马尔科夫链的粗粒化

我们先简单回顾一下马尔科夫矩阵是什么。它是一种square matrix，行列数一样，且满足每一行和为1的条件。

而马尔科夫链指的是一个n维的状态的序列[math]\{x_t\ = 1, ..., n\}_{t}[/math]，每一步的状态转换都有马尔科夫矩阵[math]M[/math]决定，即[math]x_{t+1} = M x_t[/math].

[math]M[/math]的每一行对应的每个状态转移到其他状态的概率。比如当[math]x_t[/math]等于第一个状态的时候，M的第一行展示了[math]x_{t+1}[/math]状态的概率。

那对马尔科夫链做粗粒化做粗粒化的意义是什么呢？我们看到文献中着重强调这两点：

1. 有些状态的转移概率非常相似，所以可以被看成同一类状态，对这种马尔科夫链做partitioning可以减少系统表示的冗余性；
2. 在用到马尔科夫决策过程的强化学习里，对马尔科夫链做粗粒化可以减少状态空间的大小，提高训练效率。

马尔科夫链的粗粒化可以分成Hard partitioning和Soft partitioning。Hard partitioning是指把若干个微观状态分成一个宏观状态类，且一个微观状态不能同时属于多个宏观状态类，而soft partitioning则会有可能出现这种情况。

我们这里主要讨论hard partitioning，主要参考的是Anru Zhang和Mengdi Wang的Spectral State Compression of Markov Processes。

首先讨论的是一个马尔科夫矩阵的rank秩。

大家理解的线代里的rank秩的定义是看矩阵中的线性无关的行向量的数量，但是这里对秩的理解是从一种类似于信道的概念。

秩的定义为我们能找到的一组概率密度函数 [math]\displaystyle{ f_1, ... , f_r, g_1, ... , g_r }[/math]，使得r在下列公式里最小：

[math]\displaystyle{ P(X_{t+1} | X_{t}) = \sum^r_{k=1} f_k(X_t) g_k(X_{t+1}) }[/math]

这里的秩的意思是，我们能多大程度上压缩信道，使得信息在宽度为秩的信道中无损传递。（笔者个人理解）

在n个离散状态的马尔科夫矩阵中，[math]f_1, ... , f_r, g_1, ... , g_r[/math] 是维度为n的矩阵。

而我们能定义r × r的markov kernel [math]C = \{Cij = \sum_{p=1}^k f_j(k)g_i(k)\}[/math]

而且[math]f_1, ... , f_r[/math] 为 left Markov features，[math]\{g1, . . . , gr\}[/math] 为 right Markov features.

这个定义可以想象成可压缩的程度，也会是下面的hard partitioning的分组的数量。

Lumpability

Lumpability是一种用于分类的定义，笔者暂时还没找到一个正式的中文翻译，而不同文献对于这个概念的解释也有所不同。

这个概念最早出现在Kemeny, Snell 1976. Finite Markov Chains中。书中的定义是这样的

给定一个partition [math]A=\{A1, A2, ... ,Ar\}[/math]，我们能够用下列公式描述一个粗粒化后的马尔科夫链(lumped process)，且这个转移概率对任何初始状态(starting vector) [math] \pi [/math] 都是一样的：

[math] Pr_{\pi}[f_0 \in A_i] Pr_{\pi}[f_1 \in A_j | f_0 \in A_i] Pr_{\pi}[f_n \in A_t |f_{n-1} \in A_s f_0 \in A_i] [/math]

图1：Zhang 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是lumpable马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0

作者提出了判断一个马尔科夫链对给定partition [math]A=\{A1, A2, ... ,Ar\}[/math]是否lumpable的充分必要条件为

对于任意一对[math]A_i, A_j[/math]，每一个属于[math]A_i[/math]的状态[math]s_k[/math]的[math]p_{kA_j}[/math]都是一样的。

也就是说[math]p_{k A_j} = \sum_{s_m \in A_j} p_{k m} = p_{A_i A_j} = p_{k A_j}, k \in A_i[/math]

直观上来说，当马尔科夫矩阵存在block结构，或者状态明显可被分成几种partition的时候，该矩阵就会lumpable，如图一中的[math]\bar{P}[/math]所示。

但是，有时候有些lumpable的矩阵的状态排序被打乱了（如图一中的[math]P_1[/math]），或者矩阵包含了如[math]P_2[/math]的噪声（如图一中的[math]P[/math]，[math]P = P_1 + P_2, P_1^TP_2 = 0[/math]）。

我们在实际问题中很多时候要面对的是像[math]P[/math]这样的矩阵，我们既无法确定它是否lumpable，也无法决定它的partition，我们甚至不知道它的马尔科夫秩。

在这种情况下，Anru Zhang的文章中提供了一种寻找最优partition的方法，通过此方法我们能找到最优的partition，代入这个partition我们就能通过上面的充分必要条件来决定一个马尔科夫矩阵是否lumpable。具体步骤如下：

1. 先获取一个n*n维的马尔科夫矩阵P，或者是马尔科夫链的频率采样；
2. 获取r<n 的马尔科夫秩，或指定一个r；
3. 对P进行SVD分解，[math]P = U \Sigma V^T[/math]，其中U为左奇异向量，V为右奇异向量。
4. 通过下列公式得到最优partition

（未完待续）