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2021年6月28日 (一) 02:56的版本
集智学园系列课程
集智学园系列课程依托于集体学园网站（集智学园网站是为科研工作者、高级技术人员量身打造的在线视频服务平台），系列课程内容包括但不限于复杂性科学、复杂网络、多主体模拟、人工智能、机器学习、神经网络、自然语言处理等领域，授课人包括从事复杂系统相关研究的科研人员、在读硕士研究生/博士生、科研创业的第一线、科研爱好者等。
内容分类
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最新上线
| 课程名称 | 课程简介 | 授课老师 | 当前状态 | 购课途径 |
|---|---|---|---|---|
| 范畴论入门系列课程（第一季） | 本系列课程中，尽量从较低的起点出发，在补充具体的数学知识过程中，让大家熟悉范畴化的思维方式，为理解抽象的范畴论概念积累实例。系列课程完成后，学员将能够了解范畴论的基本知识，包括范畴、函子、对偶、极限，并且在代数、拓扑等方面有范畴论角度的理解。 | J-CAT 猫圈 | 上新中 | https://campus.swarma.org/form/activity/33 |
| 已完结 | ||||
| 筹备中 |
主要系列课程详情
范畴论入门系列课程（第一季）
课程简介
本课程中，尽量从较低的起点出发，在补充具体的数学知识过程中，让大家熟悉范畴化的思维方式，为理解抽象的范畴论概念积累实例。系列课程完成后，学员将能够了解范畴论的基本知识，包括范畴、函子、对偶、极限，并且在代数、拓扑等方面有范畴论角度的理解。
讲师介绍
- J-CAT 猫圈 教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。研究兴趣包括：范畴论、动力系统、人工智能。
课程背景
范畴论提供了系统、精确、抽象的跨领域科学方法论。不同知识领域的问题按照特定的范畴来组织，范畴论通过函子来连接不同领域的不同范畴，实现跨领域的研究。函子把源范畴的结构映射到目标范畴。复杂的范畴可能转化到简单的范畴，陌生的范畴可能转化到熟悉的领域中的范畴，抽象的范畴可能转化到易于计算的范畴。
范畴论尽可能地用函子来构造这种跨范畴的联系，构造一个好的函子，把原有领域范畴重要的结构信息，更多地保持到目标范畴中。具体构造时就需要特定领域的知识了。
在范畴论发明前，并没有系统化的跨领域联系的方法论，许多科学的进展都依靠科学家天才的联想能力。比如Galois对群和域这两个范畴的联想，促进了数论和群论的大幅发展。如今在范畴论中这种联想系统化地发展成为了Galois连接。
与自然语言描述为主的科学哲学不同，范畴论是数学领域抽象程度的顶峰，是可以以公式或者其它数学表达方式明确指导具体研究的。学习范畴论，相当于学到了系统、精确、抽象的科学方法论，并可以直接付诸于各领域考察的问题，寻求跨领域的解决之道。
课程大纲
课程暂定为两季。为了适应广大非数学专业爱好者的需要，第一季尽量从较低的起点出发，在补充具体的数学知识过程中，让学员熟悉范畴化的思维方式，为理解抽象的范畴论概念积累实例。第一季完成后，学员将能够了解范畴论的基本知识，包括范畴、函子、对偶、极限，并且在代数、拓扑等方面有范畴论角度的理解。第二季则在前面的基础上，更加侧重用专业的方式展开更高层次的范畴论知识。第二季完成后，学员将能够了解范畴论中的函子范畴、可表函子、伴随函子等较为抽象的概念，并且能够熟悉张量、同调、层等概念的范畴化表述。
完成本课程，可以没有障碍地了解现代代数、拓扑、范畴等领域的许多基本概念，为进一步的学习和结合自我兴趣的研究打下基础。更重要的是可以理解范畴论的思维方式，掌握创新的工具。
通行的范畴论教学方式是面向数学专业高年级本科生、研究所和科研人员的，入手的门槛较高。考虑到范畴论爱好者的起点，我们采用了不一样的教学方案。在第一季中，最初，我们会在集合和线性代数这两个分支中提取类似的问题，用范畴论来给出统一的描述，让学员感受到范畴论的思维方式和抽象能力(第1课)。之后我们会展开讲集合相关的范畴、代数相关的范畴，一边了解范畴论的概念，一边在具体的数学问题中积累例子，同时掌握具体的代数结构，如群、环、模、线性空间等(第2,3,4课)。进而我们会着重谈线性结构中体现的范畴。矩阵是天生具有行列对偶性的数学结构，讨论矩阵可以自然地引出许多范畴论的概念(第5,6,7,8课)。此外我们还会在集合的基础上引出拓扑，并且用范畴的方式介绍如何将拓扑这样的几何问题转化到同调群这样的代数范畴去解决(第9,10,11,12课)。
第一季
- 线性代数——范畴的视角
- 集合范畴和等价关系
- 偏序集范畴
- Abel群范畴
- 线性空间的范畴化构造
- Hom函子
- 线性空间的对偶性
- 正向极限与逆向极限
- 正合
- 从集合到拓扑空间
- 自由函子
- 从几何到代数——同调群的构造
第二季（暂拟）
- 张量代数
- Abel范畴
- 层——函子化地构造几何学
- 函子范畴
- 可表函子
- 伴随函子
- 幺半范畴
- Kan扩张
- Topos
- 高阶范畴
课程目的
- 为初学者，特别是非数学专业背景的系统、信息研究者提供一个起点低、水平高、观点新的范畴论基础课程
课程适用对象
- 对现代数学体系和方法论有兴趣
- 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者
- 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者
- 希望了解范畴论的思维方式
- 有兴趣的中学生
课程对学员的基本要求
本课程旨在尽可能降低范畴论的学习起点。学员只需对高等代数/线性代数中的线性空间、线性映射、矩阵运算有基本了解，通过课程的学习即可入门范畴论。
学习范畴论的参考资料与论文
请参见集智斑图相关学习路径： 范畴论相关参考资料
相关论文
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