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备注1。我们只是建立了没有竞争者斑图，能同因果态一样对观测预测的那么发，又或者是更简单，在定义4的意义下，相比于因果态来说。（这是参考文献【6】中的定理。）奥卡姆因此告诉我们不用使因果态是没有理由的。下一个定理展示了因果态是唯一最优的，并且因此奥卡姆剃刀是我们不得不使用的。
备注1。我们只是建立了没有竞争者斑图，能同因果态一样对观测预测的那么发，又或者是更简单，在定义4的意义下，相比于因果态来说。（这是参考文献【6】中的定理。）奥卡姆因此告诉我们不用使因果态是没有理由的。下一个定理展示了因果态是唯一最优的，并且因此奥卡姆剃刀是我们不得不使用的。
备注2。到这时它变得重要，我们试图预测<math>\overset{\to}{S}</math>的全部，而不是一些片段，<math>\overset{\to L}{S}</math>。假设两段历史<math>\overset{\gets}{s}</math>和<math>\overset{\gets '}{s}</math>对长度到L的未来有相同的条件分布，但是符合条件的是不同的个体。他们应该这时附属于不同的因果态。一个η状态合并了这两个因果态，尽管这样，应该拥有同因果态相同的预测<math>\overset{\to L}{S}</math>的能力。更多地，这些<math>\mathcal{R}</math>-状态应该更简单，意味着在当前状态下的不确定性应该更低。我们得出因果态是最优的，但是对于最难的工作——那些预测所有长度的未来。
备注3。我们已经看到（定理1，备注2）因果态对于预测所有长度的未来有足够统计量；所有的预知竞争者也一样。一个最简单足够统计是这样一个所有其他足够统计量的函数【62，p.38】。自从，在定理2的证明过程中，我们已经展现有一个从任意R^到S的函数g，我们也展示了因果态是最简单且具有足够统计量的。
备注3。我们已经看到（定理1，备注2）因果态对于预测所有长度的未来有足够统计量；所有的预知竞争者也一样。一个最简单足够统计是这样一个所有其他足够统计量的函数【62，p.38】。自从，在定理2的证明过程中，我们已经展现有一个从任意<math>\hat{\mathcal{R}}</math>到<math>\mathcal{S}</math>的函数g，我们也展示了因果态是最简单且具有足够统计量的。
我们现在或许可以，如同承诺，定义一个过程的统计复杂度【5，6】。
我们现在或许可以，如同承诺，定义一个过程的统计复杂度【5，6】。
定义12（一个过程的统计复杂度）一个过程<math>\mathcal{O}</math>的统计复杂度“<math>C_μ(\mathcal{O}) </math>”是它的因果态：<math>C_μ(\mathcal{O}) \equiv C_μ(\mathbfcal{S})</math>。
因为因果态的最简使我们看到统计复杂度度量存储在过程中的平均数量历史记忆。没有最简定理，这种表述将不可能，因为我们可以不厌其繁地精心设计内部状态，但仍然生成相同的观测过程。这些状态对应的<math>C_μ</math>将增长到无界并因此是随心所欲并不是过程的特征属性【17】。
定理3（因果态是唯一的）对所有预知竞争者<math>\hat{\mathbfcal{R}}</math>，如果<math>C_μ(\hat{\mathbfcal{R}}) = C_μ(\mathbfcal{S})</math>，那么存在一个在<math>\hat{\mathbfcal{R}}</math>和<math>\mathbfcal{S}</math>之间不可逆函数几乎总是保持状态的相等：<math>\hat{\mathbfcal{R}}</math>跟η和<math>\mathbfcal{S}</math>及ϵ是相等的，相对而言，将测度为0的历史集合排除在外。
证明。从引理7，我们可知<math>\mathcal{S} = g(\hat{\mathcal{R}})</math>几乎总成立。我们现在展示有一个函数f满足<math>\hat{\mathcal{R}} = f(\mathcal{S})</math>几乎总成立，表明<math>g = f^{-1}</math>并且f是要求的两个集合之间的关系。为了做成这样，由等式（A12）足够展示<math>H[\hat{\mathcal{R}} \vert \mathcal{S}] = 0</math>。现在，它遵循信息论唯一性（等式（A8））
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自从，由引理7<math>H[\mathcal{S} \vert \hat{\mathcal{R}}] = 0</math>，等式(49)两边都等于<math>H[\mathcal{S}]</math>. 但是，由假设可知，<math>H[\hat{\mathcal{R}}] = H[\mathcal{S}]</math>。因此，<math>H[\hat{\mathcal{R}} \vert \mathcal{S}] = 0</math>并且存在一个f满足<math>\hat{\mathcal{R}} = f(\mathcal{S})</math>几乎总成立。至此我们有<math>f(g(\hat{\mathcal{R}})) = \hat{\mathcal{R}}</math>并且<math>g(f(\mathcal{S})) = \mathcal{S}</math>，因此<math>g = f^{-1}</math>。这表明f保留几乎一直状态的等价性：对几乎所有<math>\overset{\gets}{s}, \overset{\gets '}{s} \in \overset{\gets}{\mathbf{S}}, \eta(\overset{\gets}{s}) = \eta(\overset{\gets '}{s})</math>当且仅当<math>\epsilon(\overset{\gets}{s}) = \epsilon(\overset{\gets '}{s})</math>。
备注。作为细化引理7的情形，在定理的基础之上，测度0的注意事项看来是无可避免的。一个竞争对手同因果态拥有相同预测和简化（在定义4的意味上）能力，可以赋予测度0历史的集合以和ϵ机制区分状态，但没有更多了。这是有意义的：这样测度为0的集合无法区分，自从他们的成员从来无法观测，由定义可知。由同类的标记，尽管如此，没有什么阻止一个最简的，预知竞争者从不同意在这些历史上的ϵ机制。
备注。作为细化引理7的情形，在定理的基础之上，测度0的注意事项看来是无可避免的。一个竞争对手同因果态拥有相同预测和简化（在定义4的意味上）能力，可以赋予测度0历史的集合以和ϵ机制区分状态，但没有更多了。这是有意义的：这样测度为0的集合无法区分，自从他们的成员从来无法观测，由定义可知。由同类的标记，尽管如此，没有什么阻止一个最简的，预知竞争者从不同意在这些历史上的ϵ机制。
定理4（ϵ机制是最简随机）【15】对所有的预知竞争者<math>\hat{\mathbfcal{R}}</math>，
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其中<math>\mathcal{S}'</math>和<math>\hat{\mathcal{R}}'</math>是过程的下一个因果态并且是对应的下一个η态。
证明。从定理5可知，<math>\mathcal{S}'</math>由<math>\mathcal{S}</math>和<math>\overset{\to 1}{S}</math>共同固定，因此由等式（A12）得出<math>H[\mathcal{S}' \vert \mathcal{S},\overset{\to 1}{S}] = 0</math>。因此，从对于熵的等式（A6）链式法则可知，
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我们没有对于竞争者状态<math>\hat{\mathcal{R}}</math>类似的决定性引理5的结果，但是熵是一直非负的：<math>H[\hat{\mathcal{S}}' \vert \hat{\mathcal{S}},\overset{\to 1}{S}] \ge 0</math>。自从对于所有的L，<math>H[\overset{\to L}{S} \vert \hat{\mathcal{R}}] = H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}]</math>，由定义可知，定义（11），竞争态的，<math>H[\overset{\to 1}{S} \vert \hat{\mathcal{R}}] = H[\overset{\to 1}{S} \vert \mathcal{S}]</math>。现在我们再次应用链式法则，
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从引理7，我们知道<math>\mathcal{S} = g(\hat{\mathcal{R}})</math>，因此这里有另一个函数g'从η状态的有序对到因果态的有序对：<math>(\mathcal{S}', \mathcal{S}) = g'(\hat{\mathcal{R}}', \hat{\mathcal{R}})</math>。因此，等式（A14）表明
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