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虽然SVD不是唯一的，但我们总是可以选择让奇异值 <math>\Sigma_{ii}</math> 按降序排列。这样一来，<math>\mathbf{\Sigma}</math>（而非 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math>）就由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定了。

虽然SVD不是唯一的，但我们总是可以选择让奇异值 <math>\Sigma_{ii}</math> 按降序排列。这样一来，<math>\mathbf{\Sigma}</math>（而非 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math>）就由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定了。

有时，我们也把SVD称为[[紧凑型SVD compact SVD ]]。紧凑型SVD是一种类似的分解： <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>r \times r</math> 的方形对角矩阵，<math>r \leq \min{m,n}</math>，<math>r</math>是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩，只包含非零奇异值。在这种变体中，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times r</math> [[半酉矩阵 semi-unitary matrix ]]，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times r</math> 半酉矩阵，满足 <math>\mathbf{U}^ \mathbf{U} = \mathbf{V}^ \mathbf{V} = \mathbf{I}_r</math>。

有时，我们也把SVD称为[[紧凑型SVD compact SVD ]]。紧凑型SVD是一种类似的分解： <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>r \times r</math> 的方形对角矩阵，<math>r \leq \min{m,n}</math>是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩，只包含非零奇异值。在这种变体中，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times r</math> [[半酉矩阵 semi-unitary matrix ]]，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times r</math> 半酉矩阵，满足 <math>\mathbf{U}^ \mathbf{U} = \mathbf{V}^ \mathbf{V} = \mathbf{I}_r</math>。

SVD在数学上有多种应用，包括计算[[伪逆 pseudoinverse ]]、[[矩阵近似 matrix approximation ]]以及确定矩阵的[[秩 rank ]]、[[值域 range ]]和[[零空间 null space ]]。此外，SVD在科学、工程和统计学的各个领域都很有用，比如信号处理、[[数据最小二乘拟合 least squares fitting of data ]]和过程控制等。

SVD在数学上有多种应用，包括计算[[伪逆 pseudoinverse ]]、[[矩阵近似 matrix approximation ]]以及确定矩阵的[[秩 rank ]]、[[值域 range ]]和[[零空间 null space ]]。此外，SVD在科学、工程和统计学的各个领域都很有用，比如信号处理、[[数据最小二乘拟合 least squares fitting of data ]]和过程控制等。