5,443
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第136行：
第136行： − − − − '''定理3：'''对于任意 TPM P 和 <math> − \alpha\in(0,2) − </math>，<math> − \Gamma_{\alpha} − </math>的对数和EI都有相同的最小值0和一个共同的极小值点（当<math> − P=\frac{1}{N} I_{N\times{N}} − </math>时取到），其中<math>I</math>是单位矩阵。它们还有相同的最大值<math>\log{N}</math>，最大值点对应于P是一个置换矩阵。 − − 因此当P是可逆的（置换矩阵）时，<math> − \log{\Gamma_{\alpha}} − </math>和EI可以达到最大值<math> − \log{N} − </math>。当<math> − P_{i}=\frac{I}{N},\forall{i}\in[1,N] − </math>，它们也可以达到最小值0。然而，我们可以证明<math> − \frac{I}{N} − </math>并不是EI的唯一最小点，对于任何满足<math>P_{i}=P_{j},\forall{i}\in{[1,N]}</math>的TPM都能使EI=0。其次EI的上限和下限都是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>的线性项。 − − − − '''定理4：'''对于任何TPM P，其有效信息EI的上限为<math>\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}</math>，下限为<math> − \log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}</math>. − − 因此，有如下不等式： − <blockquote> − <math> − \begin{aligned} − \log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}\le{EI}\le\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}} − \end{aligned} − </math></blockquote> − 实际上，EI有一个更严格的上限，<math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}</math>，这个上限是由数值实验的结果确定的。我们发现在许多例子中，EI和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>具有近似线性关系，因此，基于可逆性的因果涌现理论主张： − <blockquote> − <math>\begin{aligned} − EI\sim\log\Gamma_{\alpha}. − \end{aligned} − </math> − </blockquote>
→归一化
\gamma_{\alpha}
\gamma_{\alpha}
</math>总是小于1。
</math>总是小于1。
=== 具体例子 ===
=== 具体例子 ===