随机迭代系统的因果涌现

在对复杂系统进行粗颗粒化后，其宏观状态的动力学可能比其微观状态的动力学表现出更明显的因果效应。这种现象被称为因果涌现，该指标通过有效信息指标来量化。然而，这一理论面临两个挑战：连续随机动力系统缺乏完善的框架，以及对粗粒度方法的依赖。为了解决该问题，我们需要引入一个精确的理论框架，用于研究具有连续状态空间和高斯噪声的线性随机迭代系统中的因果涌现。在此基础上，我们推导了一般动力学中有效信息的解析表达式，并确定了最佳线性粗粒化策略，当粗粒化消除的维度平均不确定性有上限时，该策略可最大限度地提高因果涌现的程度。

历史渊源

Erik Hoel提出了因果出现的最初定量理论，该理论建立在有效信息（[math]\displaystyle{ EI\equiv I(Y;X|do(X\sim U)) }[/math]）的基础上，原始框架仅限于量化时域和状态空间中的离散马尔可夫链。为了在连续空间中扩展因果涌现理论，Hoel又提出了因果几何理论，其中他们设计了一种计算连续状态空间上函数映射中有效信息的方法。尽管如此，该理论只探索了一般的函数映射，而忽略了多步动力学演化，使其不适用于连续状态空间中的动力学系统。同时Erik Hoel的理论还有一个共同问题就是粗粒化策略必须预先给定，而缺少优化方法。

粗粒化复杂系统的策略，包括手动设计的重整化方法，传统的降维技术，以及基于机器学习的粗粒化或重整化方法。为了自动发现优化因果出现的粗粒度策略，张江和刘凯威引入了一种机器学习框架，称为神经信息挤压器（NIS），采用可逆神经网络。该框架有助于自动提取有效的粗粒度策略和宏观状态动力学，从而能够从不同的时间序列数据中直接识别因果关系。随后，研究团队提出了增强的NIS+框架，该框架将通过有效信息最大化的粗粒度优化集成到机器学习中，成功地解决了识别数据中因果出现的挑战。尽管如此，基于机器学习的方法在很大程度上依赖于数据的充分性和神经网络训练的水平。虽然它们可以提供数字解决方案，但缺乏评估模型训练质量和结果指标可靠性的基本事实。

简介

为了克服先前研究中发现的局限性，随机迭代系统的因果涌现

[math]\displaystyle{ \Delta\mathcal{J}=\mathop{\ln\frac{|\det(WAW^\dagger)|^\frac{1}{k}}{|\det(A)|^\frac{1}{n}}}_{Degeneracy Emergence}-\mathop{\ln\frac{|\det(W\Sigma W^{T})|^\frac{1}{2k}}{|\det(\Sigma)|^\frac{1}{2n}}}_{Determinism Emergence} }[/math]

及其相关研究一定程度上可以解决上述问题。

而因果涌现由宏观态和微观态的有效信息作差得到。