“本征微观态”的版本间的差异

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2022年9月6日 (二) 14:47的版本

理论背景

系综(统计系综)

如果我们用概率来描述热系统,采用的方法一般是,设想一次又一次重复一个实验来测量一个系统的一种性质,因为我们无法控制它们的微观性质(由系统的微观态所描述),在尝试表述这个方法时,乔赛亚·威拉德·吉布斯(Josiah Willard Gibbs)在1902年提出了系综的概念 [1]。这是一种理想化的方法,在该方法中他考虑对系统进行大量想象的“影印”,其中每一个都代表了该系统所处的一个可能状态。

在物理学,特别是在统计物理学中,在统计物理中,系综代表一定条件下,一个体系的大量可能状态的集合。换句话说,系综是系统状态的一个概率分布。对一相同性质的体系,其微观状态(比如每个粒子的位置和速度)仍然可以大不相同。更进一步地说,统计系综是统计力学中用来描述单一系统的一组粒子系统 [2]

下面举一个例子来说明这样的表述。

考虑抛一枚硬币的实验,这样一个简单的实验只有两种可能的结果,“正面”或“反面”。原则上,如果我们能够确切地知道硬币是如何被抛出的,以及与硬币和桌子相互作用力等等信息,那么只要根据经典力学的理论进行一定的计算,实验的结果应该是完全可以预测的。实际上,关于这个实验详细的、精确的信息是无法获取的。所以对于某一次实验结果,我们不可能作出唯一的预测,可是实验的统计表述却是比较简单的。

为了展示抛掷一枚硬币的概率,我们考虑由N枚相同的硬币组成的系综(N是一个非常大的的值),当每一枚硬币都被抛掷后,系综的“面貌”在就在这张图中被展示出来了。

我们只要考虑由很大数目,[math]\displaystyle{ N }[/math]枚相似的硬币组成的一个系综,当这些硬币以同样的方式抛出,我们可以数出结果中硬币正反面的个数,进而得到正面的概率[math]\displaystyle{ p }[/math]和反面的概率[math]\displaystyle{ q }[/math]。统计理论希望能够预测这些概率。

现在考虑稍微复杂一点的掷N枚硬币的实验,由于抛掷任何一枚硬币都有两个可能的结果,那么掷N枚硬币就可以出现[math]\displaystyle{ 2×2×2×…×2=2^N }[/math]个可能结果中的任何一个。如果不是只讨论一组[math]\displaystyle{ N }[/math]枚硬币,而是考虑[math]\displaystyle{ N }[/math]个这样的组(每组有[math]\displaystyle{ N }[/math]枚硬币)所组成的系综,每组都以相似的方式抛掷硬币,那么值得我们探究的问题便是,[math]\displaystyle{ 2^N }[/math]个可能结果中,任何一个特殊的结果在系综中出现的概率为多大。

如果每一时刻体系的统计系综中,呈现任一特殊事件的体系数目是一样的(或等价地表示为:如果这个系综中任一特殊事件出现的概率与时间无关),那么就说这个系综是与时间无关的。这样的统计描述就为平衡提供一个非常清楚的定义:如果孤立宏观体系的一个统计系综是与时间无关的,那么这样一个体系就称为处于平衡。

吉布斯定义了三种主要的系综[1]

(1)微正则系综(microcanonical ensemble):系综里的每个体系具有相同的能量[1]

(2)正则系综(canonical ensemble):系综里的各体系可以和外界环境交换能量,这种能量交换将确定(并且定义)了系统的温度[1]

(3)巨正则系综(grand canonical ensemble):是正则系综的推广,各体系可以和外界环境交换能量和粒子,但系综内各个体系有相同的温度和化学势[1]


[note 1]

相变

临界点与临界现象

平衡态与非平衡态

定义

演化的傅里叶谱分析

本征微观态和相变的凝聚

本征微观态重整化群理论

重整化群背景

本征微观态的重整化群变换

在Ising模型上的应用

应用

在平衡系统中

在地球系统中

在金融系统中

在生命系统中

在交通系统中

注释

  1. In some cases the overcounting error is benign. An example is the choice of coordinate system used for representing orientations of three-dimensional objects. A simple encoding is the 3-sphere (e. g., unit quaternions) which is a double cover—each physical orientation can be encoded in two ways. If this encoding is used without correcting the overcounting, then the entropy will be higher by k log 2 per rotatable object and the chemical potential lower by kT log 2. This does not actually lead to any observable error since it only causes unobservable offsets.

参考资料

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Gibbs, Josiah Willard (1902). Elementary Principles in Statistical Mechanics. New York: Charles Scribner's Sons. 
  2. Rennie, Richard; Jonathan Law (2019). Oxford Dictionary of Physcis. pp. 458 ff. ISBN 978-0198821472. 

https://mp.weixin.qq.com/s/ehGrm1FPlkq7b6KATmIhTw