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第127行： − + − 图2显示了每个条件下质心的平均线性和非线性格兰杰涌现性。结果证实了高格兰杰涌现性与引人注目的群集行为相关，线性和非线性度量均显示，条件H下的格兰杰涌现性显著高于条件L和R。条件H和L下的所有格兰杰涌现性值都是显著的（格兰杰自主性和格兰杰因果关系的P值均小于10<sup>-5</sup>，双尾t检验）；而条件R下的结果则不显著。+
→鸟群模拟
'''图2：'''boid群的质心（CM）的格兰杰涌现性。左上角：不同条件下线性和非线性格兰杰涌现性的均值和标准差（星号表示统计显著性）。其他面板：在条件<math>H</math>（高格兰杰涌现性）、<math>L</math>（低格兰杰涌现性）和<math>R</math>（随机）下，boid（灰色）和CM（红色）的示例轨迹（500时间步片段）。
'''图2：'''boid群的质心（CM）的格兰杰涌现性。左上角：不同条件下线性和非线性格兰杰涌现性的均值和标准差（星号表示统计显著性）。其他面板：在条件<math>H</math>（高格兰杰涌现性）、<math>L</math>（低格兰杰涌现性）和<math>R</math>（随机）下，boid（灰色）和CM（红色）的示例轨迹（500时间步片段）。
对于每个条件，boid模拟运行了25次，每次运行持续5000个时间步；在每次运行中，记录了每个boid的x和y坐标以及全局质心。在计算格兰杰涌现性之前，进行了几个预处理步骤。为了降低数据集的维度，并增强对边界效应的鲁棒性，将每对x和y坐标转换为反映环境中心距离的单个变量。前500个数据点被移除，以消除初始瞬态效应，结果得到的时间序列被转换为零均值的等效时间序列。最后，为了确保协方差平稳性<ref name="Seth_causal_connectivity_evolved_neural_networks">{{cite journal|author=Seth A|title=Causal connectivity of evolved neural networks during behavior|journal=Network: Computation in Neural Systems|year=2005|volume=16|issue=35–54}}</ref>，对每个时间序列进行了一级差分处理。预处理完成后，在每个条件下的每次运行中，使用最小二乘回归分别计算了CM的线性和非线性格兰杰涌现性。我选择了模型阶数<math>[ p = 5 ]</math>和（用于非线性分析的）多项式阶数q=3。模型阶数是基于所有75次运行的平均Akaike信息准则<ref name="Seth_measuring_autonomy" />选定的。
对于每个条件，boid模拟运行了25次，每次运行持续5000个时间步；在每次运行中，记录了每个boid的x和y坐标以及全局质心。在计算格兰杰涌现性之前，进行了几个预处理步骤。为了降低数据集的维度，并增强对边界效应的鲁棒性，将每对x和y坐标转换为反映环境中心距离的单个变量。前500个数据点被移除，以消除初始瞬态效应，结果得到的时间序列被转换为零均值的等效时间序列。最后，为了确保协方差平稳性<ref name="Seth_causal_connectivity_evolved_neural_networks">{{cite journal|author=Seth A|title=Causal connectivity of evolved neural networks during behavior|journal=Network: Computation in Neural Systems|year=2005|volume=16|issue=35–54}}</ref>，对每个时间序列进行了一级差分处理。预处理完成后，在每个条件下的每次运行中，使用最小二乘回归分别计算了CM的线性和非线性格兰杰涌现性。我选择了模型阶数<math>p = 5</math>和（用于非线性分析的）多项式阶数<math>q=3</math>。模型阶数是基于所有75次运行的平均Akaike信息准则<ref name="Seth_measuring_autonomy" />选定的。
图2显示了每个条件下质心的平均线性和非线性格兰杰涌现性。结果证实了高格兰杰涌现性与引人注目的群集行为相关，线性和非线性度量均显示，条件<math>H</math>下的格兰杰涌现性显著高于条件<math>L</math>和<math>R</math>。条件<math>H</math>和<math>L</math>下的所有格兰杰涌现性值都是显著的（格兰杰自主性和格兰杰因果关系的<math>P</math>值均小于10<sup>-5</sup>，双尾<math>t</math>检验）；而条件<math>R</math>下的结果则不显著。
为了测试boid模型中不同参数组合下格兰杰涌现性的行为，我在参数空间 α(1, 2, 3) ∈ [0.0, 0.1, …, 1.0] 中计算了每个参数向量的线性和非线性格兰杰涌现性。由于参数α<sub>3</sub>和α<sub>4</sub>都影响同一规则（速度匹配），它们被配对在一起进行评估，并为每个向量进行了三次评估，总共需要 11 × 11 × 11 × 3 = 3993 次评估。图3显示了穿过三维参数空间的三个正交剖面的格兰杰涌现性；在每个剖面中，向量α<sub>H</sub>（条件 H）由绿色线的交点标记。
为了测试boid模型中不同参数组合下格兰杰涌现性的行为，我在参数空间 α(1, 2, 3) ∈ [0.0, 0.1, …, 1.0] 中计算了每个参数向量的线性和非线性格兰杰涌现性。由于参数α<sub>3</sub>和α<sub>4</sub>都影响同一规则（速度匹配），它们被配对在一起进行评估，并为每个向量进行了三次评估，总共需要 11 × 11 × 11 × 3 = 3993 次评估。图3显示了穿过三维参数空间的三个正交剖面的格兰杰涌现性；在每个剖面中，向量α<sub>H</sub>（条件 H）由绿色线的交点标记。