豪斯多夫维数

豪斯多夫维数（Hausdorff dimension） 非整数维度示例：前四个Koch 曲线的迭代，在每次迭代后，所有原始线段都被替换为四个，每个自相似的复制是原始线段长度的1 / 3。豪斯多夫维数的一个建模是使用比例因子(3)和自相似对象的数量(4)来计算维度 D，在第一次迭代后为 D = (log N)/(log S) = (log 4)/(log 3) ≈ 1.26. 也就是说，单点的豪斯多夫维数为零，线段为1，正方形为2，立方体为3时，但对于分形，对象可以有一个非整数维度。

在数学中，豪斯多夫维数 Hausdorff dimension是一种粗糙度的度量单位，或者更确切地说，分形维数，是由数学家 Felix Hausdorff 在1918年首次提出的。例如，单点的豪斯多夫维数为零，线段为1，正方形为2，立方体为3。也就是说，对于定义了一个光滑形状或一个有少数几个角的形状---- 传统几何学和科学的形状---- 的点集来说，豪斯多夫维数是一个整数，符合通常的维度意义，也称为拓扑维度。然而，还有一些公式允许计算其他不太简单的对象的维数，其中仅仅根据它们的标度和自相似特性，就可以得出结论: 特定的对象——包括分形——具有非整数的 Hausdorff 维数。由于Abram Samoilovitch Besicovitch的重大技术进步，允许计算高度不规则或“粗糙”集的维度，这个维度通常也被称为Hausdorff-Besicovitch 维度。

更具体地说，豪斯多夫维数是一个与给定集合相关联的更进一步的维数，其中定义了该集合所有成员之间的距离。这样的集合称为度量空间。维数是从扩展的实数，[math]\displaystyle{ \overline{\mathbb{R}} }[/math]，而不是更直观的维数概念（它不与一般的度量空间相关联，只取非负整数的值）。

用数学术语来说，豪斯多夫维数概括了实向量空间维数的概念。也就是说，n 维内积空间的豪斯多夫维数等于 n。 这就是早期假设的基础，一个点的豪斯多夫维数是零，一条线是一等等，不规则集可以有非整数的豪斯多夫维数。例如，右边所示的 Koch 雪花是由一个正三角形构成的; 在每次迭代中，它的组成线段被分成单位长度的3段，新创建的中间线段被用作一个指向外部的新正三角形的基础，然后人们删除这个基础线段用来保留单位长度4的迭代中的最终对象。也就是说，在第一次迭代之后，每个原始线段都被替换为 N=4，其中每个自相似拷贝的长度是原始线段的1/S = 1/3 。换句话说，我们取一个欧几里得维数D的物体，在每个方向上将其线性比例减少1/3，使其长度增加到N=S^D。这个方程很容易求解为 D，产生出现在图形中的对数(或自然对数)的比率，并给出——在 Koch 和其他分形情况下——这些对象的非整数维数。

豪斯多夫维数是更简单但通常等价的计盒维数 box-counting或闵可夫斯基维数 Minkowski-Bouligand的继承者。

概念

几何对象X的尺寸的直观概念是指需要多少个独立参数才能找到一个独特的点。但是，任何由两个参数指定的点都可以由一个参数指定，因为实平面的基数等于实线的基数（这可以通过交织两个数字以产生一个编码相同信息的单个数字看到）。空间填充曲线 space-filling curve的例子表明，可以将实线完美和连续地映射到实平面（把一个实数转换成一对实数，从而覆盖所有实数对），由此一维对象完全填充了一个高维对象。

每条空间填充曲线都会多次击中某些点，且不存在连续的逆。将二维以连续和连续可逆的方式映射到一维是不可能的。拓扑维度 topological dimension，也被称为“Lebesgue覆盖维数”，解释了为什么。如果在X的每个小开球覆盖中，至少有一个点 n + 1个球重叠，这个维度是 n。例如，当用短的开区间覆盖一条线时，某些点必须被覆盖两次，给出维数n = 1。

但是，拓扑维度是对空间局部尺寸（点附近的尺寸）的一个非常粗略的度量。一条几乎是空间填充的曲线仍然可以有一维拓扑，即使它填充了一个区域的大部分面积。分形具有整数的拓扑维数，但就其所占的空间量而言，它看起来像一个更高维的空间。

豪斯多夫维数测量一个空间的局部大小时，会考虑到点之间距离（度量）。考虑半径最大为r的球数 N (r) ，需要完全覆盖 X。当r很小时，N(r)以1/r 的多项式增长。对于一个表现足够好的 X，豪斯多夫维数是唯一的数d，这样当r趋近于零时， N(r) 增长为1/r^d 。更确切地说，这定义了盒子计数维度，当值d是不足以覆盖空间的增长率和过度充裕的增长率之间的临界边界时，它等于豪斯多夫维数。

对于光滑的形状，或者有少量棱角的形状，传统几何和科学的形状，豪斯多夫维数是一个整数，与拓扑维度一致。但是伯努瓦·曼德布洛特 Benoit Mandelbrot观察到分形——具有非整数豪斯多夫维数的集合---- 在自然界中随处可见。他观察到，我们周围大多数粗糙形状的理想化不是光滑的理想化形状，而是分形理想化形状:

Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line.

云不是球体，山不是锥体，海岸线不是圆圈，树皮不平滑，闪电也不是直线运动。

对于自然界中出现的分形，豪斯多夫维数和盒计数维数是一致的。封装尺寸是另一个类似的概念，它为许多形状提供相同的值，但是在所有这些尺寸不同的情况，都做了很好的说明。

形式化定义

豪斯多夫集 Hausdorff content

设 X是度量空间。若S ⊂ X 和 d ∈ [0, ∞) ，则 S 的d维无限 豪斯多夫集定义为

[math]\displaystyle{ C_H^d(S):=\inf\Bigl\{\sum_i r_i^d:\text{ there is a cover of } S\text{ by balls with radii }r_i\gt 0\Bigr\}. }[/math]

换句话说，[math]\displaystyle{ C_H^d(S) }[/math] 是数字集合[math]\displaystyle{ \delta \geq 0 }[/math]的下确界，使得在 i ∈&nbsp中存在一些球集合 [math]\displaystyle{ \{B(x_i,r_i):i\in I\} }[/math] i 包含 s，对于每个 r_i > 0 满足 i 中的和[math]\displaystyle{ \sum_{i\in I} r_i^d\lt \delta }[/math] (在这里，我们使用inf Ø = ∞ 的标准约定)。

豪斯多夫分形测量 Hausdorff measurement

豪斯多夫外测度不同于无界的豪斯多夫，因为我们不考虑 s 的所有可能，我们看到当球的大小变为零时会发生什么。对于 [math]\displaystyle{ d \geq 0 }[/math]，我们定义了 S的 d维豪斯多夫Hausdorff 外测度为

[math]\displaystyle{ \mathcal{H}^d(S):=\lim_{r \to 0} \inf\Bigl\{\sum_i r_i^d:\text{ there is a cover of } S\text{ by balls with radii } 0 \lt r_i \lt r\Bigr\}. }[/math]

豪斯多夫维数 Hausdorff dimension

X的豪斯多夫维数定义为

[math]\displaystyle{ \dim_{\operatorname{H}}(X):=\inf\{d\ge 0: \mathcal{H}^d(X)=0\}. }[/math]

等价地，dim _H(X)可定义为 d ∈ [0, ∞) 集的下确界，使得X 的d-维 豪斯多夫测度 为零。这与 d ∈ [0, ∞)的集合的上确界相同，因此X的 d 维豪斯多夫测度是无限的（除非后一个集合 d 是空的，豪斯多夫维数为零）。

实例

进一步的分形维数的例子，进一步的分形维数的例子是谢尔宾斯基三角形，它是一个豪斯多夫维数为log(3)/log(2)≈1.58.的物体

• 可数集拥有豪斯多夫维数0。

• 欧几里得空间 ℝⁿ 有豪斯多夫维数 n，循环S¹ 拥有豪斯多夫维数1.
• 分形一般是那些豪斯多夫维数直接超过其拓扑维数的空间。例如康托尔集是一个o维拓扑空间，由两个自己复制而成，每一个复制品都是原来的三分之一，因此它的豪斯多夫维数是 ln(2)/ln(3) ≈ 0.63。一个谢尔宾斯基三角 Recurrence relation是他自身三个复制的组合。每一个是原来的 1/2，它的豪斯多夫维数ln(3)/ln(2) ≈ 1.58。在递归算法中解决递归关系时，这些豪斯多夫维数与算法分析主定理的临界指标相联系。
• 空间填充曲线拥有和他们填充空间同样的豪斯多夫维数，如皮亚诺曲线 Peano curve。
• 布朗运动在2维及以上的轨迹被推测为豪斯多夫2维。

英国海岸有多长?统计自相似性和分数维数

• Lewis Fry Richardson已经通过豪斯多夫维数去测量了很多海岸线。它的结果涵盖从1.02的南非海岸线到1.25的大英帝国西海岸模型。

豪斯多夫维数特性 Properties of Hausdorff dimension

豪斯多夫维数和归纳维数 Hausdorff dimension and inductive dimension

设X 是任意可分度量空间。对于X 有一个递归定义的归纳维数拓扑概念。它总是一个整数(或 + ∞) ，记为dim_ind(X)。

定理：假设X 是非空的, 那么

[math]\displaystyle{ \dim_{\mathrm{Haus}}(X) \geq \dim_{\operatorname{ind}}(X). }[/math]

此外,

[math]\displaystyle{ \inf_Y \dim_{\operatorname{Haus}}(Y) =\dim_{\operatorname{ind}}(X), }[/math]

其中Y是度量空间同胚到 X的范围。换句话说， X和 Y具有相同的基本点集，Y的度量d_Y 拓扑等价于d_X。

这些结果最初是由Edward Szpilrajn(1907–1976)建立的, 参见 Hurewicz and Wallman, Chapter VII.第七章。

豪斯多夫维数和闵可夫斯基维度 Hausdorff dimension and Minkowski dimension

闵可夫斯基维数与豪斯多夫维数相似，至少和它一样大，而且在许多情况下是相等的。然而，[0,1]中有理点集的豪斯多夫维数为0，闵可夫斯基维数为1。还有一些紧集的闵可夫斯基维数严格大于豪斯多夫维数。

豪斯多夫维度和弗洛斯曼测度 Hausdorff dimensions and Frostman measures

如果在度量空间 X 的 Borel 子集上定义一个测度 μ，使得μ(X) > 0 和μ(B(x, r)) ≤ r^s，对于某个常数 s > 0 和 X 中的每个球 B(x, r) 成立，则 dim_Haus(X) ≥ s 。 部分逆向转换由弗洛斯曼引理定义。

联合和产品下的行为

如果 [math]\displaystyle{ X=\bigcup_{i\in I}X_i }[/math] 是一个有限或可数的联合，则

[math]\displaystyle{ \dim_{\operatorname{Haus}}(X) =\sup_{i\in I} \dim_{\operatorname{Haus}}(X_i). }[/math]

这可以直接从定义得到验证。

如果 X 和Y是非空度量空间，那么它们乘积的豪斯多夫维数满足。

[math]\displaystyle{ \dim_{\operatorname{Haus}}(X\times Y)\ge \dim_{\operatorname{Haus}}(X)+ \dim_{\operatorname{Haus}}(Y). }[/math]

这种不平等可以是严格的。有可能找到两个维数为0的集合，其乘积的维数为1。相反，我们知道当X和Y是 Rⁿ的 Borel 子集时， X × Y的豪斯多夫维数从上面以 X的豪斯多夫维数加上 Y的上填充维数为界。Mattila (1995)曾就这些情况进行了讨论。

自相似集合 Self-similar sets

许多由自相似条件定义的集合具有可以显式确定的维数。粗略地说，如果集合E是集值ψ变换的不动点，即ψ(E) = E， 则它是自相似的，尽管下面给出了确切的定义。

定理：假设

[math]\displaystyle{ \psi_i: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^n, \quad i=1, \ldots , m }[/math]

是Rⁿ上的压缩常数r_j'< 1的压缩映射。则有一个唯一的非空紧集A

[math]\displaystyle{ A = \bigcup_{i=1}^m \psi_i (A). }[/math]

这个定理来源于 Stefan Banach 的压缩映射不动点定理，该定理应用于 具有豪斯多夫距离的Rⁿ 的非空紧子集的完整度量空间。

开集条件 The open set condition

为了确定自相似集A 的维数(在某些情况下) ，我们需要一个关于收缩序列的称为开集条件(OSC)的技术条件ψ_i。

有一个相对紧的开集V

[math]\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^m\psi_i (V) \subseteq V, }[/math]

左边并集的集合成对不相交。

开集条件是保证图像ψ_i(V) 不重叠“太多”的分离条件。

定理假设开集条件成立，并且每个ψ_i 是一个相似度，即等距和某个点周围的膨胀的组合。。那么唯一的不动点是Hausdorff维数为 s 的集合，其中 s 是 s 的唯一解

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^m r_i^s = 1. }[/math]

相似物的收缩系数就是膨胀的大小。

我们可以使用这个定理来计算谢尔宾斯基三角形的豪斯多夫维数(或者有时候叫做谢尔宾斯基垫圈)。考虑R² 平面上的三个非共线点，a₁，a₂，a₃，让ψ_i是围绕着a_i比率1/2的膨胀。对应映射的唯一非空不动点是一个谢尔宾斯基垫圈，其维数s是对应映射的唯一解

[math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^s+\left(\frac{1}{2}\right)^s+\left(\frac{1}{2}\right)^s = 3 \left(\frac{1}{2}\right)^s =1. }[/math]

取上述方程两边的自然对数，我们可以求出 s，即: s = ln(3)/ln(2)。该密封垫具有自相似性，满足 OSC 要求。一般来说，集合 E是一个映射的不动点

[math]\displaystyle{ A \mapsto \psi(A) = \bigcup_{i=1}^m \psi_i(A) }[/math]

是自相似的，当且仅当

[math]\displaystyle{ H^s\left(\psi_i(E) \cap \psi_j(E)\right) =0, }[/math]

其中 s是E的豪斯多夫维数， H^s 表示 豪斯多夫测度。对于谢尔宾斯基垫圈（交叉点就是点）来说，这一点很明显，但更普遍的情况是:

定理：在与前一定理相同的条件下，其唯一不动点 ψ 是自相似的。

参阅

• 豪斯多夫分形维数列表：确定性分形与随机和自然分形的示例。

• Assouad维数，其他被球覆盖方式定义的分形维数，例如豪斯多夫维数。

• 固有维数 Intrinsic dimension

• 填充维数 Packing dimension

拓展阅读

• Dodson, M. Maurice; Kristensen, Simon (June 12, 2003). "Hausdorff Dimension and Diophantine Approximation". Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 72. pp. 305–347. arXiv:math/0305399. Bibcode 2003math......5399D. doi:10.1090/pspum/072.1/2112110. ISBN 9780821836378. 

• Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (1948). Dimension Theory. Princeton University Press. https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.84609. 

• E. Szpilrajn (1937). "La dimension et la mesure". Fundamenta Mathematicae. 28: 81–9.

• Marstrand, J. M. (1954). "The dimension of cartesian product sets". Proc. Cambridge Philos. Soc. 50 (3): 198–202. Bibcode:1954PCPS...50..198M. doi:10.1017/S0305004100029236.

• Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65595-8. 

• A. S. Besicovitch (1929). "On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions". Mathematische Annalen. 101 (1): 161–193. doi:10.1007/BF01454831.

• A. S. Besicovitch; H. D. Ursell (1937). "Sets of Fractional Dimensions". Journal of the London Mathematical Society. 12 (1): 18–25. doi:10.1112/jlms/s1-12.45.18.

• F. Hausdorff (March 1919). "Dimension und äußeres Maß" (PDF). Mathematische Annalen. 79 (1–2): 157–179. doi:10.1007/BF01457179. hdl:10338.dmlcz/100363.

• Hutchinson, John E. (1981). "Fractals and self similarity". Indiana Univ. Math. J. 30 (5): 713–747. doi:10.1512/iumj.1981.30.30055.

• Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (2nd ed.). John Wiley and Sons. 

外部链接

• Hausdorff dimension 在 Encyclopedia of Mathematics

• Hausdorff measure 在 Encyclopedia of Mathematics

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