条件熵

该图表示在变量X、Y相关联的各种信息量之间，进行加减关系的维恩图。两个圆所包含的区域是联合熵H(X,Y)。左侧的圆圈（红色和紫色）是单个熵H（X），红色是条件熵H（X ǀ Y）。右侧的圆圈（蓝色和紫色）为H（Y），蓝色为H（Y ǀ X）。中间紫色的是相互信息i（X; Y）。

在信息论 Information theory中，假设随机变量[math]\displaystyle{ X }[/math]的值已知，那么条件熵 Conditional entropy则用于定量描述随机变量[math]\displaystyle{ Y }[/math]表示的信息量。此时，信息以香农 Shannon，奈特 nat或哈特莱 hartley来衡量。已知[math]\displaystyle{ X }[/math]的条件下[math]\displaystyle{ Y }[/math]的熵记为[math]\displaystyle{ H（X ǀ Y） }[/math]。

定义

在给定[math]\displaystyle{ X }[/math]的情况下，[math]\displaystyle{ Y }[/math]的条件熵定义为：

[math]\displaystyle{ \Eta(Y|X)\ = -\sum_{x\in\mathcal X, y\in\mathcal Y}p(x,y)\log \frac {p(x,y)} {p(x)} }[/math]

(Eq.1)

其中[math]\displaystyle{ \mathcal X }[/math]和[math]\displaystyle{ \mathcal Y }[/math]表示[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]的支撑集 support sets。

注意：约定[math]\displaystyle{ c \gt 0 }[/math]始终成立时，表达式[math]\displaystyle{ 0 \log 0 }[/math]和[math]\displaystyle{ 0 \log c/0 }[/math]视为等于零。这是因为[math]\displaystyle{ \lim_{\theta\to0^+} \theta\, \log \,c/\theta = 0 }[/math]，而且[math]\displaystyle{ \lim_{\theta\to0^+} \theta\, \log \theta = 0 }[/math]

对该定义的直观解释是：根据定义[math]\displaystyle{ \displaystyle H( Y|X) =\mathbb{E}( \ f( X,Y) \ ) }[/math]，其中[math]\displaystyle{ \displaystyle f:( x,y) \ \rightarrow -\log( \ p( y|x) \ ) }[/math]。 [math]\displaystyle{ \displaystyle f }[/math]将给定[math]\displaystyle{ \displaystyle (X=x) }[/math]时的[math]\displaystyle{ \displaystyle ( Y=y) }[/math]的信息内容与[math]\displaystyle{ \displaystyle ( x,y) }[/math]相关联，这是描述在给定[math]\displaystyle{ (X=x) }[/math]条件下的事件[math]\displaystyle{ \displaystyle (Y=y) }[/math]所需的信息量。根据大数定律，[math]\displaystyle{ H（Y ǀ X） }[/math]是大量[math]\displaystyle{ \displaystyle f(X,Y) }[/math]独立实验结果的算术平均值。

动机

设[math]\displaystyle{ H（Y ǀ X = x） }[/math]为离散随机变量[math]\displaystyle{ Y }[/math]在离散随机变量[math]\displaystyle{ X }[/math]取定值[math]\displaystyle{ x }[/math]时的熵。用[math]\displaystyle{ \mathcal X }[/math]和[math]\displaystyle{ \mathcal Y }[/math]表示[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]的支撑集。令[math]\displaystyle{ Y }[/math]的概率密度函数为[math]\displaystyle{ p_Y{(y)} }[/math]。[math]\displaystyle{ Y }[/math]的无条件熵计算为[math]\displaystyle{ H（Y）:=E[I（Y） }[/math]。

[math]\displaystyle{ H(Y) = \sum_{y\in\mathcal Y} {\mathrm{Pr}(Y=y)\,\mathrm{I}(y)} = -\sum_{y\in\mathcal Y} {p_Y(y) \log_2{p_Y(y)}}, }[/math]

当[math]\displaystyle{ Y }[/math]取值为[math]\displaystyle{ y_i }[/math]时，[math]\displaystyle{ \operatorname{I}(y_i) }[/math]是其结果[math]\displaystyle{ Y }[/math]的信息内容。类似地，当[math]\displaystyle{ X }[/math]值为[math]\displaystyle{ x }[/math]时以[math]\displaystyle{ X }[/math]为条件的[math]\displaystyle{ Y }[/math]的熵，也可以通过条件期望来定义：

[math]\displaystyle{ H(Y|X=x) = -\sum_{y\in\mathcal Y} {\Pr(Y = y|X=x) \log_2{\Pr(Y = y|X=x)}}. }[/math]

注意，[math]\displaystyle{ H（Y ǀ X） }[/math]是在[math]\displaystyle{ X }[/math]可能取的所有可能值[math]\displaystyle{ x }[/math]时对[math]\displaystyle{ H（Y ǀ X = x） }[/math]求平均值的结果。同样，如果上述和取自样本[math]\displaystyle{ y_1, \dots, y_n }[/math]上，则期望值[math]\displaystyle{ E_X[ H(y_1, \dots, y_n \mid X = x)] }[/math] 在某些领域中认为是模糊值。

给定具有像[math]\displaystyle{ \mathcal X }[/math]的离散随机变量[math]\displaystyle{ X }[/math]和具有像[math]\displaystyle{ \mathcal Y }[/math]的离散随机变量[math]\displaystyle{ Y }[/math]，将给定[math]\displaystyle{ X }[/math]的[math]\displaystyle{ Y }[/math]的条件熵定义为以[math]\displaystyle{ p(x) }[/math]作为权重，对[math]\displaystyle{ x }[/math]的每个可能取值得到的[math]\displaystyle{ H(Y|X=x) }[/math]的加权和。其表达式如下：

[math]\displaystyle{ \begin{align} H(Y|X)\ &\equiv \sum_{x\in\mathcal X}\,p(x)\,H(Y|X=x)\\ & =-\sum_{x\in\mathcal X} p(x)\sum_{y\in\mathcal Y}\,p(y|x)\,\log\, p(y|x)\\ & =-\sum_{x\in\mathcal X}\sum_{y\in\mathcal Y}\,p(x,y)\,\log\,p(y|x)\\ & =-\sum_{x\in\mathcal X, y\in\mathcal Y}p(x,y)\log\,p(y|x)\\ & =-\sum_{x\in\mathcal X, y\in\mathcal Y}p(x,y)\log \frac {p(x,y)} {p(x)}. \\ & = \sum_{x\in\mathcal X, y\in\mathcal Y}p(x,y)\log \frac {p(x)} {p(x,y)}. \\ \end{align} }[/math]

属性

条件熵等于零 Conditional entropy equals zero

当且仅当[math]\displaystyle{ Y }[/math]的值完全由[math]\displaystyle{ X }[/math]的值确定时，[math]\displaystyle{ H(Y|X)=0 }[/math]。

独立随机变量的条件熵 Conditional entropy of independent random variables

相反，当且仅当[math]\displaystyle{ Y }[/math]和[math]\displaystyle{ X }[/math]是互相独立的随机变量时，则[math]\displaystyle{ H(Y|X) =H(Y) }[/math]。

链式法则 Chain rule

假设由两个随机变量[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]确定的组合系统具有联合熵[math]\displaystyle{ H(X,Y) }[/math]，也就是说，我们通常需要[math]\displaystyle{ H(X,Y) }[/math]位信息来描述其确切状态。现在，如果我们首先尝试获得[math]\displaystyle{ X }[/math]的值，我们将知晓[math]\displaystyle{ H(X) }[/math]位信息。一旦[math]\displaystyle{ X }[/math]的值确定，我们就可以通过[math]\displaystyle{ H(X,Y) }[/math]-[math]\displaystyle{ H(X) }[/math]位来描述整个系统的状态。这个数量恰好是[math]\displaystyle{ H(Y|X) }[/math]，它给出了条件熵的链式法则：

[math]\displaystyle{ H(Y|X)\, = \, H(X,Y)- H(X). }[/math]

链式法则遵循以上条件熵的定义：

[math]\displaystyle{ \begin{align} H(Y|X) &= \sum_{x\in\mathcal X, y\in\mathcal Y}p(x,y)\log \left(\frac{p(x)}{p(x,y)} \right) \\[4pt] &= \sum_{x\in\mathcal X, y\in\mathcal Y}p(x,y)(\log (p(x))-\log (p(x,y))) \\[4pt] &= -\sum_{x\in\mathcal X, y\in\mathcal Y}p(x,y)\log (p(x,y)) + \sum_{x\in\mathcal X, y\in\mathcal Y}{p(x,y)\log(p(x))} \\[4pt] & = H(X,Y) + \sum_{x \in \mathcal X} p(x)\log (p(x) ) \\[4pt] & = H(X,Y) - H(X). \end{align} }[/math]

通常情况下，多个随机变量的链式法则表示为：

[math]\displaystyle{ H(X_1,X_2,\ldots,X_n) = \sum_{i=1}^n H(X_i | X_1, \ldots, X_{i-1}) }[/math]

除了使用加法而不是乘法之外，它具有与概率论中的链式法则类似的形式。

贝叶斯法则 Bayes' rule

条件熵状态的贝叶斯法则 Bayes' rule

[math]\displaystyle{ H(Y|X) \,=\, H(X|Y) - H(X) + H(Y). }[/math]

证明，[math]\displaystyle{ H(Y|X) = H(X,Y) - H(X) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ H(X|Y) = H(Y,X) - H(Y) }[/math]。对称性要求[math]\displaystyle{ H(X,Y) = H(Y,X) }[/math]。将两个方程式相减就意味着贝叶斯定律。

如果给定[math]\displaystyle{ X }[/math]，[math]\displaystyle{ Y }[/math]有条件地独立于[math]\displaystyle{ Z }[/math]，则有：

[math]\displaystyle{ H(Y|X,Z) \,=\, H(Y|X). }[/math]

其他性质

对于任何[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]：

[math]\displaystyle{ \begin{align} H(Y|X) &\le H(Y) \, \\ H(X,Y) &= H(X|Y) + H(Y|X) + \operatorname{I}(X;Y),\qquad \\ H(X,Y) &= H(X) + H(Y) - \operatorname{I}(X;Y),\, \\ \operatorname{I}(X;Y) &\le H(X),\, \end{align} }[/math]

其中[math]\displaystyle{ \operatorname{I}(X;Y) }[/math]是[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]之间的互信息 mutual information。

对于独立的[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]：

[math]\displaystyle{ H(Y|X) = H(Y) }[/math] and [math]\displaystyle{ H(X|Y) = H(X) \, }[/math]

对于给定随机变量[math]\displaystyle{ Y }[/math]的值[math]\displaystyle{ y }[/math]，尽管特定条件熵[math]\displaystyle{ H(X|Y=y) }[/math]可以小于或大于[math]\displaystyle{ H(X) }[/math]，但[math]\displaystyle{ H(X|Y) }[/math]永远不会超过[math]\displaystyle{ H(X) }[/math]。

条件微分熵 Conditional differential entropy

定义

上面的定义是针对离散随机变量的。离散条件熵的连续形式称为条件微分（或连续）熵 Conditional differential (or continuous) entropy 。 令[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]为具有联合概率密度函数[math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math]的连续随机变量。则微分条件熵[math]\displaystyle{ h(X|Y) }[/math]定义为：

[math]\displaystyle{ h(X|Y) = -\int_{\mathcal X, \mathcal Y} f(x,y)\log f(x|y)\,dx dy }[/math]

(Eq.2)

属性 Properties

与离散随机变量的条件熵相比，条件微分熵可能为负。

与离散情况一样，微分熵也有链式法则：

[math]\displaystyle{ h(Y|X)\,=\,h(X,Y)-h(X) }[/math]

但是请注意，如果所涉及的微分熵不存在或无限，则此法则可能不成立。

联合微分熵 Joint differential entropy也用于定义连续随机变量之间的互信息：

[math]\displaystyle{ \operatorname{I}(X,Y)=h(X)-h(X|Y)=h(Y)-h(Y|X) }[/math]

当且仅当[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]是独立的，[math]\displaystyle{ h(X|Y) \le h(X) }[/math]等号成立。

与估计量误差的关系Relation to estimator error

条件微分熵在估计量的期望平方误差上有一个下限。对于任何随机变量[math]\displaystyle{ X }[/math]，观察值[math]\displaystyle{ Y }[/math]和估计量[math]\displaystyle{ \widehat{X} }[/math]，以下条件成立：

[math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[\bigl(X - \widehat{X}{(Y)}\bigr)^2\right] \ge \frac{1}{2\pi e}e^{2h(X|Y)} }[/math]

这与来自量子力学 quantum mechanics的不确定性原理 uncertainty principle有关。

量子理论泛化 Generalization to quantum theory

在量子信息论 quantum information theory中，条件熵被广义化为条件量子熵。后者可以采用负值，这与经典方法不同。

另见

• 熵
• 互信息
• 条件量子熵 Conditional quantum entropy
• 信息差异 Variation of information
• 熵幂不等式 Entropy power inequality
• 似然函数 Likelihood function

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