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第24行：
第24行： − 纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。考虑P的秩为r，当且仅当r<N（N为矩阵的维数）的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的，因为：'''1.''' 尽管<math>+ − P^{-1} − </math>存在，<math> − P^{-1} − </math>并不一定是满足归一化条件的合法TPM（即矩阵中每个元素都大于等于0，小于等于1，且每一行满足加和为1的条件）。'''2.''' 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。 − 所有置换矩阵的行向量都是独热向量（one-hot vector)（即只有一个元素是1，其余元素均为零的向量）。这一特性可以被矩阵P的[[弗罗贝尼乌斯范数]]（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是独热向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数找到P的近似动力学可逆性与矩阵奇异值之间的联系。 + + + + + + 第51行：
第52行： − 这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。+
→动力学可逆性
'''定理1：'''对于一个给定的马尔科夫链<math>\chi</math>和对应的TPM P，当且仅当P是[[置换矩阵]](Permutation Matrix)的时候，P是严格动力学可逆的。
'''定理1：'''对于一个给定的马尔科夫链<math>\chi</math>和对应的TPM P，当且仅当P是[[置换矩阵]](Permutation Matrix)的时候，P是严格动力学可逆的。
所谓的[[置换矩阵]]是指每一个行向量都是独热向量（one-hot vector，即只有一个元素是1，其余元素均为零的向量），每两个行向量都不相同。
纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。考虑P的秩为r，当且仅当r<N（N为矩阵的维数）的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的，因为：
* 尽管<math>P^{-1}</math>存在，<math>P^{-1}</math>并不一定是满足归一化条件的合法TPM（即矩阵中每个元素都大于等于0，小于等于1，且每一行满足加和为1的条件）；
* 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。
所有置换矩阵的行向量都是独热向量。这一特性可以被矩阵P的[[弗罗贝尼乌斯范数]]（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是独热向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数找到P的近似动力学可逆性与矩阵奇异值之间的联系。
首先，矩阵的秩可以被写作：
首先，矩阵的秩可以被写作：
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和[[弗罗贝尼乌斯范数]]都与奇异值相联系。
==近似动力学可逆性==
==近似动力学可逆性==