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对于如何定义因果涌现是一个关键问题，有几个代表性工作，分别是Hoel等<ref name=":0" /><ref name=":1" />提出的基于[[有效信息]]的方法、Rosas等<ref name=":5">Rosas F E, Mediano P A, Jensen H J, et al. Reconciling emergences: An information-theoretic approach to identify causal emergence in multivariate data[J]. PLoS computational biology, 2020, 16(12): e1008289.</ref>提出的基于信息分解的方法、张江等人<ref name=":2" />基于奇异值分解提出了一套新的因果涌现理论以及一些其他的理论。

对于如何定义因果涌现是一个关键问题，有几个代表性工作，分别是Hoel等<ref name=":0" /><ref name=":1" />提出的基于[[有效信息]]的方法、Rosas等<ref name=":5">Rosas F E, Mediano P A, Jensen H J, et al. Reconciling emergences: An information-theoretic approach to identify causal emergence in multivariate data[J]. PLoS computational biology, 2020, 16(12): e1008289.</ref>提出的基于信息分解的方法、张江等人<ref name=":2" />基于奇异值分解提出了一套新的因果涌现理论以及一些其他的理论。

====Erik Hoel的因果涌现理论====

====Erik Hoel的因果涌现理论====

Hoel等于2013年<ref name=":0" /><ref name=":1" />提出因果涌现理论，下图是对该理论的一个抽象框架，其中，横坐标表示时间，纵坐标表示尺度（Scale）。该框架可以看成是对同一个动力系统在微观和宏观两种尺度上的描述。其中，[math]f_m[/math]表示微观动力学，[math]f_M[/math]表示宏观动力学，二者通过一个粗粒化函数[math]\phi[/math]相连。在一个离散状态的马尔科夫动力系统中，[math]f_m[/math]和[math]f_M[/math]都是马尔科夫链，对[math]f_m[/math]进行[[马尔科夫链的粗粒化]]，就可以得到[math]f_M[/math]。[math]\mathcal{J}[/math]为[[有效信息]](<math> EI </math>)的度量。由于微观态可能具有更大的随机性，这导致微观动力学的[[因果性]]比较弱，所以通过对每一个时刻的微观态进行合理的粗粒化，就有可能得到因果性更强的宏观态。所谓的因果涌现，就是指当我们对微观态进行粗粒化的时候，宏观动力学的[[有效信息]]会增加这一现象，并且宏观态与微观态的[[有效信息]]之差被定义为因果涌现的强度。

Hoel等于2013年<ref name=":0" /><ref name=":1" />提出因果涌现理论，下图是对该理论的一个抽象框架，其中，横坐标表示时间，纵坐标表示尺度（Scale）。该框架可以看成是对同一个动力系统在微观和宏观两种尺度上的描述。其中，[math]f_m[/math]表示微观动力学，[math]f_M[/math]表示宏观动力学，二者通过一个粗粒化函数[math]\phi[/math]相连。在一个离散状态的马尔科夫动力系统中，[math]f_m[/math]和[math]f_M[/math]都是马尔科夫链，对[math]f_m[/math]进行[[马尔科夫链的粗粒化]]，就可以得到[math]f_M[/math]。<math> EI </math>是[[有效信息]]的度量。由于微观态可能具有更大的随机性，这导致微观动力学的[[因果性]]比较弱，所以通过对每一个时刻的微观态进行合理的粗粒化，就有可能得到因果性更强的宏观态。所谓的因果涌现，就是指当我们对微观态进行粗粒化的时候，宏观动力学的[[有效信息]]会增加这一现象，并且宏观态与微观态的[[有效信息]]之差被定义为因果涌现的强度。

[[文件:因果涌现理论.png|因果涌现理论框架|alt=因果涌现理论抽象框架|居左|400x400像素]]

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