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玻尔兹曼方程是一个非线性积分微分方程,方程中的未知函数是位置和动量六维空间中的一个概率密度函数。方程解的存在唯一性仍然是未完全解决的问题,但是近期的一些结果是很有希望的。
 
玻尔兹曼方程是一个非线性积分微分方程,方程中的未知函数是位置和动量六维空间中的一个概率密度函数。方程解的存在唯一性仍然是未完全解决的问题,但是近期的一些结果是很有希望的。
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==Overview==
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==Overview 概述==
===The phase space and density function===
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===The phase space and density function 相空间和密度函数===
    
The set of all possible positions r and momenta p is called the phase space of the system; in other words a set of three coordinates for each position coordinate x, y, z, and three more for each momentum component p<sub>x</sub>, p<sub>y</sub>, p<sub>z</sub>. The entire space is 6-dimensional: a point in this space is (r, p) = (x, y, z, p<sub>x</sub>, p<sub>y</sub>, p<sub>z</sub>), and each coordinate is parameterized by time t. The small volume ("differential volume element") is written  
 
The set of all possible positions r and momenta p is called the phase space of the system; in other words a set of three coordinates for each position coordinate x, y, z, and three more for each momentum component p<sub>x</sub>, p<sub>y</sub>, p<sub>z</sub>. The entire space is 6-dimensional: a point in this space is (r, p) = (x, y, z, p<sub>x</sub>, p<sub>y</sub>, p<sub>z</sub>), and each coordinate is parameterized by time t. The small volume ("differential volume element") is written  
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所有可能的位置 r 和动量 p 的集合称为系统的相空间; 换句话说,每个位置坐标 x,y,z 的集合有三个坐标,每个动量分量 p < sub > x </sub > ,p < sub > y </sub > ,p < sub > z </sub > 。整个空间是6维的: 这个空间中的一个点是(r,p) = (x,y,z,p < sub > x </sub > ,p < sub > y </sub > ,p < sub > z </sub >) ,每个坐标由时间 t 参数化。写入小体积(“微分体积元”)
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系统所有可能的位置'''r'''和动量'''p'''的集合称为系统的相空间,每个位置是三个坐标 x,y,z 的集合,另外有三个坐标表示每个动量分量 ''p<sub>x</sub>, p<sub>y</sub>, p<sub>z</sub>''。整个空间是6维的:空间中的一个点是('''r''', '''p''') = (''x, y, z, p<sub>x</sub>, p<sub>y</sub>, p<sub>z</sub>''),每个坐标由时间 t 参数化。小体积元(“微分体积元”)写作
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is the number of molecules which all have positions lying within a volume element <math> d^3\bf{r}</math> about r and momenta lying within a momentum space element <math> \mathrm{d}^3\bf{p}</math> about p, at time t. Integrating over a region of position space and momentum space gives the total number of particles which have positions and momenta in that region:
 
is the number of molecules which all have positions lying within a volume element <math> d^3\bf{r}</math> about r and momenta lying within a momentum space element <math> \mathrm{d}^3\bf{p}</math> about p, at time t. Integrating over a region of position space and momentum space gives the total number of particles which have positions and momenta in that region:
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位于动量空间元素中的 r 和动量的分子数目,在时间 t 上。在位置空间和动量空间的一个区域上积分,得出在该区域中具有位置和动量的粒子总数:
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由于 n 分子的概率都有 r 和 p 在 < math > mathrm { d } ^ 3 bf { r } </math > < math > < mathrm { d } ^ 3 bf { p } </math > 存在疑问,方程的核心是一个量 f,它给出了单位相空间体积的概率,或单位长度立方的概率,在一瞬间。这是一个概率密度函数: f (r,p,t) ,定义为,位于动量空间元素中的 r 和动量的分子数目,在时间 t 上。在位置空间和动量空间的一个区域上积分,得出在该区域中具有位置和动量的粒子总数:
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Note that some authors use the particle velocity '''v''' instead of momentum '''p'''; they are related in the definition of momentum by '''p''' = ''m'''''v'''.
 
Note that some authors use the particle velocity '''v''' instead of momentum '''p'''; they are related in the definition of momentum by '''p''' = ''m'''''v'''.
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==The force and diffusion terms==
 
==The force and diffusion terms==
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