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一种系统单位温度的不能用于做有用功的热能量度。<ref>{{cite web|title=Entropy: Definition and Equation|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/189035/entropy|website=Encyclopædia Britannica|accessdate=22 May 2016}}</ref>

一种系统单位温度的不能用于做有用功的热能量度。<ref>{{cite web|title=Entropy: Definition and Equation|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/189035/entropy|website=Encyclopædia Britannica|accessdate=22 May 2016}}</ref>

在玻尔兹曼的定义中，熵是热力学平衡系统中可能的微观状态（或多个微观状态）数量的量度。与玻耳兹曼定义一致，热力学第二定律需要重新措词，以使熵随着时间的推移而增加，尽管基本原理保持不变。

在玻尔兹曼的定义中，熵是热力学平衡系统中可能的微观状态（或多个微观状态）数量的量度。与玻耳兹曼定义一致，热力学第二定律需要重新措词，以使熵随着时间的推移而增加，尽管基本原理保持不变。

===有序和无序===

===有序和无序===

其中<math>C_\text{D}</math>是系统的“无序”容量，它是包含在允许的系综中的部分的熵，<math>C_\text{I}</math>是系统的“信息”容量，类似于Shannon的[https://en.wikipedia.org/wiki/Channel_capacity 信道容量]，以及<math>C_\text{O}</math>是系统的“有序”容量。<ref name="Brooks" />

其中<math>C_\text{D}</math>是系统的“无序”容量，它是包含在允许的系综中的部分的熵，<math>C_\text{I}</math>是系统的“信息”容量，类似于Shannon的[https://en.wikipedia.org/wiki/Channel_capacity 信道容量]，以及<math>C_\text{O}</math>是系统的“有序”容量。<ref name="Brooks" />

===能量传播===

===能量传播===

熵的概念可以定性地描述为特定温度下能量扩散的量度。<ref>{{cite web|last1=Lambert |first1=Frank L. |title=A Student's Approach to the Second Law and Entropy |url=http://entropysite.oxy.edu/students_approach.html |website=entropysite.oxy.edu |accessdate=22 May 2016 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090717175331/http://entropysite.oxy.edu/students_approach.html |archivedate=17 July 2009 }}</ref>在经典热力学的历史早期就已经使用了类似的术语，并且随着统计热力学和量子理论的发展，已经通过混合或“散布”每种成分的总能量来描述熵的变化。系统在其特定的量化能级上的分布。

熵的概念可以定性地描述为特定温度下能量扩散的量度。<ref>{{cite web|last1=Lambert |first1=Frank L. |title=A Student's Approach to the Second Law and Entropy |url=http://entropysite.oxy.edu/students_approach.html |website=entropysite.oxy.edu |accessdate=22 May 2016 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090717175331/http://entropysite.oxy.edu/students_approach.html |archivedate=17 July 2009 }}</ref>在经典热力学的历史早期就已经使用了类似的术语，并且随着统计热力学和量子理论的发展，已经通过混合或“散布”每种成分的总能量来描述熵的变化。系统在其特定的量化能级上的分布。

混乱（disorder）和混沌（chaos）一词中的歧义通常具有直接与均衡相反的含义，对大多数学生而言，它们造成了广泛的困惑并阻碍了对熵的理解。<ref>{{cite journal|last1=Watson|first1=J.R.|last2=Carson|first2=E.M.|title=Undergraduate students' understandings of entropy and Gibbs free energy.|journal=University Chemistry Education|date=May 2002|volume=6|issue=1|page=4|url=http://www.rsc.org/images/Vol_6_No1_tcm18-7042.pdf|issn=1369-5614}}</ref>如热力学第二定律所示，在一个[https://en.wikipedia.org/wiki/Isolated_system 孤立系统]中，处于不同温度的内部趋向于调节至单个均匀温度，从而产生平衡。最近开发的一种教学方法方法避免了模棱两可的术语，并描述了这种能量的扩散，如分散，即使总能量根据热力学第一定律保持恒定，也导致工作所需的微分损失<ref>{{cite journal|last1=Lambert|first1=Frank L.|title=Disorder – A Cracked Crutch for Supporting Entropy Discussions|journal=Journal of Chemical Education|date=February 2002|volume=79|issue=2|pages=187|doi=10.1021/ed079p187|bibcode=2002JChEd..79..187L|url=https://semanticscholar.org/paper/92015e752abfaa52a3e80fa26fddf9583e900815}}</ref>。（比较下一节的讨论）。例如，物理化学家[https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Atkins 彼得·阿特金斯 Peter Atkins]以前曾写过分散导致无序状态的文章，现在写道“自发变化总是伴随着能量的分散”。<ref>{{Cite book|last=Atkins|first=Peter|title=The Second Law|publisher=Scientific American Library|year=1984|isbn=978-0-7167-5004-8|url-access=registration|url=https://archive.org/details/secondlaw0000atki}}</ref>

混乱（disorder）和混沌（chaos）一词中的歧义通常具有直接与均衡相反的含义，对大多数学生而言，它们造成了广泛的困惑并阻碍了对熵的理解。<ref>{{cite journal|last1=Watson|first1=J.R.|last2=Carson|first2=E.M.|title=Undergraduate students' understandings of entropy and Gibbs free energy.|journal=University Chemistry Education|date=May 2002|volume=6|issue=1|page=4|url=http://www.rsc.org/images/Vol_6_No1_tcm18-7042.pdf|issn=1369-5614}}</ref>如热力学第二定律所示，在一个[https://en.wikipedia.org/wiki/Isolated_system 孤立系统]中，处于不同温度的内部趋向于调节至单个均匀温度，从而产生平衡。最近开发的一种教学方法方法避免了模棱两可的术语，并描述了这种能量的扩散，如分散，即使总能量根据热力学第一定律保持恒定，也导致工作所需的微分损失<ref>{{cite journal|last1=Lambert|first1=Frank L.|title=Disorder – A Cracked Crutch for Supporting Entropy Discussions|journal=Journal of Chemical Education|date=February 2002|volume=79|issue=2|pages=187|doi=10.1021/ed079p187|bibcode=2002JChEd..79..187L|url=https://semanticscholar.org/paper/92015e752abfaa52a3e80fa26fddf9583e900815}}</ref>。（比较下一节的讨论）。例如，物理化学家[https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Atkins 彼得·阿特金斯 Peter Atkins]以前曾写过分散导致无序状态的文章，现在写道“自发变化总是伴随着能量的分散”。<ref>{{Cite book|last=Atkins|first=Peter|title=The Second Law|publisher=Scientific American Library|year=1984|isbn=978-0-7167-5004-8|url-access=registration|url=https://archive.org/details/secondlaw0000atki}}</ref>

===将熵与能量有用性联系===

===将熵与能量有用性联系===

根据以上所述，有可能（在热环境中）将较低的熵视为特定能量的有效性或有用性的指标或度量。<ref>{{Cite journal|title=Book Review of "A Science Miscellany"|journal=Khaleej Times|publisher=UAE: Galadari Press|date=23 February 1993|page=xi|author=Sandra Saary |url=http://dlmcn.com/entropy2.html}}</ref>这是因为在较高温度下（即，具有较低的熵）提供的能量比在较低温度下提供的相同数量的能量更有用。将热的流体与冷的流体混合会产生一个中间温度的流体，其中熵的总体增加表示永远无法弥补的“损失”。

根据以上所述，有可能（在热环境中）将较低的熵视为特定能量的有效性或有用性的指标或度量。<ref>{{Cite journal|title=Book Review of "A Science Miscellany"|journal=Khaleej Times|publisher=UAE: Galadari Press|date=23 February 1993|page=xi|author=Sandra Saary |url=http://dlmcn.com/entropy2.html}}</ref>这是因为在较高温度下（即，具有较低的熵）提供的能量比在较低温度下提供的相同数量的能量更有用。将热的流体与冷的流体混合会产生一个中间温度的流体，其中熵的总体增加表示永远无法弥补的“损失”。

因此，宇宙的熵在稳步增加这一事实，意味着其总能量正在变得不那么有用：最终，这导致了“宇宙热寂学说”。<ref>{{Cite journal|last=Lathia|first=R|last2=Agrawal|first2=T|last3=Parmar|first3=V|last4=Dobariya|first4=K|last5=Patel|first5=A|date=2015-10-20|title=Heat Death (The Ultimate Fate of the Universe)|url=http://rgdoi.net/10.13140/RG.2.1.4158.2485|doi=10.13140/rg.2.1.4158.2485}}</ref>

因此，宇宙的熵在稳步增加这一事实，意味着其总能量正在变得不那么有用：最终，这导致了“宇宙热寂学说”。<ref>{{Cite journal|last=Lathia|first=R|last2=Agrawal|first2=T|last3=Parmar|first3=V|last4=Dobariya|first4=K|last5=Patel|first5=A|date=2015-10-20|title=Heat Death (The Ultimate Fate of the Universe)|url=http://rgdoi.net/10.13140/RG.2.1.4158.2485|doi=10.13140/rg.2.1.4158.2485}}</ref>

===熵和绝热程度===

===熵和绝热程度===

一种完全基于平衡状态之间的[https://en.wikipedia.org/wiki/Adiabatic_accessibility 绝热可达性]的熵的定义是[https://en.wikipedia.org/wiki/Elliott_H._Lieb 埃利奥特·莱伯 Elliott H.Lieb]和[https://en.wikipedia.org/wiki/Jakob_Yngvason 雅各布·瓦森 Jakob Yngvason\在1999年<ref>{{cite journal|last1=Lieb|first1=Elliott H.|last2=Yngvason|first2=Jakob|title=The physics and mathematics of the second law of thermodynamics|journal=Physics Reports|date=March 1999|volume=310|issue=1|pages=1–96|doi=10.1016/S0370-1573(98)00082-9|arxiv=cond-mat/9708200|bibcode=1999PhR...310....1L}}</ref>建立的。其中几项先驱工作，包括1909年 Constantin Carathéodory开创性的工作<ref>{{cite journal|last1=Carathéodory|first1=C.|title=Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik|journal=Mathematische Annalen|date=September 1909|volume=67|issue=3|pages=355–386|doi=10.1007/BF01450409|language=German}}</ref>和R. Giles的论文。<ref>{{cite book|author=R. Giles|title=Mathematical Foundations of Thermodynamics: International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=oK03BQAAQBAJ|date=2016|publisher=Elsevier Science|isbn=978-1-4831-8491-3}}</ref>在Lieb和Yngvason的设定中，首先是对所考虑的单位物质，选择两个参考状态<math>X_0</math>和 <math>X_1</math>，前者能绝热地到达后者但反之不成立。在此条件下的一个简单但重要的结果是，除了通过选择每个化学元素的单位和可加常数之外，还通过以下特性来唯一地确定熵：熵关于绝热可及性、复合系统的可加性以及广延扩展的关系而言单调递增。

一种完全基于平衡状态之间的[https://en.wikipedia.org/wiki/Adiabatic_accessibility 绝热可达性]的熵的定义是[https://en.wikipedia.org/wiki/Elliott_H._Lieb 埃利奥特·莱伯 Elliott H.Lieb]和[https://en.wikipedia.org/wiki/Jakob_Yngvason 雅各布·瓦森 Jakob Yngvason\在1999年<ref>{{cite journal|last1=Lieb|first1=Elliott H.|last2=Yngvason|first2=Jakob|title=The physics and mathematics of the second law of thermodynamics|journal=Physics Reports|date=March 1999|volume=310|issue=1|pages=1–96|doi=10.1016/S0370-1573(98)00082-9|arxiv=cond-mat/9708200|bibcode=1999PhR...310....1L}}</ref>建立的。其中几项先驱工作，包括1909年 Constantin Carathéodory开创性的工作<ref>{{cite journal|last1=Carathéodory|first1=C.|title=Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik|journal=Mathematische Annalen|date=September 1909|volume=67|issue=3|pages=355–386|doi=10.1007/BF01450409|language=German}}</ref>和R. Giles的论文。<ref>{{cite book|author=R. Giles|title=Mathematical Foundations of Thermodynamics: International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=oK03BQAAQBAJ|date=2016|publisher=Elsevier Science|isbn=978-1-4831-8491-3}}</ref>在Lieb和Yngvason的设定中，首先是对所考虑的单位物质，选择两个参考状态<math>X_0</math>和 <math>X_1</math>，前者能绝热地到达后者但反之不成立。在此条件下的一个简单但重要的结果是，除了通过选择每个化学元素的单位和可加常数之外，还通过以下特性来唯一地确定熵：熵关于绝热可及性、复合系统的可加性以及广延扩展的关系而言单调递增。

===量子力学中的熵===

===量子力学中的熵===

即在这样的基础上，密度矩阵是对角的。

即在这样的基础上，密度矩阵是对角的。

Von Neumann的著作《Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik》建立了严格的量子力学数学框架。他在这项工作中提供了一种测量理论，其中通常将[https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_function_collapse 波函数坍缩]的概念描述为不可逆过程（所谓的冯·诺依曼或射影测量）。利用这个概念，结合密度矩阵，他将熵的经典概念扩展到了量子领域。

Von Neumann的著作《Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik》建立了严格的量子力学数学框架。他在这项工作中提供了一种测量理论，其中通常将[https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_function_collapse 波函数坍缩]的概念描述为不可逆过程（所谓的冯·诺依曼或射影测量）。利用这个概念，结合密度矩阵，他将熵的经典概念扩展到了量子领域。

===信息论===

===信息论===

当k是玻尔兹曼常数时，这就是著名的[https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann%27s_entropy_formula 玻尔兹曼熵]公式，这可以解释为每纳特的热力学熵。有许多种方法可以证明“信息熵”和“物理熵”的等价性，即“香农熵”和“玻尔兹曼熵”的等价性。然而，一些作者主张放弃信息论中H函数的熵一词，而改用Shannon的另一个术语“不确定性”。<ref>Schneider, Tom, DELILA system (Deoxyribonucleic acid Library Language), (Information Theory Analysis of binding sites), Laboratory of Mathematical Biology, National Cancer Institute, Frederick, MD</ref>

当k是玻尔兹曼常数时，这就是著名的[https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann%27s_entropy_formula 玻尔兹曼熵]公式，这可以解释为每纳特的热力学熵。有许多种方法可以证明“信息熵”和“物理熵”的等价性，即“香农熵”和“玻尔兹曼熵”的等价性。然而，一些作者主张放弃信息论中H函数的熵一词，而改用Shannon的另一个术语“不确定性”。<ref>Schneider, Tom, DELILA system (Deoxyribonucleic acid Library Language), (Information Theory Analysis of binding sites), Laboratory of Mathematical Biology, National Cancer Institute, Frederick, MD</ref>

===熵的实验测量===

===熵的实验测量===