基本再生数

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基本再生数（basic reproduction number）是传染病研究中一个重要的参量，记为R₀，下面给出它的定义。考虑疾病传播的最初阶段，此时只有少数的疾病案例，其他人都是易感个体，传染病学术语中通常称为本地人口（native population）。假如，其中一个易感个体，在疾病爆发以后被感染，那么，基本再生数指的是，这个被传染的人，在他恢复之前（恢复健康，不再具有传染性），将疾病平均传染给了多少个人。例如，如果每个被感染者将疾病平均又传染给了其他两个人，则R₀=2。如果有一半的人将疾病分别又传染给另一个人，而剩余的一半人没有传染给其他任何人，那么R₀=1/2，依次类推。

如果R₀=2，那么，每个得病的人，就会平均传染两个人，而这两个人中的每一个，又会再传染另外两个人。如此下去，每一轮，新的病例，都会加倍，从而出现指数增长规律。相反，如果R₀=1/2，那么，疾病就会以指数形式衰减。R₀=1，是增长和减少的分界点。因此，它也表示传播临界值（epidemic threshold），偏离此值时，疾病要么增长，要么消亡。

以SIR模型为例【将特定人群的人口结构，划分为了易感染人群（S）、感染人群（R）以及移出者人群（R），通过对三种人群的动态变化的研究，来模拟流行病的发展规律】，其R₀值，可以通过如下方式计算得到:

由于SIR模型中，任意时间间隔[math]\displaystyle{ \Delta\tau }[/math]内，个体恢复的概率为[math]\displaystyle{ \gamma\Delta\tau }[/math]，不能恢复的概率为[math]\displaystyle{ 1-\gamma\Delta\tau }[/math]。因此，在总时间[math]\displaystyle{ \tau }[/math]后，个体仍然处于感染状态的概率为[math]\displaystyle{ \begin{equation} \lim_{\Delta\tau\to0}(1-\gamma\Delta\tau)^{\tau/\Delta\tau}=e^{-\gamma\tau}, \end{equation} }[/math] 同时，个体保持感染状态，然后在[math]\displaystyle{ \tau }[/math]到[math]\displaystyle{ \tau+d\tau }[/math]区间恢复的概率[math]\displaystyle{ p(\tau)d\tau }[/math]可以表示为上述概率与[math]\displaystyle{ \gamma d\tau }[/math]的乘积，即 [math]\displaystyle{ \begin{equation} p(\tau)d\tau=\gamma e^{-\gamma\tau}d\tau, \end{equation} }[/math] 通过上式我们得到了感染个体在恢复以前处于感染态的时间长度[math]\displaystyle{ \tau }[/math]的分布。因为，基本再生数R₀指的就是，这个被传染的人，在他恢复之前，将疾病平均传染给了多少个人。所以，对于SIR模型的R₀值，如果一个人在时间[math]\displaystyle{ \tau }[/math]内仍然具有传染性，则在这段时间内，与之接触的人的期望值为[math]\displaystyle{ \beta\tau }[/math]。R₀的定义是针对本地人口给出的，而在本地人口中，他接触到的所有人都是易感者，他接触到的所有人，都有可能被传染。因此，[math]\displaystyle{ \beta\tau }[/math]也就是感染个体将传染的总人数。对[math]\displaystyle{ \beta\tau }[/math]中的[math]\displaystyle{ \tau }[/math]的分布取平均，就可以得到R₀的平均值：[math]\displaystyle{ \begin{equation} R_0=\beta\gamma\int^\infty_0 \tau e^{-\gamma\tau}d\tau=\frac{\beta}{\gamma}. \end{equation} }[/math]

此页参考来源： 网络科学引论. M. E. J. Newman著 郭世泽 陈哲 译 电子工业出版社