，几乎所有带有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 顶点和至少 [math]\displaystyle{ cn\log(n) }[/math] 边的标记图都是 哈密尔顿环 Hamiltonian Cycle的。在概率趋于1的情况下，将最小度增加到2的特殊边会使图成为哈密尔顿图。
在图变换下，随机图的性质可以改变或保持不变。例如，Mashaghi A.等人证明了将随机图转换为其 边-对偶图 Edge-Dual Graphs(或 线图 Liner Graph)的变换会产生一个度分布几乎相同，但具有 度相关性 Degree Correlations 和显著更高的 聚类系数 Clustering Coefficent的图的集合。[9]
着色
给定一个 n 阶随机图 G，其顶点 V(G) = {1，... ，n } ，通过关于颜色数的贪婪算法 Greedy Algorithm，可以用颜色1,2... (如果顶点1与顶点2不相邻，则顶点1与顶点2为染相同的颜色，否则染不同的颜色，以此类推。).
给定一个 q 颜色的随机图的真染色数，称为它的染色多项式 Chormatic Polynomial（到目前为止还没有确定的正式名称）。利用符号模式匹配算法 Algorithm Based On Symbolic Pattern Matching ，对参数为 n 、边数为 m 或连接概率为 p 的随机图的染色多项式零点的标度进行了实验研究。[10]
随机树图
随机树是由随机过程组成的树状图。在 n 阶和 M(n)大小的随机图的大范围内，k 阶树分量个数的分布是渐近泊松的。随机树的类型包括均匀生成树 Uniform Spanning Tree、随机最小生成树 Random Minimal Tree、随机二叉树 Random Binary Tree、树、快速检索随机树 Rapidly Exploring Random Tree、布朗树 Brownian Tree和随机森林 Random Forest。
条件随机图
考虑一个给定的随机图模型定义在概率空间上[math]\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{F},P) }[/math] ，并且让 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(G) : \Omega \rightarrow R^{m} }[/math] 是一个值是实数的函数，它在 [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] 中为每个图赋值一个 m 属性的向量。
对于 [math]\displaystyle{ R^{m} }[/math] 中的一个固定的 [math]\displaystyle{ \mathbf{p} }[/math] ，条件随机图是这样的模型，在这个模型中，机率量测 [math]\displaystyle{ p }[/math] 给所有图分配零概率，例如“ [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(G)\neq\mathbf{p} }[/math] 。
特殊情况是条件均匀随机图 Conditionally Uniform Graph，其中 [math]\displaystyle{ p }[/math] 给所有具有指定性质的图赋予相等的概率。它们可以被看作是 Erdős–Rényi 模型 G(n，m)的一个推广，当条件信息不一定是边的个数 M，而是其他任意图性质 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(G) }[/math] 时。在这种情况下，很少有分析结果可用，就需要通过模拟来获得平均性质的经验分布。
相互依存图
在相互依存图中，一个网络（图）中的节点依赖于其他网络来工作。因此，一个或多个图中的故障会导致图之间的级联故障 Cascading Failures，从而引起网络突然崩溃。[11][12]
历史
最早使用随机图模型的是海伦·霍尔·詹宁斯和雅各布·莫雷诺，他们在1938年提出了一个“偶然社会记录模型”(一个有向的 Erdős-Rényi 模型)[13] ，用来比较他们的网络数据中的回传链接的比例和随机模型。另一个被称为“随机网络 Random Net”的随机图模型应用是1951年 Solomonoff 和 Rapoport 使用的有向图模型，这些有向图具有固定的出度，并且随机选择附加到其他顶点。[14]
随机图的Erdős–Rényi 模型是由Paul Erdős和Alfréd Rényi于1959年发表的论文《随机图论》中首次提出的，Gilbert 在他的论文《随机图论》中独立定义了这一模型。[15][16]
另请参见
- 玻色-爱因斯坦凝聚Bose–Einstein Condensation: a network theory approach
- 空腔法 Cavity Method
- 复杂网络 Complex Network
- Dual-phase Evolution
- Erdős–Rényi 模型
- 指数随机图模型 Exponential Random Graph Model
- 图论 Graph Theory
- 相互依存图 Interdependent Networks
- 网络科学 Network Science
- 渗流 Percolation
- 渗流理论 Percolation Theory
- 正则图 Regular Graph
- 无标度网络 Scale Free Network
- 半线性相应 Semilinear Response
- 随机块体模型 Stochastic Block Model
- Lanchinetti Fortunato Radicchi基准
References 参考文献
- ↑ Bollobás, Béla (2001). Random Graphs (2nd ed.). Cambridge University Press.
- ↑ Frieze, Alan; Karonski, Michal (2015). Introduction to Random Graphs. Cambridge University Press.
- ↑ Béla Bollobás, Random Graphs, 1985, Academic Press Inc., London Ltd.
- ↑ Béla Bollobás, Probabilistic Combinatorics and Its Applications, 1991, Providence, RI: American Mathematical Society.
- ↑ Bollobas, B. and Riordan, O.M. "Mathematical results on scale-free random graphs" in "Handbook of Graphs and Networks" (S. Bornholdt and H.G. Schuster (eds)), Wiley VCH, Weinheim, 1st ed., 2003
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- ↑ Solomonoff, Ray; Rapopst, Anatol (June 1951). "Connectivity of random nets". Bulletin of Mathematical Biophysics. 13 (2): 107–117. doi:10.1007/BF02478357.
- ↑ Erdős, P. Rényi, A (1959) "On Random Graphs I" in Publ. Math. Debrecen 6, p. 290–297 [1]
- ↑ Gilbert, E. N. (1959), "Random graphs", Annals of Mathematical Statistics, 30 (4): 1141–1144, doi:10.1214/aoms/1177706098.