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y的积分区间为：[math]f([-\frac{L}{L},\frac{L}{2}])[/math]，即将x的定义域[math][-\frac{L}{2},\frac{L}{2}][/math]经过f的映射，形成y上的区间范围。

y的积分区间为：[math]f([-\frac{L}{L},\frac{L}{2}])[/math]，即将x的定义域[math][-\frac{L}{2},\frac{L}{2}][/math]经过f的映射，形成y上的区间范围。

[math]p(y)=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)dx[/math]为y的概率密度函数，它也可以由联合概率密度函数[math]p(x,y)=p(x)p(y|x)[/math]对x进行积分得到。

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p(y)=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}p(x_0)p(y|x_0)dx_0=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x_0))^2}{\sigma^2}\right)dx_0

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为y的概率密度函数，它也可以由联合概率密度函数[math]p(x,y)=p(x)p(y|x)[/math]对x进行积分得到。为了后续叙述方便，我们将x重新命名为[math]x_0[/math]，从而以区分出现在{{EquationNote|4}}中的其它x变量。

由于L很大，所以区间[math][-\frac{L}{2},\frac{L}{2}][/math]，进而假设区间[math]f([-\frac{L}{L},\frac{L}{2}])[/math]也很大。这就使得，上述积分的积分上下界可以近似取到无穷大，也就有{{EquationNote|4}}中的第一项为：

由于L很大，所以区间[math][-\frac{L}{2},\frac{L}{2}][/math]，进而假设区间[math]f([-\frac{L}{L},\frac{L}{2}])[/math]也很大。这就使得，上述积分的积分上下界可以近似取到无穷大，也就有{{EquationNote|4}}中的第一项为：

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其中，e为自然对数的底，最后一个等式是根据高斯分布函数的Shannon熵公式计算得出的。然而，要计算第二项，即使使用了积分区间为无穷大这个条件，仍然很难计算得出结果，为此，我们对函数f(x)进行一阶泰勒展开：

 

然而，要计算第二项，即使使用了积分区间为无穷大这个条件，仍然很难计算得出结果，为此，我们对函数f(x)进行一阶泰勒展开：

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f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

f(x_0)\approx f(x)+f'(x)(x_0-x)

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这里，[math]x_0\in[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}][/math]是x定义域上的任意一点。

这里，[math]x\in[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}][/math]是x定义域上的任意一点。

因此，p(y)可以被近似计算：

因此，p(y)可以被近似计算：

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p(y)\approx \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))^2}{\sigma^2}\right)dx\approx \frac{1}{L}\cdot\frac{1}{f'(x_0)}

p(y)\approx \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x)-f'(x)(x_0-x))^2}{\sigma^2}\right)dx\approx \frac{1}{L}\cdot\frac{1}{f'(x)}

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值得注意的是，在这一步中，我们不仅将f(x)近似为一个线性函数，同时还引入了一个假设，即p(y)的结果与y无关，而与[math]x_0[/math]，以及[math]x_0[/math]处f的导数有关。这一点怎么理解呢？我们知道y的数值是由x经过映射f(x)而决定的，因此y的分布，取决于x的分布以及映射f(x)。现在，我们将f(x)映射展开成任意一点x₀处的一阶近似，而x又在p(y)的计算中被积分掉了，因此p(y)就仅仅取决于x₀。

值得注意的是，在这一步中，我们不仅将f(x)近似为一个线性函数，同时还引入了一个假设，即p(y)的结果与y无关，而与[math]x[/math]有关。我们知道在对EI计算的第二项中包含着对x的积分，因此这一近似也就意味着不同x处的p(y)近似是不同的。

这样，{{EquationNote|4}}中的第二项近似为：

这样，{{EquationNote|4}}中的第二项近似为：

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\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{f([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}])}p(x_0)p(y|x_0)\ln p(y)dydx_0\approx \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\ln f'(x_0)dx_0

\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{f([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}])}p(x)p(y|x)\ln p(y)dydx\approx \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\ln f'(x)dx

\end{aligned}

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