动力系统理论 Dynamical Systems Theory

动力系统理论 dynamical systems theory，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 Cantor集），那么 描述这个系统的方程就是时标上的动态方程 dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由微分-差分方程 differential-difference equations 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由时滞微分方程 delay differential equation 来描述。

动力系统也可以由算子方程来描述。算子 operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指希尔伯特空间，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 [math]\displaystyle{ \mathcal F_1,F_2 }[/math] ，算子[math]\displaystyle{ O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2 }[/math] 就是说，它把函数空间[math]\displaystyle{ \mathcal F_1 }[/math]中的元素映射为[math]\displaystyle{ \mathcal F_2 }[/math]中的元素。例如我们考虑[math]\displaystyle{ \mathcal F }[/math]为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子[math]\displaystyle{ O:\mathcal F \to \mathcal F }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f' }[/math]，这里[math]\displaystyle{ f'\in\mathcal F }[/math]是函数[math]\displaystyle{ f }[/math]的导函数，那么我们就称算子[math]\displaystyle{ O }[/math]为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transform）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从欧拉-拉格朗日方程方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意，这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程，包括动力学方程和运动学方程。而后者，运动学方程，专指比较简单的情况，例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前,运动学方程主要出现在高中物理教材，以及机器人学方面的材料中。

这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究，研究系统运动方程的基本性质以及方程的解（当可解的时候）。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统，例如行星轨道和电子电路，以及出现在生物学、经济学、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究一种特殊的动力系统，即混沌系统 chaotic systems，这种系统初始状态的微小差异会导致完全不同的系统演化过程。

动力系统理论这一研究领域，也被称为动力系统 dynamical system、动态系统 dynamic system、动力学系统、数学动力系统理论 mathematical dynamical systems theory、或动力学系统的数学理论 the mathematical theory of dynamical systems。

Lorenz attractor是一个典型的非线性动力系统。研究这个系统有助于对混沌理论进行发展。

综述

动力系统理论和混沌理论 Chaos Theory 都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言，很难对动力系统方程进行精确求解，但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解，而是为了解答类似于如下的问题，如“系统长期来看是否会稳定下来，如果可以，那么可能的稳定状态是什么样的?”，或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。

对给定动力系统的研究的一个重要方向就是求动力系统的不动点或稳态。不动点或稳态的的值不会随时间的变化而变化，在不动点的附近，不动点对系统具有收敛性。也就是说如果系统的初始值在它的附近，系统最终会收敛到这个不动点。

动力系统的周期点 Periodic Points 也是一个具有前景的研究方向，周期点为系统在重复几个周期后之后的状态。周期点也是具有系统的收敛性，也可称做该点具有吸引力的。Sharkovskii定理描述了一维离散动力系统的周期点的个数。

即使是简单的非线性动力系统也常常表现出看似随机的行为，这种行为被称为混沌 Chaos。动力学系统中涉及混沌的清晰定义和研究的分支称为混沌理论。

历史

动态系统理论的概念起源于牛顿运动定律。与其他自然科学和工程学科一样，动力系统的进化规则隐含地由一个关系给出，该关系给出了系统在未来很短时间内的状态。

在高速计算机器出现之前，解决动力系统问题需要复杂的数学技能，而且还只能解决一小类动力系统问题。

一些优秀的数学动力系统理论学家包括贝尔特拉米 Beltrami(1990年)，龙伯格 Luenberger(1979年)，帕杜罗&阿尔比布 Padulo＆Arbib(1974年)和斯托加茨 Strogatz(1994年)等在该领域做出了杰出的贡献。

概念

动力系统

动力系统概念是对描述了一个点的位置在其周围环境中随时间变化的任何“固定”规则的数学形式化。举例来说，描述钟摆摆动、管道中的水流以及每年春天湖中鱼的数量的数学模型，都属于动力系统的概念范畴。

动力系统的状态由实数的集合决定，或更一般地由适当的状态空间中的点集决定。系统状态的微小变化对应于数字的变化。这些数字也是几何空间——流形 Manifold——的坐标组。动力系统的演化规律是一种固定的规则，它描述了从当前状态得出的未来状态。这个规则可以是确定性的(在给定的时间间隔内，有且仅有一个未来状态在当前状态之后出现)，或随机性的(状态的演化受到随机因素的影响)。

动态主义

动态主义 Dynamicism，也称动态假设，或称认知科学的动态假设或动态认知，是以哲学家Tim van Gelder的著作为代表的认知科学的一种新取向。动态主义认为微分方程比传统的计算机模型更适合于建立认知模型。

非线性系统

在数学中，非线性系统 Nonlinear System是指系统不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。更通俗地说，非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的，除了它的自变量函数以外，其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究，因为只要知道特定解，它就可以转化为线性系统。

相关领域

算术动力学

算术动力学 Arithmetic Dynamics是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。

混沌理论

混沌理论 Chaos theory描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点(通常被称为蝴蝶效应 Butterfly Effect)。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。

复杂系统

复杂系统 Complex Systems是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。

复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。

控制理论

控制理论 Control Theory 是工程和数学的一个交叉学科。控制理论是一个研究如何调整动态系统特性的理论，它也是工程和数学的一个交叉学科，逐渐的应用在许多社会科学中，例如心理学、社会学(社会学中的控制理论)、犯罪学及金融系统Financial System。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。维持设定值保持小范围稳定甚至不变的控制行为称为控制调节，设定值快速变化，对于跟踪速度加速度等的控制要求较高的控制行为称为伺服。控制理论的研究的一部分研究对于动力系统行为的研究产生了深远的影响。

遍历理论

遍历理论 Ergodic Theory 是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

泛函分析

泛函分析 Functional analysis 是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。

图动力系统

图动力系统 Graph dynamical systems(GDS) 可以用来描绘图或网络上发生的各种过程。图动力系统的数学和计算分析的一个主要主题是将其结构特性(例如：网络连接性)与其所产生的全局动力学联系起来。

投影动力系统

投影动力系统 Projected Dynamical Systems 一种数学理论，用于研究将解决方案限制为约束集的动力系统的行为。这门学科与静态理论中的最优化和平衡问题以及动态理论中的常微分方程都有联系和应用。一个投影动力系统是由投影微分方程的流形给定的。 通过对投影微分方程的流形分析，给出了一个投影动力系统的表达式：

[math]\displaystyle{ \frac{dx(t)}{dt} = \Pi_K(x(t),-F(x(t))) }[/math]

其中K为约束集。这种形式的微分方程因具有不连续的向量场而受到许多研究人员的注意。

符号动力学

符号动力学 Symbolic Dynamics 是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态(演化)由移位运算符给出。

系统动力学

系统动力学 System Dynamics 是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量 stocks和流量 flows的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。

拓扑动力学

拓扑动力学 Topological Dynamics 是动力系统理论的一个分支。在拓朴动力学中，动力系统的定性性质和渐近性质是从一般拓扑学的观点来研究的。

应用

在运动生物力学中的应用

在运动生物力学中，动力系统理论在运动科学中展露头角，成为一种对运动表现建模的可行框架。从动力系统的角度来看，人类的运动系统是由高度复杂和相互依赖的子系统网络(如呼吸、循环、神经、骨骼肌系统和知觉系统等)组成的，它们由大量相互作用的部分组成(包括血细胞、氧分子、肌肉组织、代谢酶、结缔组织和骨骼等)。动力系统理论中，运动模式通过物理系统和生物系统中的一般自组织过程出现。没有任何研究证实与这一框架的概念应用相关的任何主张。

在认知科学中的应用

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域，特别是在认知发展的新皮亚杰学派 neo-Piagetian中。人们相信，物理学理论比句法学理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说，动力学家认为心理学应该是(或者就是)(通过微分方程)描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

在学习的过程中，旧的模式被打破，学习者的思维达到了一种不平衡的状态。这是认知发展的阶段性转变。自组织随活动水平 Activity Levels 相互联系时产生。新形成的宏观和微观结构相互支持，加速了这一过程。这些联系在头脑中形成了一种有序的新状态结构，这个过程被称为“扇贝化 Scalloping”，也就是头脑的复杂表现的不断累积和崩溃的过程。这种新的状态是渐进的、离散的、异质的的和不可预知的。

动力系统理论最近还被用来解释儿童发展中一个长期没有答案的问题，即 A-not-B 错误。

在第二语言发展中的应用

动力系统理论在第二语言研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman，她在1997年发表的一篇文章中认为，第二语言学习应该被看作是一个包括语言流失和语言习得在内的发展过程。她在文章中认为，语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。

相关概念

• 贝克地图 Baker's map

• 分支理论 bifurcation theory

• 动力系统 Dynamical system

• 具身嵌入认知 Embodied Embedded Cognition

• 斐波那契数 Fibonacci numbers

• 分形 Fractals

• Gingerbreadman map

• Halo 轨道 Halo orbit

• 振动性 Oscillation

• Postcognitivism

• 递归神经网络 Recurrent neural network

• 组合数学和动力系统 Combinatorics and dynamical systems

• 协同学 Synergetics Haken

著名学者

• 德米特里·阿诺索夫 Dmitri Anosov

• 弗拉基米尔·阿诺德 Vladimir Arnold

• 尼古拉 Nikolay Bogolyubov

• 安德烈·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov

• 尼古拉·克雷洛夫 Nikolay Krylov

• 于尔根·摩泽 JürgenMoser

• 雅各布·G·西奈 Yakov G. Sinai

• 斯蒂芬·斯玛莱 Stephen Smale

• 希勒尔·弗斯滕伯格 Hillel Furstenberg

• 格里高里·马古利斯 Grigory Margulis

• 伊隆·林登斯特劳斯 Elon Lindenstrauss

拓展阅读

• Abraham, Frederick D.; Abraham, Ralph; Shaw, Christopher D. (1990). A Visual Introduction to Dynamical Systems Theory for Psychology. Aerial Press. ISBN 978-0-942344-09-7. https://books.google.com/books?id=oMbaAAAAMAAJ. 

• Beltrami, Edward J. (1998). Mathematics for Dynamic Modeling (2nd ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-085566-7. https://books.google.com/books?id=MmoiJPsuFW8C. 

• Hájek, Otomar (1968). Dynamical systems in the plane. Academic Press. https://books.google.com/books?id=czhPAQAAIAAJ. 

• Luenberger, David G. (1979). Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications. Wiley. ISBN 978-0-471-02594-8. https://books.google.com/books?id=mvlQAAAAMAAJ. 

• Michel, Anthony; Kaining Wang; Bo Hu (2001). Qualitative Theory of Dynamical Systems. Taylor & Francis. ISBN 978-0-8247-0526-8. https://books.google.com/books?id=ZPGBnZGV2_cC. 

• Padulo, Louis; Arbib, Michael A. (1974). System theory: a unified state-space approach to continuous and discrete systems. Saunders. ISBN 9780721670355. https://books.google.com/books?id=6UPvAAAAMAAJ. 

• Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6. https://archive.org/details/nonlineardynamic00stro. 

外部链接

• Dynamic Systems 动力系统 Encyclopedia of Cognitive Science entry. 认知科学百科全书

• Definition of dynamical system 动力系统的定义 in MathWorld. 在MathWorld.wolfram.com储存的定义

• DSWeb Dynamical Systems Magazine 动力系统杂志

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