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→旋转、坐标缩放和反射
===旋转、坐标缩放和反射===
===旋转、坐标缩放和反射===
特殊情况下，当<math>\mathbf{M}</math>是<math>m \times m</math>的实方阵时（如下图），我们也可以将矩阵<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>选为实<math>m \times m</math>矩阵。此时，"酉矩阵"和"正交矩阵"实际上是一回事。我们可以将这两个酉矩阵和对角矩阵（这里统称为<math>\mathbf{A}</math>）解读为空间<math>\mathbb{R}^m</math>的[[线性变换]]（linear transformation）<math>x \mapsto \mathbf{Ax}</math>。其中，矩阵<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>代表空间的旋转（rotations）或反射（reflection），而<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>则表示对每个坐标<math>x_i</math>按因子<math>\sigma_i</math>进行缩放（scaling）。这样，奇异值分解就把<math>\mathbb{R}^m</math>的任何线性变换分解成了三个几何变换的组合：先旋转或反射（<math>\mathbf{V}^*</math>），然后逐坐标缩放（<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>），最后再旋转或反射（<math>\mathbf{U}</math>）。
特殊情况下，当<math>\mathbf{M}</math>是<math>m \times m</math>的实方阵时，我们也可以将矩阵<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>选为实<math>m \times m</math>矩阵。此时，"酉矩阵"和"正交矩阵"实际上是一回事。我们可以将这两个酉矩阵和对角矩阵（这里统称为<math>\mathbf{A}</math>）解读为空间<math>\mathbb{R}^m</math>的[[线性变换]]（linear transformation）<math>x \mapsto \mathbf{Ax}</math>。其中，矩阵<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>代表空间的旋转（rotations）或反射（reflection），而<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>则表示对每个坐标<math>x_i</math>按因子<math>\sigma_i</math>进行缩放（scaling）。这样，奇异值分解就把<math>\mathbb{R}^m</math>的任何线性变换分解成了三个几何变换的组合：先旋转或反射（<math>\mathbf{V}^*</math>），然后逐坐标缩放（<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>），最后再旋转或反射（<math>\mathbf{U}</math>）。
特别地，如果<math>\mathbf{M}</math>的行列式为正，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>都带反射或都不带反射。若行列式为负，则只有一个会带反射。若行列式为零，我们可以随意选择每个矩阵的类型。
特别地，如果<math>\mathbf{M}</math>的行列式为正，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>都带反射或都不带反射。若行列式为负，则只有一个会带反射。若行列式为零，我们可以随意选择每个矩阵的类型。