5,443
个编辑
更改
无编辑摘要
</math>
</math>
“原因系数(cause coefficient)”描述了一种状态在多大程度上可以充分(sufficient)确定其过去状态，而“结果系数(effect coefficient)”表明了一种状态确定其未来的结果状态的必要性(necessary, 图1B)。结果系数本身是“确定性”和“简并性”两项的组合函数:
“原因系数(cause coefficient)”描述了一种状态在多大程度上可以充分确定其过去状态，而“结果系数(effect coefficient)”表明了一种状态确定其未来的结果状态的必要性(图1B)。结果系数本身是“确定性”和“简并性”两项的组合函数:
<math>
<math>
\text{Effect coefficient}(s_0) = \text{Determinism coefficient}(s_0) - \text{Degeneracy coefficient}(s_0)
\begin{aligned}
\]
\text{Effect coefficient}(s_0) &= \text{Determinism coefficient}(s_0) - \text{Degeneracy coefficient}(s_0) \\
\[
&= \frac{1}{\log_2(n)} \sum_{s_F \in U^E} p(s_F \mid s_0) \log_2 \left( n \cdot p(s_F \mid s_0) \right) - \frac{1}{\log_2(n)} \sum_{s_F \in U^E} p(s_F \mid s_0) \log_2 \left( n \cdot p(s_F) \right)
= \frac{1}{\log_2(n)} \sum_{s_F \in U^E} p(s_F \mid s_0) \log_2 \left( n \cdot p(s_F \mid s_0) \right)
\end{aligned}
- \frac{1}{\log_2(n)} \sum_{s_F \in U^E} p(s_F \mid s_0) \log_2 \left( n \cdot p(s_F) \right).
</math>
</math>
一个状态独立的系统因果度量方法可以通过在所有系统状态上取原因或结果信息的期望值来获得，这个量称为有效信息(EI)：
一个状态独立的系统因果度量方法可以通过在所有系统状态上取原因或结果信息的期望值来获得，这个量称为有效信息(EI)：
<math>
\begin{aligned}
\
EI(S) &= \langle \text{Cause Information}(s_0) \rangle = \sum_{s_0 \in U^E} p(s_0) D_{KL} \left( (S_P \mid s_0), U^C \right)\\
&= \langle \text{Effect Information}(s_0) \rangle = \frac{1}{n} \sum_{s_0 \in U^C} D_{KL} \left( (S_F \mid s_0), U^E \right).
\
\end{aligned}
</math>
这两个计算式等价，因为当前假设为为时不变系统(time invariant, <t-1 -> t0> = <t0 ->t+1>)，原因信息和结果信息通过贝叶斯公式关联。EI也是所有可能原因和结果之间的互信息(mutual information, MI), MI(UC;UE)。
这两个计算式等价，因为当前假设为为时不变系统(time invariant, <t-1 -> t0> = <t0 ->t+1>)，原因信息和结果信息通过贝叶斯公式关联。EI也是所有可能原因和结果之间的互信息(mutual information, MI), MI(UC;UE)。
作为一种因果度量方法，EI度量了系统中由因导向果的有效性(确定性和独特性)，以及从果寻因的选择性。和状态依赖的方法一样，系统内因果相互作用的有效性(Eff)也由用EI进行系统状态大小归一化后得到：Eff(S) = EI(S)/log2(n)，Eff也可以被分解为两部分：确定性和简并性：
作为一种因果度量方法，EI度量了系统中由因导向果的有效性(确定性和独特性)，以及从果寻因的选择性。和状态依赖的方法一样，系统内因果相互作用的有效性(Eff)也由用EI进行系统状态大小归一化后得到：Eff(S) = EI(S)/log2(n)，Eff也可以被分解为两部分：确定性和简并性：
Eff
<math>
\begin{aligned}
\
Eff(S) &= \langle \text{Determinism coefficient}(s_0) \rangle - \langle \text{Degeneracy coefficient}(s_0) \rangle \\
&= \frac{\langle D_{KL}((S_F \mid s_0), U) \rangle}{\log_2(n)} - \frac{D_{KL}(U^E \mid U)}{\log_2(n)}.
\
\end{aligned}
</math>
因此，对于给定的系统规模，EI的最大值对应Eff(S) = 1，并且随着不确定性(由噪声引起的分散)或简并性(确定性收敛)而减小，对于完全噪声或简并性系统，Eff(S) = 0(图1c和D)。在具有最大有效性的系统中(图1B)，每个原因都有一个唯一的结果，每个结果都有一个唯一的原因。因此，这样一个系统[Eff(S) = 1]是完全可回溯/可预测的，从TPM中不仅可以推导出所有状态的唯一的未来轨迹，也可以推导出所有状态的唯一的过去轨迹(完全因果可逆性)。
因此，对于给定的系统规模，EI的最大值对应Eff(S) = 1，并且随着不确定性(由噪声引起的分散)或简并性(确定性收敛)而减小，对于完全噪声或简并性系统，Eff(S) = 0(图1c和D)。在具有最大有效性的系统中(图1B)，每个原因都有一个唯一的结果，每个结果都有一个唯一的原因。因此，这样一个系统[Eff(S) = 1]是完全可回溯/可预测的，从TPM中不仅可以推导出所有状态的唯一的未来轨迹，也可以推导出所有状态的唯一的过去轨迹(完全因果可逆性)。
微观尺度Sm的因果分析需要将S等概率地设置为所有可能的微观状态(即测试所有微观可能状态)，然后决定结果效应。当对宏观尺度SM进行分析，S也需要类似地以相同的概率设置为所有可能的宏观状态(即测试所有宏观可能状态)。当对任何宏观尺度进行因果度量时，需要将S设置为所有nmicro个微观状态{Sm}，分组进入相应的宏观状态SM，对效应进行平均。以上通过进行“宏观扰动” 实现：
微观尺度Sm的因果分析需要将S等概率地设置为所有可能的微观状态(即测试所有微观可能状态)，然后决定结果效应。当对宏观尺度SM进行分析，S也需要类似地以相同的概率设置为所有可能的宏观状态(即测试所有宏观可能状态)。当对任何宏观尺度进行因果度量时，需要将S设置为所有nmicro个微观状态{Sm}，分组进入相应的宏观状态SM，对效应进行平均。以上通过进行“宏观扰动” 实现：
<math>
do(S_M = s_M) = \frac{1}{n_{\text{micro}}} \sum_{s_{m,i} \in S_M} do(S_m = s_{m,i})
</math>
通过使用宏观扰动的办法，我们可以得到将Sm进行任意尺度粗粒化后的因/果信息和EI。宏观尺度的EI等价于宏观因果集之间的MI。
通过使用宏观扰动的办法，我们可以得到将Sm进行任意尺度粗粒化后的因/果信息和EI。宏观尺度的EI等价于宏观因果集之间的MI。
因此，如果在宏观尺度SM上EI(S)最大，而非微观尺度Sm，则CE > 0，说明发生了因果涌现。但如果在每个宏观尺度下都有CE < 0，则该系统有因果退化的属性。虽然这里的重点是相对于微观尺度Sm的涌现/退化，但上述方法依然可用于比较不同宏观尺度下的因果性。
因此，如果在宏观尺度SM上EI(S)最大，而非微观尺度Sm，则CE > 0，说明发生了因果涌现。但如果在每个宏观尺度下都有CE < 0，则该系统有因果退化的属性。虽然这里的重点是相对于微观尺度Sm的涌现/退化，但上述方法依然可用于比较不同宏观尺度下的因果性。
如上所述，EI(S)既取决于系统状态库的大小，也取决于其机制的有效性。当从一个系统尺度到另一个尺度时，这两项都随着状态空间变化而变化，并且单个状态相对于过去的选择性，以及相对于未来的确定或简并性也随之变化。xxxx
如上所述，EI(S)既取决于系统状态库的大小，也取决于其机制的有效性。当从一个系统尺度到另一个尺度时，这两项都随着状态空间变化而变化，并且单个状态相对于过去的选择性，以及相对于未来的确定或简并性也随之变化。状态库大小和机制有效性对于