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'''离散时间 Discrete time'''将变量的值视为发生在不同的、分离的”时间点” ，或者等价于在整个非零时间区域(“时间段”)中没有变化，也就是说，时间被视为一个[[离散变量]] '''Discrete variable'''。因此当时间从一个时间周期移动到下一个时间周期时，非时间变量从一个值跳到另一个值。这种对时间的观测相当于一个数字时钟，如在一段时间内给出一个固定的读数10:37，然后跳到一个新的固定读数10:38，等等。在这个框架中，每个感兴趣的变量在每个时间段都被测量一次。任何两个时间周期之间的测量数量都是有限的。测量通常按照“时间”变量的连续[[整数]] '''Integer'''值进行。 | '''离散时间 Discrete time'''将变量的值视为发生在不同的、分离的”时间点” ，或者等价于在整个非零时间区域(“时间段”)中没有变化，也就是说，时间被视为一个[[离散变量]] '''Discrete variable'''。因此当时间从一个时间周期移动到下一个时间周期时，非时间变量从一个值跳到另一个值。这种对时间的观测相当于一个数字时钟，如在一段时间内给出一个固定的读数10:37，然后跳到一个新的固定读数10:38，等等。在这个框架中，每个感兴趣的变量在每个时间段都被测量一次。任何两个时间周期之间的测量数量都是有限的。测量通常按照“时间”变量的连续[[整数]] '''Integer'''值进行。 | ||
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2022年6月22日 (三) 19:51的版本
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在数学动力学 Mathematical dynamics中，离散时间 Discrete time和连续时间 Continuous time是两种可供选择的框架，这两种框架可以对随时间变化的变量 Variables进行建模。
离散时间 Discrete time
离散时间 Discrete time将变量的值视为发生在不同的、分离的”时间点” ，或者等价于在整个非零时间区域(“时间段”)中没有变化，也就是说，时间被视为一个离散变量 Discrete variable。因此当时间从一个时间周期移动到下一个时间周期时，非时间变量从一个值跳到另一个值。这种对时间的观测相当于一个数字时钟，如在一段时间内给出一个固定的读数10:37，然后跳到一个新的固定读数10:38，等等。在这个框架中，每个感兴趣的变量在每个时间段都被测量一次。任何两个时间周期之间的测量数量都是有限的。测量通常按照“时间”变量的连续整数 Integer值进行。
离散信号或离散时间信号是由一序列 Sequence量组成的时间序列 Time series 。
与连续时间信号不同，离散时间信号不是连续变量的函数，然而，它可以是从连续时间信号中采样 Sampling得到的。当一个离散时间信号是通过在均匀间隔时间对序列进行采样的，它就有一个关于采样率 Sampling rate的问题。
离散时间信号可能有几种来源，但通常可分为两类:[1]
连续时间 Continuous time
相反，连续时间将变量视为可能仅在无限 Infinitesimally小的时间内具有的特定值，在任意两个时间点之间有无限 Infinite个其他时间点。变量“时间”的范围是整个实数线 Real number line，或者取决于上下文，取决于它的某个子集，如非负实数。因此时间被看作是一个连续变量 Continuous variable。
连续信号 Continuous signal 或连续时间信号 Continuous-time signal是可变的量 Quantity (信号 Signal)，它的域，通常是一个连续体 Continuum(例如，实数 Connected的连通 Connected区间)。也就是说，函数的域是一个不可数的集合 Uncountable set。函数本身不需要是连续 Continuous的。相比之下，离散时间 Discrete time信号像自然数 Natural numbers一样有一个可数 Countable域。
具有连续振幅和时间的信号称为连续时间信号或模拟信号 Analog signal。这(一个信号 Signal)在任何时刻都有一定的值。电信号与温度、压力、声音等物理量成正比，且通常是连续信号。连续信号的其他例子，有如正弦波、余弦波、三角波等。
信号是定义在一个域上，这个域可能是有限的，也可能不是有限的，并且存在一个从该域到信号值的函数映射。时间变量的连续性，与实数 Real numbers密度定律有关，意味着信号值可以在任意时间点找到。
无限持续信号的一个典型例子是:
[math]\displaystyle{ f(t) = \sin(t), \quad t \in \mathbb{R} }[/math]
上述信号的有限持续时间对应的可以是:
[math]\displaystyle{ f(t) = \sin(t), \quad t \in [-\pi,\pi] }[/math] 和 [math]\displaystyle{ f(t) = 0 }[/math] 否则.
有限(或无限)持续时间信号的值可能是有限的，也可能不是。比如说,
[math]\displaystyle{ f(t) = \frac{1}{t}, \quad t \in [0,1] }[/math] 和 [math]\displaystyle{ f(t) = 0 }[/math] 否则,
是一个有限持续时间的信号，但它取一个无限的值 [math]\displaystyle{ t = 0\, }[/math].
在许多学科中，惯例是连续信号必须总是有一个有限值，这在物理信号的情况下更有意义。
在某些情况下，只要信号在任何有限区间上可积，无限奇点是可以接受的(例如, [math]\displaystyle{ t^{-1} }[/math] 该信号在无穷远处不可积，但 [math]\displaystyle{ t^{-2} }[/math] 是可积的).
任何模拟信号本质上都是连续的。数字信号处理 Digital signal processing中使用的是离散时间信号 Discrete-time signals，可以通过对连续信号的采样 Sampling和量化 Quantization来获得。
连续信号也可以定义在时间以外的独立变量上。另一个非常常见的独立变量是空间，它在图像处理 Image processing中特别有用，在图像处理中使用两个空间维度。
相关背景 Relevant contexts
当涉及到经验测量 Empirical measurements时，通常采用离散时间，因为通常只能按顺序测量变量。例如，虽然经济活动 Economic activity实际上是连续发生的，但是没有经济完全停顿的时刻，只能对经济活动进行分散的测量。出于这个原因，例如，公布的国内生产总值 Gross domestic product 数据将显示一系列的季度 Quarterly值。
当人们试图根据其他变量和/或他们自己先前的值对这些变量进行实证解释时，他们使用时间序列 Time series或回归 Regression方法，在这些方法中，变量被索引，下标表示观测发生的时间周期。例如，yt 可能是指在非特定时间段 t 观察到的收入 Income值，y3 是指在第三时间段观察到的收入值，等等。
此外，当研究人员试图发展一个理论，以解释什么是观察下的离散时间，往往理论本身是表达在离散时间，以促进发展的时间序列或回归模型。
另一方面，数学上更容易 Tractable于处理在连续时间上建立理论模型 Theoretical models，而在物理学 Physics等领域，精确的描述往往需要使用连续时间。在连续时间上下文中，未指定时间点上变量 y 的值通常表示为 y (t) ，或者，如果含义清楚，则简单地表示为 y。
方程的类型 Types of equations
离散时间 Discrete time
Discrete time makes use of difference equations, also known as recurrence relations. An example, known as the logistic map or logistic equation, is
离散时间利用差分方程 Difference equations，也称为递推关系。一个被称为逻辑图 Logistic map或逻辑方程的例子是
[math]\displaystyle{ x_{t+1} = rx_t(1-x_t), }[/math]
其中 r 是2到4包含的参数，x 是0到1包含的变量，其周期t的值对下一周期t+1的值产生非线性影响。例如，如果 [math]\displaystyle{ r=4 }[/math] 和 [math]\displaystyle{ x_1 = 1/3 }[/math]，那么对于 t=1，我们有 [math]\displaystyle{ x_2=4(1/3)(2/3)=8/9 }[/math]，对于t=2,我们有[math]\displaystyle{ x_3=4(8/9)(1/9)=32/81 }[/math]。
另一个例子模型的价格 Price P 的调整，以响应非零超额需求 Excess demand的产品如下[math]\displaystyle{ P_{t+1} = P_t + \delta \cdot f(P_t,...) }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ \delta }[/math] 是小于或等于1的正调整速度参数，而 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是超额需求函数 Excess demand function。
连续时间 Continuous time
连续时间是利用的差分方程 Difference equations。例如，对产品非零超额需求 Excess demand价格 P 的调整可以在连续时间内建模为[math]\displaystyle{ \frac{dP}{dt}=\lambda \cdot f(P,...) }[/math]
其中左边是价格对时间的一阶导数 First derivative(即价格变化率) ，[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] 是调整速度参数，可以是任意正的有限数字，[math]\displaystyle{ f }[/math] 又是超额需求函数。
图形描绘 Graphical depiction
在离散时间中测量的一个变量可以绘制为一个阶跃函数 Step function，其中每个时间周期在水平轴 Horizontal axis上给定一个与每个其他时间周期相同长度的区域，测量的变量绘制为在整个时间周期区域内保持不变的高度。在这种图形技术中，图表显示为一系列水平步骤。或者，可以将每个时间段视为时间上的一个分离点，通常位于水平轴上的一个整数值处，测量变量绘制为该时间轴点之上的一个高度。在这种技术中，图表显示为一组点。
以连续时间测量的变量值被绘制为连续函数 Continuous function，因为时间域被认为是整个实轴或至少它的一些连接部分。