联合熵

该图表示在变量X、Y相关联的各种信息量之间，进行加减关系的维恩图。两个圆重合的区域是联合熵H(X,Y)。左侧的圆（红色和紫色）是单个熵H（X），红色是条件熵H（X ǀ Y）。右侧的圆（蓝色和紫色）为H（Y），蓝色为H（Y ǀ X）。中间紫色的是相互信息i（X; Y）。

在信息论中， 联合熵是用于对与一组变量相关的不确定性进行度量。

定义

联合熵 的定义是：以比特为单位，对于具有[math]\displaystyle{ \mathcal X }[/math]和[math]\displaystyle{ \mathcal Y }[/math]的两个离散随机变量函数[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]有

[math]\displaystyle{ \Eta(X,Y) = -\sum_{x\in\mathcal X} \sum_{y\in\mathcal Y} P(x,y) \log_2[P(x,y)] }[/math]

(Eq.1)

其中[math]\displaystyle{ x }[/math]和[math]\displaystyle{ y }[/math]分别是[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]的特定值，[math]\displaystyle{ P(x,y) }[/math]是这些值产生交集时的联合概率，如果[math]\displaystyle{ P(x,y)=0 }[/math]那么[math]\displaystyle{ P(x,y) \log_2[P(x,y)] }[/math]定义为0。

对于两个以上的随机变量[math]\displaystyle{ X_1, ..., X_n }[/math]，它扩展为

[math]\displaystyle{ \Eta(X_1, ..., X_n) = -\sum_{x_1 \in\mathcal X_1} ... \sum_{x_n \in\mathcal X_n} P(x_1, ..., x_n) \log_2[P(x_1, ..., x_n)] }[/math]

(Eq.2)

其中[math]\displaystyle{ x_1,...,x_n }[/math]分别是[math]\displaystyle{ X_1,...,X_n }[/math]的特定值，[math]\displaystyle{ P(x_1, ..., x_n) }[/math]是这些值产生交集的概率，如果[math]\displaystyle{ P(x_1, ..., x_n)=0 }[/math]那么[math]\displaystyle{ P(x_1, ..., x_n) \log_2[P(x_1, ..., x_n)] }[/math]定义为0。

属性

非负性

一组随机变量的联合熵是一个非负数。

[math]\displaystyle{ H(X,Y) \geq 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ H(X_1,\ldots, X_n) \geq 0 }[/math]

高值性/最值性/大于或等于单个熵的最大值

一组变量的联合熵大于或等于该组变量的所有单个熵的最大值。

[math]\displaystyle{ H(X,Y) \geq \max \left[H(X),H(Y) \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ H \bigl(X_1,\ldots, X_n \bigr) \geq \max_{1 \le i \le n} \Bigl\{H\bigl(X_i\bigr) \Bigr\} }[/math]

低值性/小于或等于单个熵的总和

一组变量的联合熵小于或等于该组变量各个熵的总和，这是次可加性的一个运用实例。即当且仅当[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]独立统计时，该不等式才是等式。

[math]\displaystyle{ H(X,Y) \leq H(X) + H(Y) }[/math]

[math]\displaystyle{ H(X_1,\ldots, X_n) \leq H(X_1) + \ldots + H(X_n) }[/math]

与其他熵测度的关系

联合熵被用于定义条件熵：

[math]\displaystyle{ H(X|Y) = H(X,Y) - H(Y)\, }[/math],

and [math]\displaystyle{ H(X_1,\dots,X_n) = \sum_{k=1}^n H(X_k|X_{k-1},\dots, X_1) }[/math]

它也被用于定义交互信息：

[math]\displaystyle{ \operatorname{I}(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(X,Y)\, }[/math]

在量子信息论中，使用的是广义化的联合熵，即联合量子熵。

应用

在这里我们提供了一个python软件包，可用于计算n个变量的数据集中的所有多元联合熵、交互信息、条件交互信息、总相关性以及信息距离。

联合微分熵

定义

上文中的定义是针对离散随机变量的，而其实对于连续随机变量，联合熵同样成立。离散联合熵的连续形式称为联合微分（或连续）熵。令[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]分别为具有联合概率密度函数 [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math]的连续随机变量，那么微分联合熵[math]\displaystyle{ h(X,Y) }[/math]定义为：

[math]\displaystyle{ h(X,Y) = -\int_{\mathcal X , \mathcal Y} f(x,y)\log f(x,y)\,dx dy }[/math]

(Eq.3)

对于两个以上的连续随机变量[math]\displaystyle{ X_1, ..., X_n }[/math]，其定义可概括为：

[math]\displaystyle{ h(X_1, \ldots,X_n) = -\int f(x_1, \ldots,x_n)\log f(x_1, \ldots,x_n)\,dx_1 \ldots dx_n }[/math]

(Eq.4)

这里可以用积分处理表达[math]\displaystyle{ f }[/math]。当然，如果微分熵没有定义，那么积分也可能不存在。

属性

与离散条件下的联合熵相似，联合微分熵也具有同样的属性，即：一组随机变量的联合微分熵小于或等于各个随机变量的熵之和：

[math]\displaystyle{ h(X_1,X_2, \ldots,X_n) \le \sum_{i=1}^n h(X_i) }[/math]

以下链式法则适用于两个随机变量：

[math]\displaystyle{ h(X,Y) = h(X|Y) + h(Y) }[/math]

对于两个以上的随机变量，一般可归纳为：

[math]\displaystyle{ h(X_1,X_2, \ldots,X_n) = \sum_{i=1}^n h(X_i|X_1,X_2, \ldots,X_{i-1}) }[/math]

联合微分熵也用于定义连续随机变量之间的交互信息：

[math]\displaystyle{ \operatorname{I}(X,Y)=h(X)+h(Y)-h(X,Y) }[/math]

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