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计算力学 (查看源代码)

2024年9月8日 (日) 10:44的版本

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第141行：第141行：

===因果态的主要性质===

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因果态是一种特殊的划分方法，它的划分函数记作<math>\epsilon</math>，公式为<math> \epsilon{:}\overleftarrow{S}\mapsto2^{\overset{\leftarrow}{S}}</math>，因果态的集合记作<math>\mathcal{S} </math>，

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~~因果态是有效态的一个特殊形式，因果态的集合记作~~<math>\mathcal{S} </math>，<math>\mathcal{S} </math>是<math>\mathcal{R} </math>的一种最优形式，因为<math>\mathcal{S} </math>的如下性质。

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因果态的集合记作<math>\mathcal{S} </math>，<math>\mathcal{S} </math>是<math>\mathcal{R} </math>的一种最优形式，因为<math>\mathcal{S} </math>的如下性质。

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~~（1）因果态集合~~<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的预测能力最强，用公式表示为<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>，<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>为<math>L </math>个长度的未来序列集合，<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}] </math>和<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>是<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>~~的条件熵。~~

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（1）最大预测性：因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的预测能力最强，用公式表示为<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>，<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>为<math>L </math>个长度的未来序列集合，<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}] </math>和<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>是<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>的条件熵。它的证明过程如下：

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~~（2）在相同预测能力的前提下，因果态集合~~<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的统计复杂度最小，用公式表示为<math>C_\mu(\hat{\mathcal{R}})\geq C_\mu(\mathcal{S}) </math>，<math>\hat{\mathcal{R}} </math>与<math>\mathcal{S} </math>有同等的预测能力，满足<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\hat{\mathcal{R}}]=H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\mathcal{S}] </math>。

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（2）最小复杂度：在相同预测能力的前提下，因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的统计复杂度最小，用公式表示为<math>C_\mu(\hat{\mathcal{R}})\geq C_\mu(\mathcal{S}) </math>，<math>\hat{\mathcal{R}} </math>与<math>\mathcal{S} </math>有同等的预测能力，满足<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\hat{\mathcal{R}}]=H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\mathcal{S}] </math>。

上文中已经介绍了柯式复杂度和统计复杂度的基本概念，如果<math>s^L </math>表示对过程的测量结果的前<math>L </math>个序列，那么它们之间的关系可以近似的表示为：

第162行：第164行：

那么公式可以解释为：序列<math>s^L </math>的总信息量≈被归纳的因果态信息量+放弃归纳的随机信息量

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~~（3）在相同预测能力的前提下，因果态集合~~[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]在有效态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{R} }[/math]的所有类型中，它的随机性最小，用公式表示为<math>H[\hat{\mathcal{R}}^{\prime}|\hat{\mathcal{R}}]\geq H[\mathcal{S}^{\prime}|\mathcal{S}] </math>，<math>\hat{\mathcal{R}} </math>满足<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\hat{\mathcal{R}}]=H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\mathcal{S}] </math>，其中<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>和<math>\mathcal{S}^{\prime} </math>分别是该过程的下一时刻有效态和下一时刻因果态。

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（3）最小随机性：在相同预测能力的前提下，因果态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]在有效态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{R} }[/math]的所有类型中，它的随机性最小，用公式表示为<math>H[\hat{\mathcal{R}}^{\prime}|\hat{\mathcal{R}}]\geq H[\mathcal{S}^{\prime}|\mathcal{S}] </math>，<math>\hat{\mathcal{R}} </math>满足<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\hat{\mathcal{R}}]=H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\mathcal{S}] </math>，其中<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>和<math>\mathcal{S}^{\prime} </math>分别是该过程的下一时刻有效态和下一时刻因果态。

用互信息的角度去理解的话，上式等价于<math>I(S^{\prime};S)\geq I(\widehat{R}^{\prime};\widehat{R}) </math>，可以理解为任意有效态对它自己下一时刻的互信息中，其中因果态的互信息最大，若不考虑Do干预，因果态和因果涌现理论中最大化有效信息所得到的宏观态意义相同。

刘易明

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