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[[文件:Singular-Value-Decomposition.svg.png|无框|居左|奇异值分解]]
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具体而言，我们可以将一个 <math>m \times n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 分解为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math>。这里，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> [[复酉矩阵 complex unitary matrix ]]，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> [[矩形对角矩阵 rectangular diagonal matrix ]]，其对角线元素为非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，而 <math>\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的[[共轭转置 conjugate transpose ]]。这种分解适用于任何复矩阵。若 <math>\mathbf{M}</math> 为实矩阵，则 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 必为实[[正交矩阵 real orthogonal matrices ]]；此时，我们通常将SVD表示为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。
具体而言，我们可以将一个 <math>m \times n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 分解为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math>。在这里，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> [[复酉矩阵 complex unitary matrix ]]，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> [[矩形对角矩阵 rectangular diagonal matrix ]]，其对角线元素为非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，而 <math>\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的[[共轭转置 conjugate transpose ]]。这种分解适用于任何复矩阵。若 <math>\mathbf{M}</math> 为实矩阵，则 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 必为实[[正交矩阵 real orthogonal matrices ]]；此时，我们通常将SVD表示为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。
<math>\mathbf{\Sigma}</math> 的对角元素 <math>\sigma_i = \Sigma_{ii}</math> 由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定，称为 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值。非零奇异值的数量等于 <math>\mathbf{M}</math> 的'[[秩 rank ]]。我们把 <math>\mathbf{U}</math> 的列和 <math>\mathbf{V}</math> 的列分别叫做 <math>\mathbf{M}</math> 的左奇异向量和右奇异向量。它们分别构成两组[[正交基 orthonormal bases ]] <math>\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m</math> 和 <math>\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n</math>。如果我们将值为零的奇异值 <math>\sigma_i</math> 排在最后，奇异值分解可以写成：
<math>\mathbf{\Sigma}</math> 的对角元素 <math>\sigma_i = \Sigma_{ii}</math> 由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定，称为 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值。非零奇异值的数量等于 <math>\mathbf{M}</math> 的'[[秩 rank ]]。我们把 <math>\mathbf{U}</math> 的列和 <math>\mathbf{V}</math> 的列分别叫做 <math>\mathbf{M}</math> 的左奇异向量和右奇异向量。它们分别构成两组[[正交基 orthonormal bases ]] <math>\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m</math> 和 <math>\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n</math>。如果我们将值为零的奇异值 <math>\sigma_i</math> 排在最后，奇异值分解可以写成：