后门准则

为何需要后门准则

---

在结构因果图中，我们往往需要估计变量[math]\displaystyle{ X }[/math]对另一个变量[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果效应，而结构因果图也随着图中节点数量的增加变得异常复杂，进一步加大了因果效应估计的难度。在计算[math]\displaystyle{ X }[/math]对[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果效应时，我们必须保证排除一切存在与变量[math]\displaystyle{ X }[/math]与[math]\displaystyle{ Y }[/math]之间的虚假关系，即非[math]\displaystyle{ X }[/math]对[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果途径，同时保持变量[math]\displaystyle{ X }[/math]与[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果途径完好无缺。换言之，寻找一个条件节点集合[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]使得能阻断任何含有指向[math]\displaystyle{ X }[/math]的后门路径（指可能使得[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]相关但并不传递X产生的因果效应），因为如果不阻断这些后门路径，它们会混淆[math]\displaystyle{ X }[/math]对[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果效应。而后门准则就是用于快速寻找节点集合[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]的有效判断准则， 是结构因果图在实际应用中使用最广泛的基础准则之一。

定义

---

给定有向无环图中的一对有序变量[math]\displaystyle{ (X,Y) }[/math]，如果变量集合[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]满足：

1. [math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]中没有[math]\displaystyle{ X }[/math]的后代节点；
2. [math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]阻断了[math]\displaystyle{ X }[/math]与[math]\displaystyle{ Y }[/math]之间的每条[math]\displaystyle{ X }[/math]的后门路径和伪路径，则称[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]满足关于[math]\displaystyle{ (X,Y) }[/math]的后门准则。

注意：有序变量[math]\displaystyle{ (X,Y) }[/math]的后门路径指在变量[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]之间的任何指向[math]\displaystyle{ X }[/math]的路径，而伪路径指所有其他既不是[math]\displaystyle{ X }[/math]指向[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果路径、也不是指向[math]\displaystyle{ X }[/math]的后门路径、但会连通变量[math]\displaystyle{ X }[/math]与[math]\displaystyle{ Y }[/math]的其他路径，如图2中的以变量[math]\displaystyle{ W }[/math]为条件打开的[math]\displaystyle{ X\rightarrow W \leftarrow Z\leftarrow T\rightarrow Y }[/math]路径。

第一个条件是为了确保条件节点集合不能包含变量[math]\displaystyle{ X }[/math]的后代节点，因为在进行评估[math]\displaystyle{ X }[/math]对变量[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果效应时，会对变量[math]\displaystyle{ X }[/math]采取干预，继而影响变量[math]\displaystyle{ X }[/math]的后代节点，从而影响变量[math]\displaystyle{ Y }[/math]，但以[math]\displaystyle{ X }[/math]的后代节点为条件会阻断这些路径。第二个条件是为了阻断所有一切伪路径以及条件节点集合引入的新伪路径。

如果变量集合[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]满足[math]\displaystyle{ (X,Y) }[/math]的后门准则，那么[math]\displaystyle{ X }[/math]对[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果效应可以对变量集[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]的校正得到，即对[math]\displaystyle{ \mathbf{Z} }[/math]中所有变量进行概率求和，具体计算如下：

[math]\displaystyle{ P(Y=y|do(X=x)) = \sum_zP(Y=y|X=x, \mathbf{Z}=z)P(\mathbf{Z}=z) }[/math]

后门准则实例

---

实例1

图1：[math]\displaystyle{ X }[/math]：新药；[math]\displaystyle{ Y }[/math]:痊愈率；[math]\displaystyle{ W }[/math]:体重；[math]\displaystyle{ Z }[/math]:经济社会地位

试图获取药物[math]\displaystyle{ X }[/math]对痊愈率[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果效应，同时还测量了对痊愈率有影响的体重[math]\displaystyle{ W }[/math]。另外，我们知道经济社会地位[math]\displaystyle{ Z }[/math]同时影响患者体重和患者对接受治疗的选择，但是在这个研究中并没有关于经济社会地位的统计数据。

在图1的因果图中包含四个变量[math]\displaystyle{ X }[/math]、[math]\displaystyle{ Y }[/math]、[math]\displaystyle{ W }[/math]、[math]\displaystyle{ Z }[/math]四个变量，现在我们估计变量[math]\displaystyle{ X }[/math]对变量[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果效应，即搜索满足有向变量对[math]\displaystyle{ (X，Y) }[/math]的后门准则的变量集合。不难发现，节点[math]\displaystyle{ W }[/math]（非[math]\displaystyle{ X }[/math]的后代）阻断了指向[math]\displaystyle{ X }[/math]的后门路径[math]\displaystyle{ X\leftarrow Z \rightarrow W \rightarrow Y }[/math]，但没有创造新的后门路径或者改变从[math]\displaystyle{ X }[/math]到变量[math]\displaystyle{ Y }[/math]的有向路径，因此单个节点[math]\displaystyle{ W }[/math]满足后门准则，因此，只要校正[math]\displaystyle{ W }[/math]就能得到从变量[math]\displaystyle{ X }[/math]到变量[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果效应，即

[math]\displaystyle{ P(Y=y|do(X=x)) = \sum_wP(Y=y|X=x, W=w)P(W=w) }[/math]

实例2

---

在寻找满足后门准则的节点集合时，需要特别关注对撞节点。

图2：基于对撞节点[math]\displaystyle{ W }[/math]的[math]\displaystyle{ w }[/math]-特定因果效应[math]\displaystyle{ P(y|do(x),w) }[/math]的因果图

在图2中，当节点集合为空集时，没有存在从[math]\displaystyle{ Y }[/math]到[math]\displaystyle{ X }[/math]的后门路径。但是，如果节点集合中包含对撞节点[math]\displaystyle{ W }[/math]，则打开了路径[math]\displaystyle{ X\rightarrow W \leftarrow Z\leftarrow T\rightarrow Y }[/math]（图中黄色路径），该路径不是从[math]\displaystyle{ X }[/math]到[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果路径也不是后门路径，但是伪路径，打开这条路径会产生偏差并导致错误的估计。这也意味着，对[math]\displaystyle{ W }[/math]的每个值分别计算[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]的关联性，不会得到[math]\displaystyle{ X }[/math]对[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果效应，甚至对于[math]\displaystyle{ W }[/math]的每个值计算[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]的关联性也是错误的。

那么，当指定[math]\displaystyle{ W }[/math]为一个确定值[math]\displaystyle{ w }[/math]时，如何计算[math]\displaystyle{ X }[/math]对[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果效应？解决方法是选择其他变量来阻断由[math]\displaystyle{ W }[/math]打开的路径。例如，选择变量[math]\displaystyle{ T }[/math]为条件，仍可阻断[math]\displaystyle{ X\rightarrow W \leftarrow Z\leftarrow T\rightarrow Y }[/math]，因此，为了计算[math]\displaystyle{ w }[/math]-特定因果效应[math]\displaystyle{ P(y|do(x),w) }[/math]，可以对变量[math]\displaystyle{ T }[/math]进行校正：

[math]\displaystyle{ P(Y=y|do(X=x)， W=w) = \sum_tP(Y=y|X=x, W=w,T=t)P(T=t|X=x, W=w) }[/math]

[math]\displaystyle{ w }[/math]-特定因果效应[math]\displaystyle{ P(y|do(x),w) }[/math]表明[math]\displaystyle{ X }[/math]对[math]\displaystyle{ Y }[/math]的因果效应依据[math]\displaystyle{ W }[/math]值的变化而改变。

实例3

---

在某些因果图中，校正对撞节点有时候是不可避免的，如图3所示。

图3：必须校正对撞节点[math]\displaystyle{ Z }[/math]的因果图

在图3中，从[math]\displaystyle{ X }[/math]到[math]\displaystyle{ Y }[/math]有四条后门路径（图中紫色路径），而且都经过[math]\displaystyle{ Z }[/math]节点。在路径[math]\displaystyle{ X\leftarrow E \rightarrow Z \leftarrow A \rightarrow Y }[/math]中， 变量[math]\displaystyle{ Z }[/math]节点是一个对撞节点，以[math]\displaystyle{ Z }[/math]为条件会导致这条路径联通。因此，要阻断所有四条后门路径，可以选择包含变量[math]\displaystyle{ Z }[/math]的变量集合，如[math]\displaystyle{ \{Z,A \} }[/math]、[math]\displaystyle{ \{Z,E \} }[/math]、[math]\displaystyle{ \{Z,A,E \} }[/math]。

实例4 - 辛普森悖论

图4：[math]\displaystyle{ X }[/math]：代表药物；[math]\displaystyle{ Y }[/math]:痊愈；[math]\displaystyle{ Z }[/math]:性别

为了确定药物在人群中的有效性，设想一种假设性的干预措施，即对整个人群统一服用这种药物，并与补充干预下的痊愈率进行比较，补充干预指阻止每个人服用药物。用[math]\displaystyle{ do(X=1) }[/math]表示第一种干预，用[math]\displaystyle{ do(X=0) }[/math]表示第二种干预，现在要估计它们的差异：

[math]\displaystyle{ P(Y=y|do(X=1)) - P(Y=y|do(X=0)) }[/math]

在没有因果关联的情况下，无法从数据集本身估计因果效应，这就是辛普森悖论的教训，数据本身甚至不足以确定药物的作用是正面的还是负面的。但是借助图4的因果图模型，可以从数据中计算因果效应的大小。为此，以对图进行处理的形式模拟干预，即对模型中全体人群都服用了该药物。

表1.1 一种新药临床试验对比（考虑性别因素）

	患者服药情况		患者未服药情况
患者	痊愈患者数	痊愈率/%	痊愈患者数	痊愈率/%
男性患者	81例 (共87例)	93	234例 (共270例)	87
女性患者	192例 (共263例)	73	55例 (共80例)	69
合计	273例 (共350例)	78	289例 (共350例)	83

[math]\displaystyle{ \begin{alignat}{3} P(Y=1|do(X=1)) & = \sum_Z P(Y=1|X=1, Z=z)P(Z) \\ & = P(Y=1|X=1, Z=1)P(Z=1) + P(Y=1|X=1, Z=0)P(Z=0) \\ &= \frac{0.93*(87+270)}{700} + \frac{0.73*(263+80)}{700} = 0.832 \\ \end{alignat} }[/math]

同理，

[math]\displaystyle{ \begin{alignat}{3} P(Y=1|do(X=0)) & = \sum_Z P(Y=1|X=0, Z=z)P(Z) \\ & = P(Y=1|X=0, Z=1)P(Z=1) + P(Y=1|X=0, Z=0)P(Z=0) \\ & = \frac{0.87*(87+270)}{700} + \frac{0.69*(263+80)}{700} = 0.781 \end{alignat} }[/math]

因此，服用药物的效果和不服用药物的效果的差异为：

[math]\displaystyle{ \begin{alignat}{3} P(Y=1|do(X=1)) - P(Y=1|do(X=0)) & = 0.832 - 0.781 \\ & = 0.0502 \end{alignat} }[/math]

参考文献

---

1. Judea Pearl,Madelyn Glymour, Nicholas P. Jewell. Causal Inference in Statistics: A Primer

编者推荐

书籍推荐

《统计因果推理入门》封面

• 统计因果推理入门 对应英文Causal Inference in Statistics: A Primer

这本书非常适合初学者入门因果科学，这里面涉及到对结构因果模型的详细定义和阐述，非常清晰易懂。

• 为什么-关于因果的新科学

《为什么-关于因果关系的新科学》封面

在本书中，人工智能领域的权威专家朱迪亚·珀尔及其同事领导的因果关系革命突破多年的迷雾，厘清了知识的本质，确立了因果关系研究在科学探索中的核心地位。

关于这本书集智俱乐部邀请白楚研究员用100分钟，为大家详细介绍了Judea Pearl绘制的因果科学蓝图，作为一个起点，去拥抱因果革命。可以查看对应的视频分享解读《为什么》：攀登因果之梯

课程推荐

• 基于后门调整的因果推荐系统 | 第二季第十二期

这个视频邀请新加坡国立大学研究员冯福利老师介绍如何有效地将因果理论引入数据驱动的推荐模型，主要介绍通过引入后门调 整处理：1）流行度偏差；2）用户兴趣放大。

• 两套因果框架深度剖析：潜在结果模型与结构因果模型

这个视频内容来自集智俱乐部读书会-因果科学与Causal AI读书会第二季内容的分享，由英国剑桥大学及其学习组博士陆超超详细的阐述了潜在结果模型和结果因果模型，并介绍了两个框架的相互转化规律。

1. 讲述因果推断的两大框架：潜在结果模型和结构因果模型，讨论他们各自的优缺点以及他们之间的联系，详细介绍他们之间的转化规律。

2. 与大家一起深入探讨因果推断中最基本的概念、定理以及它们产生的缘由，了解每个概念背后的故事，从而建立起对因果更全面的感知。

3. 分享它们在不同学科中的具体的应用，包括社会科学、经济学、医学、机器学习等，借助这些应用，进一步启发大家用因果科学思维来思考和解决问题。

• 如何用信息视角理解现代因果模型框架？

这个视频内容来自集智俱乐部读书会-因果科学与Causal AI读书会第一季内容的分享，这个视频为大家串讲因果推理的相关论文，着眼与因果研究的源头，简单介绍哲学中的因果思考。其次重点是用因果之梯（她的信息视角--回答因果问题需要相应的信息）和一个例子，来理解现代因果建模框架；最后梳理因果推理和 AI 领域的融合，以及Causal AI 的强人工智能之路。

文章总结

因果科学入门读什么书？Y. Bengio博士候选人的研读路径推荐

前沿综述：因果推断与因果性学习研究进展

因果表征学习最新综述：连接因果科学和机器学习的桥梁

历时3个月，全球32位讲者，共同讲述因果科学与Causal AI的全景框架！

崔鹏：稳定学习——挖掘因果推理和机器学习的共同基础

因果科学：连接统计学、机器学习与自动推理的新兴交叉领域

因果观念新革命？万字长文，解读复杂系统背后的暗因果

周晓华：因果推断的数学基础和在医学中的应用

相关路径

• 因果科学与Casual AI读书会必读参考文献列表，这个是根据读书会中解读的论文，做的一个分类和筛选，方便大家梳理整个框架和内容。
• 因果推断方法概述,这个路径对因果在哲学方面的探讨，以及因果在机器学习方面应用的分析。
• 因果科学和 Causal AI入门路径，这条路径解释了因果科学是什么以及它的发展脉络。此路径将分为三个部分进行展开，第一部分是因果科学的基本定义及其哲学基础，第二部分是统计领域中的因果推断，第三个部分是机器学习中的因果（Causal AI）。
• 复杂网络动力学系统重构文献，这个路径是张江老师梳理了网络动力学重构问题，描述了动力学建模的常用方法和模型，并介绍了一些经典且重要的论文，这也是复杂系统自动建模读书会的主要论文来源，所以大部分都有解读视频。
• 因果纠缠集智年会——因果推荐系统分论坛关于因果推荐系统的参考文献和主要嘉宾介绍，来源是集智俱乐部的因果纠缠年会。

相关文献推荐

[1] W Wang,F Feng,X He: Deconfounded Recommendation for Alleviating Bias Amplification ,2021

[2] Wang W.,Feng F.,He X..et al.: Clicks can be Cheating: Counterfactual Recommendation for Mitigating Clickbait Issue ,SIGIR 2021

[3] Y Zhang,F Feng,He X.: Causal Intervention for Leveraging Popularity Bias in Recommendation[C]// SIGIR '21 ,The 44th International ACM SIGIR Conference on Research and Development in Information Retrieval. ACM,2021

[4] F Feng,J Zhang,X He: Empowering Language Understanding with Counterfactual Reasoning[C]// Findings of the Association for Computational ,2021

[5] Tianxin Wei,Fuli Feng,Jiawei Chen.et al.: Model-Agnostic Counterfactual Reasoning for Eliminating Popularity Bias in Recommender System ,arXiv:2010.15363,2021