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| ===归一化的确定性与简并性=== | | ===归一化的确定性与简并性=== |
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− | 在[[Erik Hoel]]的原始论文中,确定性(Determinism)和简并性(Degeneracy,也可翻译为退化性)是以归一化的形式定义的,也就是将确定性和简并性除以了一个与系统尺度有关的量。为了区分,我们将归一化的对应量称为确定性系数和简并性系数。 | + | 在[[Erik Hoel]]等人的原始论文中,作者们定义的两个量分别是:确定性(Determinism)和简并性(Degeneracy,也可翻译为退化性),也就是: |
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− | 具体地,[[Erik Hoel]]等人将归一化后的有效信息,即Eff进行分解,分别对应确定性系数(determinism)和简并性(degeneracy)。 | + | <math> |
| + | EI=\underbrace{-\langle H(P_i)\rangle}_{Determinism}-\underbrace{\left[-H(\bar{P})\right]}_{Degeneracy} |
| + | </math> |
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| + | 本质上,这与上一节给出的定义没有本质区别。另外,原始的确定性和简并性是以归一化的形式呈现的,也就是将确定性和简并性除以了一个与系统尺度有关的量。为了区分,我们将归一化的对应量称为确定性系数和简并性系数。 |
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| + | 具体地,[[Erik Hoel]]等人将归一化后的有效信息,即Eff进行分解,分别对应确定性系数(determinism coefficient)和简并性(degeneracy coefficient)。 |
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| <math> | | <math> |
− | Eff = Determinism - Degeneracy | + | Eff = Determinism_Coefficient - Degeneracy_Coefficient |
| </math> | | </math> |
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第226行: |
| <math> | | <math> |
| \begin{aligned} | | \begin{aligned} |
− | &Determinism = \frac{1}{\log N}\sum_{i,j}p_{ij}\log{p_{ij}} \\ | + | &Determinism_Coeffient = \frac{1}{\log N}\sum_{i,j}p_{ij}\log\left(N\cdot {p_{ij}}\right) \\ |
− | &Degeneracy = \frac{1}{\log N}\sum_{i}\frac{p_{ij}}{N}\sum_j\log{\left(\frac{\sum_k p_{k,j}}{N}\right)} | + | &Degeneracy_Coeffient = \frac{1}{\log N}\sum_{i}\frac{p_{ij}}{N}\sum_j\log{\left(\sum_k p_{k,j}\right)} |
| \end{aligned} | | \end{aligned} |
| </math> | | </math> |
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− | 关键在于理解它们的物理含义。确定性指的是,已知当前时刻状态概率分布,对未来可能状态的判断有多大的把握;而简并性指的是,已知当前的状态,追溯历史,我们能有多大确定性做出判断。如果有状态在动力学过程中发生简并,我们回溯历史时能运用的信息就会变少。当一个系统背后的动力学确定性高,同时简并性低时,说明这是一个具有明显因果效应的动力学。这就是EI本身的物理含义。
| + | 注意,在这个归一化的定义中,确定度系数中的log项包含着N,与非归一化定义中的定义不同。其实,这个[math]\log N[/math]原本是出现在简并性这一项之中的。 |
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| + | 其实,无论如何定义这两项,关键在于理解它们的物理含义。确定性指的是,已知当前时刻状态概率分布,对未来可能状态的判断有多大的把握;而简并性指的是,已知当前的状态,追溯历史,我们能有多大确定性做出判断。如果有状态在动力学过程中发生简并,我们回溯历史时能运用的信息就会变少。当一个系统背后的动力学确定性高,同时简并性低时,说明这是一个具有明显因果效应的动力学。这就是EI本身的物理含义。 |
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