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→Erik Hoel的因果涌现理论
Hoel等于2013年<ref name=":0" /><ref name=":1" />提出因果涌现理论，下图是对该理论的一个抽象框架，其中，横坐标表示时间，纵坐标表示尺度（Scale）。该框架可以看成是对同一个动力系统在微观和宏观两种尺度上的描述。其中，[math]f_m[/math]表示微观动力学，[math]f_M[/math]表示宏观动力学，二者通过一个粗粒化函数[math]\phi[/math]相连。在一个离散状态的马尔科夫动力系统中，[math]f_m[/math]和[math]f_M[/math]都是马尔科夫链，对[math]f_m[/math]进行[[马尔科夫链的粗粒化]]，就可以得到[math]f_M[/math]。[math]\mathcal{J}[/math]为[[有效信息]](<math> EI </math>)的度量。由于微观态可能具有更大的随机性，这导致微观动力学的[[因果性]]比较弱，所以通过对每一个时刻的微观态进行合理的粗粒化，就有可能得到因果性更强的宏观态。所谓的因果涌现，就是指当我们对微观态进行粗粒化的时候，宏观动力学的[[有效信息]]会增加这一现象，并且宏观态与微观态的[[有效信息]]之差被定义为因果涌现的强度。
Hoel等于2013年<ref name=":0" /><ref name=":1" />提出因果涌现理论，下图是对该理论的一个抽象框架，其中，横坐标表示时间，纵坐标表示尺度（Scale）。该框架可以看成是对同一个动力系统在微观和宏观两种尺度上的描述。其中，[math]f_m[/math]表示微观动力学，[math]f_M[/math]表示宏观动力学，二者通过一个粗粒化函数[math]\phi[/math]相连。在一个离散状态的马尔科夫动力系统中，[math]f_m[/math]和[math]f_M[/math]都是马尔科夫链，对[math]f_m[/math]进行[[马尔科夫链的粗粒化]]，就可以得到[math]f_M[/math]。[math]\mathcal{J}[/math]为[[有效信息]](<math> EI </math>)的度量。由于微观态可能具有更大的随机性，这导致微观动力学的[[因果性]]比较弱，所以通过对每一个时刻的微观态进行合理的粗粒化，就有可能得到因果性更强的宏观态。所谓的因果涌现，就是指当我们对微观态进行粗粒化的时候，宏观动力学的[[有效信息]]会增加这一现象，并且宏观态与微观态的[[有效信息]]之差被定义为因果涌现的强度。
[[文件:因果涌现理论.png|因果涌现理论框架|alt=因果涌现理论抽象框架|居中|400x400像素|缩略图]]
[[文件:因果涌现理论.png|因果涌现理论框架|alt=因果涌现理论抽象框架|居左|400x400像素]]
[[有效信息]]（EI）最早由[[Tononi]]等人在[[整合信息论]]的研究中提出<ref>Tononi G, Sporns O. Measuring information integration[J]. BMC neuroscience, 2003, 41-20.</ref>。在因果涌现研究中，[[Erik Hoel]]等人将这种[[因果效应度量]]指标用于量化一个[[因果机制]]的因果性强弱。
[[有效信息]]（EI）最早由[[Tononi]]等人在[[整合信息论]]的研究中提出<ref>Tononi G, Sporns O. Measuring information integration[J]. BMC neuroscience, 2003, 41-20.</ref>。在因果涌现研究中，[[Erik Hoel]]等人将这种[[因果效应度量]]指标用于量化一个[[因果机制]]的因果性强弱。
对该矩阵的粗粒化为如下操作：首先，将前7个状态归并为一个宏观状态，不妨称为A，并且将[math]f_m[/math]中前7行的前7列的概率数值加总得到A到A状态转移的概率，并对[math]f_m[/math]矩阵的其它数值保持不变。这样归并后的新的概率转移矩阵如右图所示，记为[math]f_M[/math]。这是一个确定的宏观马尔科夫转移矩阵，即系统的未来状态完全可以由当前状态决定。此时<math>EI(f_M\ )>EI(f_m\ ) </math>，系统发生了因果涌现。
对该矩阵的粗粒化为如下操作：首先，将前7个状态归并为一个宏观状态，不妨称为A，并且将[math]f_m[/math]中前7行的前7列的概率数值加总得到A到A状态转移的概率，并对[math]f_m[/math]矩阵的其它数值保持不变。这样归并后的新的概率转移矩阵如右图所示，记为[math]f_M[/math]。这是一个确定的宏观马尔科夫转移矩阵，即系统的未来状态完全可以由当前状态决定。此时<math>EI(f_M\ )>EI(f_m\ ) </math>，系统发生了因果涌现。
[[文件:状态空间中的因果涌现.png|居中|500x500像素|状态空间上的因果涌现|替代=|缩略图]]
[[文件:状态空间中的因果涌现.png|居左|500x500像素|状态空间上的因果涌现|替代=]]
另一个文献<ref name=":0"/>中的例子是一个[[布尔网络]]中发生因果涌现的例子。如图所示，这是一个含有4个节点的布尔网络，每个节点有0和1两种状态，每个节点与另外两个节点相连，遵循相同的微观动力学机制（a图）。因此，该系统一共含有十六个微观状态，它的动力学可以用一个<math>16\times16 </math>的状态转移矩阵（c图）表示。
另一个文献<ref name=":0"/>中的例子是一个[[布尔网络]]中发生因果涌现的例子。如图所示，这是一个含有4个节点的布尔网络，每个节点有0和1两种状态，每个节点与另外两个节点相连，遵循相同的微观动力学机制（a图）。因此，该系统一共含有十六个微观状态，它的动力学可以用一个<math>16\times16 </math>的状态转移矩阵（c图）表示。