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==EI与其它因果度量指标==

==EI与其它因果度量指标==

在EI提出之前，有多个因果度量指标被提出。包括EI在内的这些因果度量指标都可以表达为两个基本要素的组合<ref name=":0">Comolatti, R., & Hoel, E. (2022). Causal emergence is widespread across measures of causation. ''arXiv preprint arXiv:2202.01854''.</ref>。这两个基本要素被称为“因果元语”（Causal Primatives），分别是“充分性”和“必要性”。

 

EI是一种度量因果机制中因果变量的因果联系强弱的一种指标。而在EI提出之前，已有多个因果度量指标被提出了。那么，EI和这些因果度量指标之间存在着什么样的联系呢？事实上，正如Comolatti与Hoel在2022年的文章中所指出的，包括EI在内的这些因果度量指标都可以统一表达为两个基本要素的组合<ref name=":0">Comolatti, R., & Hoel, E. (2022). Causal emergence is widespread across measures of causation. ''arXiv preprint arXiv:2202.01854''.</ref>。这两个基本要素被称为“因果元语”（Causal Primatives），分别代表了因果关系中的'''充分性'''和'''必要性'''。

=== 因果元语的定义 ===

=== 因果元语的定义 ===

其中<math>

其中<math>c</math>和<math>e</math>分别表示因事件（cause）和果事件（effect），<math>C</math>表示因事件的全部集合，<math>C \backslash c</math>则为因事件<math>c</math>的补集，即<math>c</math>之外的事件，也可记作<math>\lnot c</math>。'''充分性'''表明当因发生时，果发生的概率，当<math>suff = 1</math>时，因发生确定导致果发生；而'''必要性'''则衡量当因不发生时，果也不发生的概率；当<math>nec = 1</math>时，因不发生则果一定不发生。

c

</math>和<math>

e

</math>分别表示因事件（cause）和果事件（effect），<math>

C

</math>表示因事件的全部集合，<math>

C \backslash c

</math>则为因事件<math>

c

</math>的补集，即<math>

c

</math>之外的事件，也可记作<math>

\lnot c

</math>。'''充分性'''表明当因发生时，果发生的概率，当<math>

suff = 1

</math>时，因发生确定导致果发生；而'''必要性'''则衡量当因不发生时，果也不发生的概率；当<math>

nec = 1

</math>时，因不发生则果一定不发生。

有些因果指标中的必要性表现为以下的变型形式，在此也给出定义：

有些因果指标中的必要性表现为以下的变型形式，在此也给出定义：

  \text{：}~~~nec'(e,c) = 1 - P(e|C)

  \text{：}~~~nec'(e,c) = 1 - P(e|C)

\end{aligned}

\end{aligned}

</math>

</math>

根据定义，当<math>

根据定义，当<math>c</math>为极小概率事件时，<math>nec(e,c) \approx nec^\dagger(e,c)</math>。当<math>C</math>为连续状态空间时，可认为两者等价。

c

</math>为极小概率事件时，<math>

nec(e,c) \approx nec^\dagger(e,c)

</math>。当<math>

C

</math>为连续状态空间时，可认为两者等价。

注意：<math>

注意：<math>nec'</math>的定义与文献<ref name=":0" />中定义的<math>nec^\dagger = P(e|C\backslash c)</math>不同，两者关系为<math>net' = 1 - nec^\dagger</math>。

nec'

</math>的定义与文献<ref name=":0" />中定义的<math>

nec^\dagger = P(e|C\backslash c)

</math>不同，两者关系为<math>

net' = 1 - nec^\dagger

</math>。

=== 因果元语与确定性和简并性 ===

=== 因果元语与确定性和简并性 ===