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→旋转、坐标缩放和反射
===旋转、坐标缩放和反射===
===旋转、坐标缩放和反射===
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特殊情况下，当<math>\mathbf{M}</math>是<math>m \times m</math>的实方阵时，我们可以将矩阵<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>选为实<math>m \times m</math>矩阵。此时，"酉矩阵"和"正交矩阵"实际上是一回事。我们可以将这两个酉矩阵和对角矩阵（这里统称为<math>\mathbf{A}</math>）解读为空间<math>\mathbb{R}^m</math>的[[线性变换]]（linear transformation）<math>x \mapsto \mathbf{Ax}</math>。其中，矩阵<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>代表空间的旋转（rotations）或反射（reflection），而<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>则表示对每个坐标<math>x_i</math>按因子<math>\sigma_i</math>进行缩放（scaling）。这样，奇异值分解就把<math>\mathbb{R}^m</math>的任何线性变换分解成了三个几何变换的组合：先旋转或反射（<math>\mathbf{V}^*</math>），然后逐坐标缩放（<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>），最后再旋转或反射（<math>\mathbf{U}</math>）。
特殊情况下，当<math>\mathbf{M}</math>是<math>m \times m</math>的实方阵时，我们可以将矩阵<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>选为实<math>m \times m</math>矩阵。此时，"酉矩阵"和"正交矩阵"实际上是一回事。我们可以将这两个酉矩阵和对角矩阵（这里统称为<math>\mathbf{A}</math>）解读为空间<math>\mathbb{R}^m</math>的[[线性变换]]（linear transformation）<math>x \mapsto \mathbf{Ax}</math>。其中，矩阵<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>代表空间的旋转（rotations）或反射（reflection），而<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>则表示对每个坐标<math>x_i</math>按因子<math>\sigma_i</math>进行缩放（scaling）。这样，奇异值分解就把<math>\mathbb{R}^m</math>的任何线性变换分解成了三个几何变换的组合：先旋转或反射（<math>\mathbf{V}^*</math>），然后逐坐标缩放（<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>），最后再旋转或反射（<math>\mathbf{U}</math>）。
特别地，如果<math>\mathbf{M}</math>的行列式为正，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>都带反射或都不带反射。若行列式为负，则只有一个会带反射。若行列式为零，我们可以随意选择每个矩阵的类型。
特别地，如果<math>\mathbf{M}</math>的行列式为正，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>都带反射或都不带反射。若行列式为负，则只有一个会带反射。若行列式为零，我们可以随意选择每个矩阵的类型。
当<math>\mathbf{M}</math>是实矩阵但非方阵，即<math>m \times n</math>且<math>m \neq n</math>时，我们可以将其视为从<math>\mathbb{R}^n</math>到<math>\mathbb{R}^m</math>的线性变换。这时，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>分别为<math>\mathbb{R}^m</math>和<math>\mathbb{R}^n</math>的旋转/反射；而<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>除了缩放前<math>\min{m,n}</math>个坐标外，还会用零扩展向量或删除尾部坐标，从而将<math>\mathbb{R}^n</math>转换为<math>\mathbb{R}^m</math>。
当<math>\mathbf{M}</math>是实矩阵但非方阵，即<math>m \times n</math>且<math>m \neq n</math>时，我们可以将其视为从<math>\mathbb{R}^n</math>到<math>\mathbb{R}^m</math>的线性变换。这时，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>分别为<math>\mathbb{R}^m</math>和<math>\mathbb{R}^n</math>的旋转/反射；而<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>除了缩放前<math>\min{m,n}</math>个坐标外，还会用零扩展向量或删除尾部坐标，从而将<math>\mathbb{R}^n</math>转换为<math>\mathbb{R}^m</math>。
===奇异值作为椭圆或椭球体的半轴===
===奇异值作为椭圆或椭球体的半轴===