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=== 空间因果涌现 ===

=== 空间因果涌现 ===

作为一个原理证明(proof-of-principle)的案例，考虑一个由四个01元素组成的系统[math]S_m[/math] = {ABCD} (图2A)。每个微观机制都是一个带有噪声的与门AND-gate(针对两个输入)。通过将系统以等概率设置为从[0000]到[1111]的所有可能的微观状态来构建16 × 16 [math]S_m[/math] TPM矩阵(图2B)。在微观尺度[math]S_m[/math]，有效信息[math]EI(S)[/math] = 1.15 bits(最大取值为4 bits)，有效信息[math]Eff(Sm)[/math] = 0.29。宏观尺度[math]S_M[/math](图2D)由两个元素{α, β}组成，每个元素都有状态{"on" ,"off"}，是由图2C中的映射M定义的[math]S_m[/math]的粗粒化方法。通过将系统以等概率设置为从[off, off]到[on, on]的所有可能的宏观状态，可以得到4 × 4 的[math]S_M[/math] TPM(图2E)。宏观尺度，[math]EI(S_M)[/math] = 1.55 bits，高于[math]EI(S_m)[/math] = 1.15 bits。因此，CE(S) = 0.40 bits，说明在这种情况下，宏观[math]S_M[/math]的因果性优于微观[math]S_m[/math]，构成了系统[math]S[/math]的最优因果模型。这是因为[math]S_M[/math]的TPM更接近于完美的有效性[[math]Eff(S_M)[/math] = 0.78]，并且通过粗粒化分组有效性提升增加的信息量[math]\Delta I_{\text{Eff}}[/math] = 0.97 bits超过了尺寸减少损失的信息量[math]\Delta I_{\text{Size}}[/math] = - 0.57 bits。在这个例子中，在宏观尺度上的有效性[math]\Delta I_{\text{Eff}}[/math]的增益(91%)主要来自于抵消噪声干扰[确定性系数([math]S_m[/math]) = 0.34;([math]S_M[/math]) = 0.78]，少部分(9%)来源于简并性减少[简并系数 ([math]S_m[/math]) = 0.05;([math]S_M[/math]) = 0.006]。

作为一个原理证明(proof-of-principle)的案例，考虑一个由四个01元素组成的系统[math]S_m[/math] = {ABCD} (图2A)。每个微观机制都是一个带有噪声的与门AND-gate(针对两个输入)。通过将系统以等概率设置为从[0000]到[1111]的所有可能的微观状态来构建16 × 16 [math]S_m[/math] TPM矩阵(图2B)。在微观尺度[math]S_m[/math]，有效信息[math]EI(S) = 1.15 bits[/math](最大取值为4 bits)，有效信息[math]Eff(Sm) = 0.29[/math]。宏观尺度[math]S_M[/math](图2D)由两个元素{α, β}组成，每个元素都有状态{"on" ,"off"}，是由图2C中的映射M定义的[math]S_m[/math]的粗粒化方法。通过将系统以等概率设置为从[off, off]到[on, on]的所有可能的宏观状态，可以得到4 × 4 的[math]S_M[/math] TPM(图2E)。宏观尺度，[math]EI(S_M)[/math] = 1.55 bits，高于[math]EI(S_m)[/math] = 1.15 bits。因此，CE(S) = 0.40 bits，说明在这种情况下，宏观[math]S_M[/math]的因果性优于微观[math]S_m[/math]，构成了系统[math]S[/math]的最优因果模型。这是因为[math]S_M[/math]的TPM更接近于完美的有效性[[math]Eff(S_M)[/math] = 0.78]，并且通过粗粒化分组有效性提升增加的信息量[math]\Delta I_{Eff}[/math] = 0.97 bits超过了尺寸减少损失的信息量[math]\Delta I_{Size}[/math] = - 0.57 bits。在这个例子中，在宏观尺度上的有效性[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增益(91%)主要来自于抵消噪声干扰[确定性系数([math]S_m[/math]) = 0.34;([math]S_M[/math]) = 0.78]，少部分(9%)来源于简并性减少[简并系数 ([math]S_m[/math]) = 0.05;([math]S_M[/math]) = 0.006]。

以状态依赖的方式比较[math]S_m[/math]和[math]S_M[/math]，也可以得到宏观尺度有效性更高的结果。以图3为例，将[math]S_m[/math]状态{ABCD} =[0001]与相应[math]S_M[/math]状态{αβ} = [off, off]的因果分布进行对比。将[math]S_m[/math] =[0001]的因果分布与无约束库(使用[math]D_{KL}[/math]散度)进行比较，得到0.83 bits的原因信息和0.43 bits的结果信息。而对于宏观[math]S_M[/math]，原因信息为2 bits，结果信息为1.35 bits。因此，{αβ} = [off, off]比{ABCD} =[0001]更有选择性和可信度，宏观战胜了微观。

以状态依赖的方式比较[math]S_m[/math]和[math]S_M[/math]，也可以得到宏观尺度有效性更高的结果。以图3为例，将[math]S_m[/math]状态{ABCD} =[0001]与相应[math]S_M[/math]状态{αβ} = [off, off]的因果分布进行对比。将[math]S_m[/math] =[0001]的因果分布与无约束库(使用[math]D_{KL}[/math]散度)进行比较，得到0.83 bits的原因信息和0.43 bits的结果信息。而对于宏观[math]S_M[/math]，原因信息为2 bits，结果信息为1.35 bits。因此，{αβ} = [off, off]比{ABCD} =[0001]更有选择性和可信度，宏观战胜了微观。

因果涌现可能不仅源于宏观尺度确定性的提高 (如上所述)，也可能源于简并性的减少。图4中，微观元素A-F是确定性AND门，连接方式对应了高简并度(图4A，确定性= 1；简并度= 0.6)，得到[math]Eff(S_m)[/math] = 0.4, [math]EI(S_m)[/math] = 2.43 bits(图4C)。最优宏观粗粒化分组将6个微观AND门组合成3个宏观COPY门(αβγ)(图4B)。宏观和微观都是确定性的，但通过消除简并性[math]\Delta I_{\text{Eff}}[/math] = 1.79 bits> - [math]\Delta I_{\text{Size}}[/math] = 1.22 bits。因此，[math]Eff(S_M)[/math] = 1, [math]EI(S_M)[/math] = 3 bits，宏观因果涌现于微观(CE = 0.57 bits)之上。

因果涌现可能不仅源于宏观尺度确定性的提高 (如上所述)，也可能源于简并性的减少。图4中，微观元素A-F是确定性AND门，连接方式对应了高简并度(图4A，确定性= 1；简并度= 0.6)，得到[math]Eff(S_m)[/math] = 0.4, [math]EI(S_m)[/math] = 2.43 bits(图4C)。最优宏观粗粒化分组将6个微观AND门组合成3个宏观COPY门(αβγ)(图4B)。宏观和微观都是确定性的，但通过消除简并性[math]\Delta I_{Eff} = 1.79 bits[/math]> - [math]\Delta I_{Size} = 1.22 bits[/math]。因此，[math]Eff(S_M) = 1[/math], [math]EI(S_M) = 3 bits[/math]，宏观因果涌现于微观([math]CE = 0.57 bits[/math])之上。

图2 3 4

图2 3 4