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第41行： − 本词条只讨论离散时间马尔科夫链，且动力学不随时间变化的情况，不讨论连续马尔科夫过程。我们可以定义微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，微观转移函数<math>P \in \mathcal{R}_{n \times n}</math>是一个大小为n的马尔科夫矩阵。同样的，粗粒化后的宏观状态空间为<math>S'=\{s'_1, s'_2, ... ,s'_r\}</math>，宏观转移函数<math>P' \in \mathcal{R}_{r \times r}</math>。+ + + + + + + + + + + 第59行：
第69行： − + − − 马尔科夫链的粗粒化可以分成硬划分(Hard partitioning)和软划分(Soft partitioning)。硬划分是指把若干个微观状态分成一个宏观状态类，且一个微观状态不能同时属于多个宏观状态类，而软划分则会有可能出现一个微观状态被分在属于多个宏观类的情况。 − − 在硬划分的情况下，<math>\Phi_{i, j} = 1\ if\ s_i \in s_j'\ and\ 0\ otherwise</math><ref name=":1" />，即一个表示<math>i</math>属于<math>j</math>列的零一分组矩阵。如果是软划分的话，<math>\Phi</math>则不一定会是零一矩阵。 第81行：
第87行： − 而且，有资料中还提到了粗粒化的交换律commutative<ref name=":2" />。按照上面的定义，<math>s^{(t)}</math>有两个路径能达到<math>s'^{(t+1)}</math>：+ + + + 第87行：
第96行： − − 第501行：
第508行： + +
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本词条只讨论离散时间马尔科夫链，且动力学（<math>P</math>）不随时间变化的情况，不讨论连续马尔科夫过程。我们可以定义微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，微观转移函数<math>P \in \mathcal{R}_{n \times n}</math>是一个大小为n的马尔科夫矩阵。同样的，粗粒化后的宏观状态空间为<math>S'=\{s'_1, s'_2, ... ,s'_r\}</math>，宏观转移函数<math>P' \in \mathcal{R}_{r \times r}</math>。
====对状态空间进行粗粒化====
我们假设投影函数<math>\Phi</math>是一个<math>n \times r</math>的线性投影矩阵，且符合下列两个条件(1)所有元素非负(2)每行加和等于1。
我们假设投影函数<math>\Phi</math>是一个<math>n \times r</math>的线性投影矩阵，且符合下列两个条件(1)所有元素非负(2)每行加和等于1。
马尔科夫链的粗粒化可以分成硬划分(Hard partitioning)和软划分(Soft partitioning)。硬划分是指把若干个微观状态分成一个宏观状态类，且一个微观状态不能同时属于多个宏观状态类，而软划分则会有可能出现一个微观状态被分在属于多个宏观类的情况。
在硬划分的情况下，<math>\Phi_{i, j} = 1\ if\ s_i \in s_j'\ and\ 0\ otherwise</math><ref name=":1" />，即一个表示<math>i</math>属于<math>j</math>列的零一分组矩阵。如果是软划分的话，<math>\Phi</math>则不一定会是零一矩阵。
====对转移概率进行粗粒化====
得出<math>\Phi</math>后，对微观马尔科夫矩阵<math>P</math>的降维可以表示为
得出<math>\Phi</math>后，对微观马尔科夫矩阵<math>P</math>的降维可以表示为
其中<math>W \in \mathbb{R}^{r \times n}</math>。Buchholz<ref name=":1">Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>的文章中把<math>W</math>称作distributor matrix，而<math>\Phi \in \mathbb{R}^{n \times r}</math>称作collector matrix。
其中<math>W \in \mathbb{R}^{r \times n}</math>。Buchholz<ref name=":1">Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>的文章中把<math>W</math>称作distributor matrix，而<math>\Phi \in \mathbb{R}^{n \times r}</math>称作collector matrix。
我们假设了<math>W, \Phi, P, P'</math>都是线性的，所以我们可以看到这个公式描述了图1中从左上角的t时刻宏观状态出发，经过逆向粗粒化<math>W</math>得到了t时刻微观状态，走微观动力学<math>P</math>得到了t+1时刻的微观状态，再经粗粒化<math>\Phi</math>得到t+1时刻的宏观状态。
而
而
====判断粗粒化方案符合的性质====
粗粒化的交换律commutative<ref name=":2" />。按照上面的定义，<math>s^{(t)}</math>有两个路径能达到<math>s'^{(t+1)}</math>：
#先得到下一步的<math>s^{(t+1)} = s^{(t)} P</math>，再做粗粒化得到<math>s'^{(t+1)} = s^{(t+1)} \Phi </math>
#先得到下一步的<math>s^{(t+1)} = s^{(t)} P</math>，再做粗粒化得到<math>s'^{(t+1)} = s^{(t+1)} \Phi </math>
而交换律则要求从这两条路径得到的结果应该是一样的，即<math> s_{t} P \Phi = s_{t} \Phi P'</math>。
而交换律则要求从这两条路径得到的结果应该是一样的，即<math> s_{t} P \Phi = s_{t} \Phi P'</math>。
因此，根据目前有迹可循的对马尔科夫链的粗粒化的定义来说，我们要求一个良定义的粗粒化方法上述提到过的两个规则：
因此，根据目前有迹可循的对马尔科夫链的粗粒化的定义来说，我们要求一个良定义的粗粒化方法上述提到过的两个规则：
我们看到这两个目标函数是非常相似的。所以，我们就可以通过上述算法或者kMeans来获取最优partition，然后根据这个partition来判断马尔科夫矩阵的lumpability。
我们看到这两个目标函数是非常相似的。所以，我们就可以通过上述算法或者kMeans来获取最优partition，然后根据这个partition来判断马尔科夫矩阵的lumpability。
=因果涌现=
=因果涌现=